三次函數(shù)極值的導(dǎo)數(shù)求解法

摘 要: 本文從函數(shù)極值概念出發(fā)，利用函數(shù)極值的導(dǎo)數(shù)求解方法，給出了三次函數(shù)極值的導(dǎo)數(shù)求解，并舉例應(yīng)用。

關(guān)鍵詞: 函數(shù)極值 三次函數(shù)極值 導(dǎo)數(shù)求解

1.函數(shù)極值的概念

已知函數(shù)y=f(x)，其定義域是D。設(shè)x∈D，如果存在一個(gè)小區(qū)間(u，v)，使得x∈(u，v)?奐D，并且在此小區(qū)間內(nèi)，當(dāng)x≠x時(shí)，恒有f(x)f(x))，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在x處有極大值(或極小值)，并稱(chēng)x是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)。

2.函數(shù)極值導(dǎo)數(shù)求解方法[2]

(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)。

(2)令f′(x)=0，求出f′(x)=0的所有實(shí)數(shù)解。

(3)檢查f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值。

3.三次函數(shù)極值導(dǎo)數(shù)求解的具體過(guò)程

已知f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0)，求其導(dǎo)數(shù)f′(x)=3ax+2bx+c(a≠0)，由于f′(x)是一個(gè)二次函數(shù)，Δ=(2b)-4×(3a)×c=4b-12ac，要求f′(x)=0的實(shí)數(shù)根，需判斷Δ與0的大小關(guān)系。以下就對(duì)Δ進(jìn)行討論。

(1)當(dāng)a>0時(shí)。

Ⅰ若Δ>0時(shí)，則此時(shí)f′(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)為x、x(x

由圖1可知x0，①

x

x>x時(shí)，f′(x)<0，③

由①②可得x為f(x)的極大值點(diǎn);②③可得x為f(x)的極小值點(diǎn)。

Ⅱ若Δ=0時(shí)，則此時(shí)f′(x)=0有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，設(shè)為x=x，則y=f′(x)的圖像如

由圖2可知x0，

x>x時(shí)，f′(x)>0，

由此可得f(x)無(wú)極值點(diǎn)。

Ⅲ若Δ<0時(shí)，則此時(shí)f′(x)=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以無(wú)極值點(diǎn)。

(2)當(dāng)a<0時(shí)。

Ⅰ若Δ>時(shí)，則此時(shí)f′(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)為x、x(x

由圖3可知x

x0，⑤

x>x時(shí)，f′(x)<0，⑥

由④⑤可得x為f(x)的極小值點(diǎn);⑤⑥可得x為f(x)的極大值點(diǎn)。

Ⅱ若Δ=0時(shí)，則此時(shí)f′(x)=0有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，設(shè)為x=x，則y=f′(x)的圖像如

由圖4可知x

x>x時(shí)，f′(x)<0，由此可得f(x)無(wú)極值點(diǎn)。

Ⅲ若Δ=0時(shí)，則此時(shí)f′(x)=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以無(wú)極值點(diǎn)。

4.結(jié)論

由(1)(2)討論的過(guò)程可得如下結(jié)論:

對(duì)于f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0)求其極值點(diǎn)，先求其導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3ax+2bx+c(a≠0)，判斷f′(x)的判別式Δ=4b-12ac與0的大小關(guān)系。

(1)當(dāng)Δ>0時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，要求出具體的極值點(diǎn)，只需求出f′(x)=0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)a>0時(shí)，較小的實(shí)數(shù)根為f(x)的極大值點(diǎn)，較大的實(shí)數(shù)根為f(x)的極小值點(diǎn);當(dāng)a<0時(shí)，較小的實(shí)數(shù)根為f(x)的極小值點(diǎn)，較大的實(shí)數(shù)根為f(x)的極大值點(diǎn)。

Ⅱ當(dāng)Δ≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值點(diǎn)。

5.應(yīng)用舉例

例1:求f(x)=x-6x+9x-10的極值。

解:f(x)′=3x-12x+9，Δ=(-12)-4×3×9=36>0，

則f′(x)=0的兩實(shí)數(shù)根為x=1、x=3，

由于a=1>0，則x=1為f(x)的極大值點(diǎn)，極大值為f(1)=-6;x=3為f(x)極小值點(diǎn)，極小值為f(3)=-10。

例2:求f(x)=x-3x+3x+5的極值。

解:f′(x)=3x-6x+3，Δ=(-6)-4×3×3=0，

則f(x)無(wú)極值點(diǎn)。

例3:求f(x)=x-4x+6x+5的極值。

解:f′(x)=3x-8x+6，Δ=(-8)-4×3×6=-8<0，

則f(x)無(wú)極值點(diǎn)。

參考文獻(xiàn):

[1]郭益民.三次函數(shù)極值的初等求法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007，(1).

[2]武澤濤.高中數(shù)學(xué)速記速查[M].西安:陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2009，(2):266.