淺析排列組合應用題解題中的轉化策略

排列組合是高中數學的一個重要組成部分，近年來由于概率納入高中必修內容部分，其地位也更加體現出來。排列組合問題是計數問題中的一種常見問題。由于其解法往往是構造性的，因此方法靈活多樣，不同解法直接導致了問題解決的難易變化很大。而且解題過程出現“重復”和“遺漏”的錯誤較難自檢發現，因而對這類問題進行歸納總結，并掌握一些常見類型問題的解題方法、解題策略顯得尤為重要。

在數學問題的解決中，我們常常會通過數學轉化，通過變更命題的形式、條件、背景等等，促使問題更加熟悉、更加簡捷、更加方便解決。這里希望通過對一些具體的排列組合應用題的解決來體會數學轉化策略的應用，以使我們在解決此類問題時能更加具有靈活和有針對性。

一、運用模型，轉化問題背景

問題模型化，常?？梢允箚栴}更加系統，容易解決。這里我們先看看以下的模型(黑白球的排列問題)。

(1)5個不同的白球、3個不同的黑球，排成一排，有多少種排列方法?

(2)5個相同的白球、3個不同的黑球，排成一排，有多少種排列方法?

(3)5個相同的白球、3個相同的黑球，排成一排，有多少種排列方法?

不難發現他們的結果各不相同，本質區別在于白球、黑球是否可辨別(即視為相同還是不同)。下面我們看看以下的兩個例題。

例1:(熄燈問題)某城市新建的一條道路上有12只路燈，為節約用電而不影響照明，可以熄滅其中三盞燈，但是兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，熄燈方法共有 ( )種。

A.C B.CC.CD. C

例1中，直接考慮比較困難，但我們稍加變化，即能轉化成我們熟悉的問題，即，9個相同的A和3個相同的B排成一列，要求B不排在兩端，也不相鄰，此時只需將B插入到9個A中即運用插空法可解決。本例反映出問題背景的轉化，常常能變陌生為熟悉，大大增強我們解題的信心，也能夠使我們所學習的知識更加系統有序。

二、適當引參，轉化問題結論形式

很多問題是我們熟悉的問題變化所產生的，如果能夠變更問題的結論形式，使他們與以前所學習的問題聯系起來，常常會起到事半功倍的效果。

例2:先看這么兩個問題:

問題1，求方程x+y+z+w=10的正整數解的個數。

問題2，求不等式x+y+z<10的正整數解的個數。

問題1可以聯系到模型:“將10個相同的小球放入4個不同盒子”。這個模型可以運用擋板法解決。即用3個擋板插入到10個球中將其分開。但問題2就很難想到解決方法，可能最容易想到的就是列舉法了，但列舉法解決的問題畢竟有限，數字稍微變大，就麻煩了。此時，如果考慮引進參數，即設w=10-x-y-z(w>0)，這時問題2也就是問題1了，因為他們是一一對應的。

問題3，小明有10顆糖(不可辨)，每天至少吃一顆，只至吃完，那么有多少種吃法?

問題正面分類，考慮分幾天吃，那么問題就很復雜。轉化考慮方式，即10顆糖排成一列，每兩顆之間加一擋板，則分為兩天。不加擋板，即在一天吃完。因此，問題轉化為，九個間隔位置上是否加擋板。即吃法有N=299。

所以，在轉化時，通過對問題結論形式的變化，往往可以化繁為簡，化生為熟，有效解決問題。

三、運用集合語言，轉化問題敘述形式

例3:(跑步問題)6名運動員參加4×100接力賽，要求甲不跑第一棒且乙不跑第四棒，有多少種安排方法?

本題在解決時，如果從集合角度來看問題，敘述成集合語言形式，可以更加明確、嚴密。比如，記A:甲跑第一棒，B:乙跑第四棒。所求就是6人參加4×100中，既不滿足A也不滿足B的安排方法。對應解法: card(C1A∩C1B)=card(I)-card(A)-card(B)+card(A∩B)。

即安排方法數為A-A-A+A=252。也可以這樣:記A為甲不跑第一棒，B跑第四棒，即:card(A∩C1B)=card(A)-card(A∩B)=5A-4A=252?？梢?，同樣是運用集合語言，解決方法也不盡相同。但可以肯定的是，運用集合語言，常常可以使問題更加簡潔、具有普遍性。

四、正難則反，轉換問題解決角度

解題猶如攻城，必須知己知彼，正面的敵人多，相應的反面自然會少。這里我們看如下的問題:

例4:取正方體的8個頂點中的4個可以構成多少個三棱錐?

本題在解決時，由于正面情況不共面的四點組比較復雜，因此容易產生重復或者遺漏。然而，從反面考慮，即共面的四點組則比較少。即C-12=58。

正難則反的策略在題目中出現“至少”或者“至多”時常常會起到避實就虛的功效。

五、運用對應思想，變換命題結論形式

在解決問題時，如果能和已解決過的問題建立起聯系，那么問題就會變得更加方便解決。

例5:取正方體的棱和面對角線、體對角線可以組成多少對異面直線?

如果真的直接考慮直線有幾條，再考慮異面直線有幾對，問題就會非常復雜，原因在于重復太多。此時，如果能和例5聯系起來，即不共面的四點組對應于3對異面直線。則容易得到:3·(C-12)=174。

這里關鍵在于將四點組和異面直線建立了對應關系。應用對應思想，能夠靈活轉化命題結論，正如“化敵為友”。

當然，學好排列組合僅僅會靈活轉化是不夠的，需要我們在學習中不斷歸納總結，以用理論指導我們的實踐。

(樂清市柳市中學)