用概率分析抽簽的公平合理性

在生活中，我們經常用抽簽的方式來解決某些問題，比如在進行某些演出活動時，組織者安排每個節目的出場順序時，有時是用抽簽的方式來確定。有些公司在節日期間舉行促銷活動，為了吸引更多顧客參與，通常要安排抽獎活動。還有大家熟知的世界杯足球賽分組時也是采用抽簽來決定。試問在這些活動中抽取對各(組)人來說是否公平合理呢?一般人認為，先抽占優勢后抽吃虧，是這樣嗎?下面用概率知識來談談這個問題。

讓我們從一個“抽獎問題”說起:在5張外觀完全相同的獎券中，有1張是中獎券，現有5人按照先后順序從中各抽1張，請問這5人抽到中獎券的概率相同嗎?這種抽獎方式是否合理?一般來說，我們會認為先抽的人比后抽的人占優勢，所以都不愿意后抽。原因是大家誤認為，第一個人抽到中獎券的概率是1/5，如果第一個人抽到中獎券，那么后面四人抽到中獎券的概率為0。如果第二個人抽到中獎券，那么后面三人抽到中獎券的概率為0。相反，如果第一個人抽不到中獎券，那么第二個人抽到中獎券的概率是1/4。如果第一、第二個人都沒有抽到中獎券，那么第三個人抽到中獎券的概率是1/3，如此下去，每個人抽到中獎券的概率不一樣，順序靠后的人就會覺得這種抽獎方式很不公平。事實上不是這樣，對于這五人先后抽獎是否合理，讓我們用概率知識來正確分析一下，因為第一個人是從五張獎券中去抽一張，且五張獎券中有一張是中獎券，所以第一個人抽到中獎券的概率顯然是1/5。對于第二個人抽到中獎券的概率，我們則要把前面二人抽獎情況看作一個整體來分析，由獨立事件的概率知，在第一個人未抽到中獎券的情況下，第二個人抽到中獎券的概率應等于第一個人未抽到的概率4/5乘以第二個人抽到的概率1/4，即第二個人抽到中獎券的概率是1/5。而對于第三個人抽到中獎券的概率，則要把前三個人看作一個整體來分析，還是由獨立事件的概率知，在第一、二個人未抽到的情況下，第三個人抽到中獎券的概率等于第一個人未抽到的概率4/5乘以第二個人未抽到的概率3/4再乘以第三個人抽到的概率1/3，結果還是1/5。通過類似分析，第四、第五個人抽到中獎券的概率均為1/5，這說明5個人抽到中獎券的概率不論先后都是1/5。由此我們說這種抽獎方式對于先抽的人和后抽的人都是一樣，是合理的。

實際上，對上述問題也可以這樣理解:我們把五張外觀完全一樣的獎券放入一個盒子中搖勻，讓五個人依次去抽取，由于其中的一張中獎券被排在五個位置上的可能性是相同的，所以不管哪個位置抽到中獎券的可能性都是相等的，概率都是1/5，即不管先抽后抽每個人抽到中獎券的概率都是相等的。

下面讓我們再看一個摸球問題:有1個黑球和9個白球，它們除顏色不同外，形狀大小都一樣，現把這10個球放入一個盒子中搖勻，由10個人依次摸出1個球，問每個人摸出黑球的概率是多少?對于這個問題，由等可能性事件的概率知，在盒子中的這個黑球被排在10個位置中的每一個位置上的可能性都是相同的，也就是說每個人不管排在什么順序去摸球都有可能摸到黑球，每個人摸到黑球的概率都是1/10，即每個人摸到黑球的概率相等。

在高中三年級的教材中我們學過抽樣方法，由其中的抽簽法可知從n個總體中抽取m個樣本，每個個體被抽到的概率都是m/n。抽獎也是這樣一個道理，當n張獎票中有m張中獎票時，每個抽獎者抽到每張中獎票的概率都是m/n。

事實說明，在我們生活中遇到的無論是抽簽還是抽獎，只要組織者的操作過程是真實公平的，那么這個抽簽活動對于每個抽簽人來說都是公平合理的。

(拉薩市第三高級中學)