對(duì)微積分中極限思想教學(xué)的探討

摘 要:本文通過(guò)極限概念在高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)與積分概念中的應(yīng)用，分析極限思想的共性，體現(xiàn)了它在高等數(shù)學(xué)中的重要性;并探討了極限思想的深刻內(nèi)涵，提出了微積分中極限思想教學(xué)應(yīng)注意的幾個(gè)方面。

關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù);積分;極限思想教學(xué)

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的手段和工具。數(shù)學(xué)思想方法是形成學(xué)生良好的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的紐帶，是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。

數(shù)學(xué)是一門(mén)工具學(xué)科，只有真正理解掌握了數(shù)學(xué)思想方法和內(nèi)容，才能夠得心應(yīng)手的使用這門(mén)工具解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。極限思想是高等數(shù)學(xué)中重要思想之一，它貫穿了高等數(shù)學(xué)從始至終的教學(xué)內(nèi)容，所以對(duì)極限思想的理解和掌握將直接影響現(xiàn)實(shí)生活中對(duì)數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用。

一、高等數(shù)學(xué)中極限思想的重要性

(1)極限是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，也是學(xué)生最難于理解的概念之一。在教學(xué)中，注重產(chǎn)生極限概念的實(shí)際背景的介紹，分析極限定義中各個(gè)變量的變化特征與內(nèi)在聯(lián)系，辯證剖析變化過(guò)程中的量變與質(zhì)變、近似與精確等對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律，是訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提高綜合素質(zhì)和能力的重要途徑之一。

(2)極限思想的運(yùn)用是區(qū)別初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要特征，把初等數(shù)學(xué)中對(duì)常量的研究，通過(guò)極限思想轉(zhuǎn)變成高等數(shù)學(xué)中變量的分析研究過(guò)程，同時(shí)伴隨著由有限到無(wú)限觀念的轉(zhuǎn)變。極限也是貫穿高等數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，可謂是沒(méi)有極限思想就沒(méi)有高等數(shù)學(xué)。高等數(shù)學(xué)一改初等數(shù)學(xué)中某一研究過(guò)程中的常量始終不變的靜態(tài)的思維模式，運(yùn)用變化的思想——?jiǎng)討B(tài)思維對(duì)數(shù)學(xué)過(guò)程中的變量進(jìn)行研究。而極限思想在高數(shù)中的應(yīng)用顯著體現(xiàn)于導(dǎo)數(shù)與積分內(nèi)容。

(3)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)與積分的主要研究對(duì)象，但多數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題都存在對(duì)所研究函數(shù)連續(xù)性的約束和限制。而函數(shù)連續(xù)性的判斷依據(jù)一定要運(yùn)用極限概念來(lái)衡量，因此在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與積分理論解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，對(duì)研究對(duì)象的判定，極限概念起著重要作用。

(4)在高等數(shù)學(xué)的極限概念中，常量與變量、量變與質(zhì)變、近似與精確、特殊與一般、局部與整體、微觀與宏觀、直觀與抽象、有限與無(wú)限等，這些一對(duì)一對(duì)的矛盾相依存在而互為存在前提，又在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。這不僅是自然界的普遍規(guī)律，也是數(shù)學(xué)中的普遍規(guī)律。這就是極限思想的重要性之一，它體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)中無(wú)與倫比的哲學(xué)思想美，同時(shí)又最大限度地激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，也有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而使學(xué)生的素質(zhì)和能力得到不斷提高。

二、微積分中的極限思想實(shí)質(zhì)

數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于實(shí)際生活，同時(shí)數(shù)學(xué)理論又服務(wù)于現(xiàn)實(shí)生活。正因存在極限方法，才使許多數(shù)學(xué)問(wèn)題得到完美的解決。

在定積分、重積分元素法的應(yīng)用中，無(wú)論是不規(guī)則的幾何量還是物理量，只要滿足區(qū)域可加性，就可采用定積分過(guò)程:分割、近似、求和、取極限，來(lái)確定其真實(shí)值。這正體現(xiàn)了“化整為零、以直代曲、積零為整和無(wú)限求和”的極限思想實(shí)質(zhì)，通過(guò)“由精確到近似，再由近似到精確”的迂回過(guò)程，實(shí)現(xiàn)“直與曲、變與不變、有限與無(wú)限、近似于精確”的矛盾轉(zhuǎn)化。如不規(guī)則曲邊梯形面積可用規(guī)則的矩形面積近似;曲頂柱體體積可用平頂柱體體積近似;密度不均勻的薄片、線形及空間實(shí)體的物體質(zhì)量都可用密度均勻物體的質(zhì)量近似。正是有了極限概念才使得在分割后的近似過(guò)程中，可以采用初等數(shù)學(xué)中常量關(guān)系來(lái)近似表示變量關(guān)系，最終通過(guò)極限過(guò)程實(shí)現(xiàn)量變到質(zhì)變的飛躍，將近似過(guò)程中產(chǎn)生的誤差減小為零，得到所求量的精確值。

