用沖量定理法求解圓柱內部的熱傳導問題

摘要:本文主要探究運用沖量定理求解非齊次邊界條件下圓柱形空間內無源熱傳導相關問題。熱傳導問題的邊界條件，運用通常的線性變換很難齊次化，邊界條件齊次化后的泛定方程中會出現持續熱源項。文章中將持續作用的熱源看作為許許多多前后相繼的“瞬時”熱源的疊加，這就是沖量定理法在輸運問題在曲線坐標系中應用的擴展。

關鍵詞:沖量定理;熱傳導;數學物理方法

中圖分類號:G633.7 文獻標識碼:A 文章編號:1003-6148(2010)8(S)-0037-3

1 引言

有驅動力的波動方程和有源的輸運方程是重要的數學物理方程[1-3]，很多時候這類方程具有非齊次的邊界條件。求解這類問題使用最廣泛的方法是格林函數法，也稱點源響應(Impulse Response)方法。在物理上可以用沖量定理求解格林函數，也可以應用點源響應的物理思想，直接運用沖量定理法求解具有非齊次邊界條件的非齊次泛定方程[1-3]。

沖量定理法的基本物理思想是把持續作用力看成許許多多前后相繼的“瞬時力”，把持續作用力引起的振動看成所有“瞬時”力引起的振動的疊加。此方法通常用在非齊次振動方程和輸運方程的定解問題求解中。將持續作用的力瞬時化，并應用積分形式表示，然后運用沖量定理得到每一個瞬時力的效果。沖量定理法的一般解題過程可以用圖1描述。

本文從梁昆淼先生的《數學物理方法》[1]教材中的一道習題出發，將沖量定理法運用到柱坐標系的輸運問題中，并結合齊次方程分離變量得到貝塞爾級數解。這是比單獨使用分離變量法更簡單、物理圖像更清晰的求解方法。

2 理論與方法

在學習求解輸運方程時，筆者碰到一道不能用常規方法化為簡單齊次方程的問題。題目來源于梁昆淼先生的《數學物理方法》(第三版)第11章第2小節的課后習題13題。

題目:勻質圓柱半徑為ρ0、高L，試求解圓柱內部的熱傳導問題: