數學王國中的“一夫一妻”制
2010-12-31 00:00:00張德秀
中學教學參考·語英版 2010年8期
人類“一夫一妻”是以一男一女結成夫妻的婚姻和家庭形態，產生于原始社會末期.而數學王國中，高斯把復數看作是一種向量，用向量闡述了復數的幾何加法與乘法，將復數理論比較完整和系統地建立起來了，從而產生“一夫一妻”制，也稱“一一對應”制.如復數z=a+bi與平面向量OZ[TX→]是數學王國中完美的伴侶，也是數形結合的體現.下面通過一道復數求模的課堂講解案例來詮釋這個“一夫一妻”制.
【例】已知復數z1，z2滿足|z1|=3，|z2|=5，|z1-z2|=7，求|z1+z2|的值.
生1:令z1=x1+y1i，z2=x2+y2i(x1，x2，y1，y2∈R).
由題意知x21+y21=9，x22+y22=25，(x1-x2)2+(y1-y2)2=49，
∴2(x1x2+y1y2)=-15，
即|z1+z2|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=x21+y21+x22+y22+2(x1x2+y1y2)=9+25-15=19，
∴|z1+z2|=19.
生2:|z1-z2|2=|z1|2-2z1z2+|z2|2=9-2z1z2+25=49，∴z1z2=-152，
即|z1+z2|2=|z1|2+2z1z2+|z2|2=34+2z1z2=34+2×(-152)=19，∴|z1+z2|=19，
師:生1巧妙運用設而不求法，整體代入思想，則思路清晰，計算簡單，邏輯性強.若只用待定系數的方法來解x1，x2，y1，y2的值，那將是多么艱難的一項工作啊!
有個學生不等我的話停止就喊到:“老師，我覺得生2解法好，思路更清晰，計算很簡單，邏輯性更強.”
“對啊!”下面不少學生也有同感.
師:(故設陷阱)對，因為復數用向量表示，所以復數的模同向量的模，滿足|a|2=a·a.
生3:生2的不對!復數的模是|z|2=z z，不同于向量的模|a|2=a·a.
師:(故作驚訝)噢!對，數學王國的一對夫妻被搞混了，雖然是夫妻，但還是有區別的，這種情況不容忽視，你說得很好.
師:能通過復數模的性質|z|2=z z解決這題嗎?(稍停，留時間給學生思考)
生3:∵|z1-z2|2=(z1-z2)(z1-z2)=(z1-z2)(z1-z2)
=z1z1-z1z2-z1z2+z2z2=|z1|2-(z1z2+z2z1)+|z2|2，
∴|z1z2+z1z2|=|z1|2+|z2|2-|z1-z2|2=9+25-49=-15，
即|z1+z2|2=(z1+z2)(z1+z2)=(z1+z2)(z1+z2)=
|z1|2+(z1z2+z1z2)+|z2|2
=9-15+25=19，∴|z1+z2|=19.
師:此法利用復數模的性質，其中還是用整體代入的思想.做得漂亮!
師:(趁熱打鐵)既然復數與向量是夫妻，那這題能否通過向量來解呢?
生4:用數形結合的方法.將復數z=a+bi用一個以原點O為起點，點Z(a，b)為終點的向量OZ[TX→]表示.這樣使復數的加、減法通過向量加、減法得到恰當的幾何解釋.
生5:如圖，∵復數z1和z2所對應的向量的
夾角θ的余弦值為cosθ=32+52-722×3×5=-12，
∴|z1+z2|2=|z1|2+|z2|2-2|z1||z2|cos(π-θ)=32+52-2×3×5×12=19，∴|z1+z2|=19.
師:生5善于發現條件中復數模的幾何意義，根據向量加、減法的圖形性質分析清楚復數模的幾何意義，這是巧用數形結合中以形代數的方法解題.
平面向量OZ[TX→]=(a，b)的模滿足|OZ[TX→]|2=a2+b2=(a2+b2)2=OZ[TX→]·OZ[TX→]，復數z=a+bi的模滿足|z|2=a2+b2=(a+bi)(a-bi)=z z，復數z=a+bi與平面向量OZ[TX→]是一一對應的(見蘇教版理科課本《數學選修2—2》3.3復數的幾何意義)，他們是數學王國中和諧的理想的“一夫一妻”制伴侶.
(責任編輯金鈴)