又如在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中，求變速直線運(yùn)動(dòng)s=s(t)(對(duì)時(shí)間具有可加性)在t∈[T1，T2]的瞬時(shí)速度v(t0)。用已知(細(xì)分后某時(shí)間間隔的平均速度v=Δs/Δt(常量關(guān)系))“認(rèn)識(shí)”(近似代替)未知(t=t0時(shí)刻瞬時(shí)速度v(t0))，從量變(在時(shí)間間隔Δti最大值趨于零過(guò)程中，近似值v精確度不斷提高)產(chǎn)生飛躍到質(zhì)變(近似值v無(wú)限接近精確值v(t0))。用細(xì)分——近似代替(以勻代變，以常量關(guān)系近似變化關(guān)系)——用求比值極限的方法得到瞬時(shí)速度:

通過(guò)極限過(guò)程的運(yùn)用從而“產(chǎn)生”了導(dǎo)數(shù)的概念。

“極限”思想方法揭示了常量與變量、有限與無(wú)限、直線與曲線、勻速運(yùn)動(dòng)與變速運(yùn)動(dòng)等一系列對(duì)立統(tǒng)一及矛盾相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系。它建立在初等數(shù)學(xué)之上，但研究對(duì)象卻更為廣泛，方法上“更高”，應(yīng)用上更具普遍性，更接近于生活本身。

高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與積分概念中對(duì)極限的應(yīng)用，也正是極限思想將初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)完美結(jié)合在一起的重要體現(xiàn)，并產(chǎn)生了由有限到無(wú)限，由量變到質(zhì)變的哲學(xué)飛躍。正是極限思想的應(yīng)用，才建立了非常完美的微積分類(lèi)數(shù)學(xué)模型，使某些問(wèn)題的解決有事半功倍的效果。

同時(shí)運(yùn)用極限概念，產(chǎn)生了高等數(shù)學(xué)中微商與積分兩個(gè)互逆的計(jì)算過(guò)程。歸納導(dǎo)數(shù)和積分在極限概念應(yīng)用中的共性:分割-近似-取極限，這三個(gè)共同的過(guò)程，并且都是在分割細(xì)小化后，運(yùn)用初等數(shù)學(xué)中常量數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)近似高等數(shù)學(xué)中的變量問(wèn)題，最后通過(guò)極限過(guò)程減小誤差，使不能解決的無(wú)規(guī)律的變化問(wèn)題結(jié)合極限思想，運(yùn)用規(guī)律化便于計(jì)算的函數(shù)知識(shí)計(jì)算出精確結(jié)果。這就預(yù)示著有了極限思想，也就給出了解決問(wèn)題的嶄新思維方法，即用運(yùn)動(dòng)、變化的方法解決問(wèn)題，這種動(dòng)態(tài)思維正是“極限”思想的體現(xiàn)。高等數(shù)學(xué)的極限過(guò)程體現(xiàn)出了耐人尋味的、深刻的辯證思想。

三、微積分中極限思想方法教學(xué)的幾點(diǎn)建議

(1)綜上所述，極限概念是微積分學(xué)最基本、最重要的概念，應(yīng)把微積分知識(shí)的講授與“極限”思想方法傳授同時(shí)納入教學(xué)目的。極限思想，從本質(zhì)上講是一種辯證思維，與一般思維有根本的區(qū)別。所以在導(dǎo)數(shù)與積分教學(xué)中，要通過(guò)極限概念在微積分中的教學(xué)，再次對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)辯證思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的哲學(xué)美。

(2)對(duì)導(dǎo)數(shù)與積分應(yīng)用過(guò)程中極限概念進(jìn)行歸納總結(jié)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)與積分應(yīng)用的幾何意義，讓學(xué)生深刻理解極限思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)與精髓，并認(rèn)識(shí)極限思想的重要性。極限思想是高等數(shù)學(xué)中解決問(wèn)題最主要的方法，正確運(yùn)用極限方法解決實(shí)際問(wèn)題，也是高等數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)之一。

(3)通過(guò)一對(duì)互逆過(guò)程:微分與積分的應(yīng)用，讓學(xué)生深刻理解是極限概念將高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)區(qū)別開(kāi)來(lái)，同時(shí)又將這兩者緊密聯(lián)系在一起。為此充分體現(xiàn)了初等數(shù)學(xué)知識(shí)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)銜接與過(guò)渡，及高等數(shù)學(xué)在運(yùn)動(dòng)變化中尋求答案的特點(diǎn)。

(4)通過(guò)導(dǎo)數(shù)、積分應(yīng)用深刻理解維爾斯托拉斯建立的“ε- N”和“ε-δ”語(yǔ)言，使我們用處理初等數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)思想方法來(lái)處理高等數(shù)學(xué)，同時(shí)不失邏輯推理的嚴(yán)密性，從極限概念的應(yīng)用中，再次訓(xùn)練學(xué)生的辯證思維，并認(rèn)識(shí)極限思想的博大精深。極限的思想方法是高等數(shù)學(xué)的靈魂，在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極為廣泛。教師在相關(guān)內(nèi)容講授時(shí)，可有意識(shí)地加以引導(dǎo)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中真正領(lǐng)會(huì)其豐富深刻的內(nèi)涵，加深對(duì)極限理論及相關(guān)概念的理解，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也為數(shù)學(xué)學(xué)科工具性的充分發(fā)揮奠定基礎(chǔ)。

讓我們積極挖掘極限概念中的辯證唯物主義思想，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和世界觀，培養(yǎng)高素質(zhì)人才，迎接知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代的挑戰(zhàn)!

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(西藏大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系)