抽象函數的對稱性和周期性

抽象函數是中學數學中的重要概念，它能代表一類函數，利用它可以研究函數的單調性、對稱性、周期性等函數的重要性質，并且可以考查考生的抽象思維與概括能力，因此成為高考中的重點。近幾年高考中也經常出現與抽象函數的對稱性、周期性，以及它們之間關系的題目，下面我們就一些常見的關于抽象函數的性質進行研究，并以2009年高考試題中關于該部分的題目進行分析。

一、函數的對稱性

1.函數滿足時，函數的圖像關于直線對稱。

二、周期性

1.一般的，對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期。

三、對稱性和周期性之間的聯系

1.函數y=f(x)有兩條對稱軸x=a，x=b時，那么該函數必是周期函數，且對稱軸之間距離的兩倍必是函數的一個周期。

(函數y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=f(b-x)(a≠b)，則函數y=f(x)是周期函數。)

2.函數y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=c和f(b+x)+f(b-x)=c(a≠b)時，函數y=f(x)是周期函數。

倍，是函數的一個周期。特別當c=0時，函數在x軸上有兩個對稱點(a，0)、(b，0)，此時函數為周期函數)。

四、知識運用

例1.(2009全國Ⅰ)函數f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則(?搖?搖?搖?搖)

(A)f(x)是偶函數?搖(B)f(x)是奇函數?搖(C)f(x)=f(x+2)?搖(D)f(x+3)是奇函數

解:∵f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，∴f(-x+1)=-f(x+1)，f(-x-1)=-f(x-1)，

∴函數f(x)關于點(1，0)及點(-1，0)對稱，函數f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函數，∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4)，f(-x+3)=-f(x+3)，即f(x+3)是奇函數。故選D。

例2.(2009山東理)已知定義在R上的奇函數f(x)，滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間[0，2]上是增函數，若【解析】:因為定義在R上的奇函數滿足f(x-4)=-f(x)，所以f(x-4)=f(-x)，所以函數圖像關于直線x=2對稱。又函數f(x)為奇函數，且x=0是定義域內的一個值，因此f(0)=0。又由于f(x)在區間[0，2]上是增函數，因此f(x)在區間[-2，0]上也是增函數。又由于f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x)，因此函數是以8答案為-8。

評注:由于f(x)奇函數且滿足f(x-4)=-f(x)，因此f(x-4)=f(-x)，函數f(x)直線x=2對稱。