新課標下如何提高學生的數學猜想能力
2010-12-31 00:00:00鄺筱鴻
中學教學參考·語英版 2010年8期
猜想是對問題進行觀察、實驗、分析、比較、聯想、類比、歸納等，依據已有的材料作出符合事實的推測性想象的思維形式.在復雜的數學情景中利用猜想往往能快速找到解決問題的突破口，達到事半功倍的效果.
一、通過類比，引導學生猜想
類比性猜想是指用類比的方法，通過比較兩個對象或問題的相似性，得出數學新命題或新方法的猜想活動.
【例1】已知:a+b+c=3，a2+b2+c2=3，求a2010+b2010+c2010的值.
分析:這道題按一般的解法可先求出a、b、c三個數的值，然后再求它們的平方和，但2個等式卻有3個未知數，顯然不能求出a、b、c的值，即使能求出a、b、c的值，還要分別求a、b、c的2010次方，計算量將非常巨大.
解:觀察已知的兩個式子a+b+c=3與a2+b2+c2=3，發現它們的結構非常相似，而且三個數的和是3，三個數的平方和也是3，可大膽猜測:a、b、c三個數可能都是1.下面證明:
(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2
=(a2+b2+c2)-2(a+b+c)+3
=3-6+3
=0，∴a=b=c=1.
二、通過歸納，引導學生猜想
歸納性猜想是指運用不完全歸納法，對研究對象或問題從一定數量的個例和特例進行觀察分析，從而提出數學新命題或新方法的猜想活動.
【例2】求適合等式x1+x2+x3+…+x2010=x1·x2·x3…x2010的正整數解.
分析:這2010個正整數的和正好與它們的積相等，要確定每一個正整數的值，我們由特殊到一般進行歸納，從2個，3個，4個……直到發現規律為止.
解:x1+x2=x1·x2的正整數解是x1=x2=2;
x1+x2+x3=x1·x2·x3的正整數解是x1=1，x2=2，x3=3;
x1+x2+x3+x4=x1·x2·x3·x4的正整數解是x1=x2=1，x3=2，x4=4;
x1+x2+x3+x4+x5=x1·x2·x3·x4·x5的正整數解是x1=x2=x3=1，x4=2，x5=5.
由此猜想結論是:適合等式x1+x2+x3+…+x2010=x1·x2·x3…x2010的正整數解為x1=x2=x3=…=x2008=1，x2009=2，x2010=2010.
三、通過探索，引導學生猜想
運用嘗試探索的方法，根據已有知識或經驗，對要研究的問題作出逼近結論方向的猜想.這種猜想不是“一步到位”的，它往往需要根據探索分析深入的程度不斷修改，從而增強其可靠性與合理性.
【例3】已知:1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…問:前500個數的和是多少?
分析:這道題曾難倒國際數學大師安德烈·奧昆科夫，到底這個數列有什么規律呢?
解:分析可知:這個數列的前500項是:1、2、3;2、3、4;3、4、5;4、5、6;5、6、7;……;163、164、165;164、165、166;165、166、167;166、167、168;167、168.
如何求這個數列前500項的和呢?我們的確找不到任何規律，猜想此數列可分解成三個數列:
1、2、3;4、5、6;7、8、9;…166、167(共有167項);
2、3、4;5、6、7;8、9、10;…167、168(共有167項);
3、4、5;6、7、8;9、10、11;…167、168(共有166項)
三個數列剛好是500項，這樣，所求的數列的和就等于上述三個數列的和:
(1+167)÷2×167=14028;
(2+168)÷2×167=14195;
(3+168)÷2×166=14193，
∴14028+14195+14193=42416.
故數列前500個數的和是42416.
四、通過操作，引導學生猜想
通過實物或學具的操作，探索出其中的規律，從而對問題的結果與答案進行的猜想.
【例4】一個圓形紙片，切2010刀，最多可以將它分割成多少塊?
分析:讓學生動手操作，進行切割實驗，對結果進行大膽猜測:得知切割時如果它們任意兩條分割線都不平行，且任意三條分割線都不交于一點，此時分割的塊數最多.
設S1，S2，…，Sn分別表示將圓形紙片切1刀，2刀，…，n刀所得塊數，則有
S1=2=1+1;S2=4=1+1+2;S3=7=1+1+2+3;S4=11=1+1+2+3+4;…;
Sn=1+1+2+3+4+…+n=1+12(n+1)·n.
∴當n=2010時，有S2010=1+12(2010+1)×2010=2111551(塊).
可見，教學中通過類比、歸納、探索及操作等手段，能有效提高學生的猜想能力.
(責任編輯金鈴)
