帶條件風(fēng)險(xiǎn)約束的發(fā)電商最優(yōu)投標(biāo)模型及計(jì)算

摘要:為發(fā)電商的投標(biāo)策略和風(fēng)險(xiǎn)管理提出了一種新的方法，采用條件風(fēng)險(xiǎn)(CVaR)作為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，建立了雙層優(yōu)化的發(fā)電商投標(biāo)模型，上層解決社會(huì)效益最大和風(fēng)險(xiǎn)最小問(wèn)題，下層解決發(fā)電商利潤(rùn)最大問(wèn)題，設(shè)計(jì)了啟發(fā)式粒子群算法(PSO)求解該復(fù)雜的雙層優(yōu)化模型。在4節(jié)點(diǎn)2機(jī)系統(tǒng)和9節(jié)點(diǎn)3機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)說(shuō)明該模型和算法具有較好的計(jì)算效果和時(shí)效性，通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較顯示CVaR比VaR更準(zhǔn)確地度量了發(fā)電商的風(fēng)險(xiǎn)。

關(guān)鍵詞:優(yōu)化模型;粒子群優(yōu)化算法;投標(biāo)策略

中圖分類(lèi)號(hào):TM743文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

Based on Risk Constraint of the Bidding Strategy Model and Computation for Generating Company

LUO Ke1， ZHAO Zhi-xue1，2 ，TONG Xiao-jiao1

(1. Changsha University of Science and Technology， College of Computer and Communication Engineering， Changsha，410076;2.Hunan University of Commerce， College of Computer and Electronic Engineering， Changsha，410205)

Abstract: A new method is proposed for bidding strategy and risk management of a generation company. Take the Condition Value-at-Risk (CVaR) as a measure of risk indicators a two-tier optimization of electricity market bidding model is built. The upper-level objective is to solve maximizing social profits and risk problem， the bi-level optimization is the largest power generation company profit optimization. In this paper， we designed heuristic particle swarm optimization (PSO) algorithm to solve the complex two-tier optimization. The IEEE 4-bus system and IEEE 9- bus system have been tested. Numerical examples of some standard tested IEEE systems show that the new model and algorithm have better effect of computation and practical. The contrast analysis show that CVaR can more accurately measure the risk of the power suppliers than VaR

Key words:optimization model;particle swarm optimization algorithm;bidding strategy

0引言

在電力市場(chǎng)中，發(fā)電商投標(biāo)策略模型和計(jì)算方法的研究得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[1]對(duì)投標(biāo)策略的研究進(jìn)行了比較全面的介紹，按研究方法的不同可分為三類(lèi):其一是通過(guò)預(yù)測(cè)下一交易日的市場(chǎng)清除價(jià)格來(lái)制定投標(biāo)策略的方法，該方法適合于小型發(fā)電商且其投標(biāo)策略對(duì)市場(chǎng)淸除價(jià)格基本沒(méi)有影響的情形;其二是基于博弈論求解市場(chǎng)均衡的方法，該方法在發(fā)電商不具備完全的市場(chǎng)信息時(shí)缺乏有效的處理手段，導(dǎo)致最終投標(biāo)策略脫離現(xiàn)實(shí);其三是估計(jì)其它競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手投標(biāo)行為的方法，該方法需要對(duì)其它競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的投標(biāo)策略的分布函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，最終確定自己的投標(biāo)策略。

通常，期望利潤(rùn)大的投標(biāo)策略其風(fēng)險(xiǎn)也大。因此，發(fā)電商需要對(duì)投標(biāo)策略的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析和評(píng)估，構(gòu)造兼顧期望利潤(rùn)最大和風(fēng)險(xiǎn)最小兩個(gè)矛盾目標(biāo)的折衷投標(biāo)策略。鑒于此，已有大量的學(xué)者將風(fēng)險(xiǎn)分析方法應(yīng)用于投標(biāo)策略的研究。文獻(xiàn)[2]Markowitz第一次從風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率與風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系出發(fā)，用方差來(lái)描述風(fēng)險(xiǎn)，討論了不確定性經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中最優(yōu)資產(chǎn)組合的問(wèn)題。然而，該模型用方差計(jì)量風(fēng)險(xiǎn)有較大的局限性。20世紀(jì)90年代Value-at-Risk(VaR)成為風(fēng)險(xiǎn)管理的主要手段。Alexander G和Baptista A[3]提出的以VaR作為風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的“均值-VaR”模型。Rockafell-Uryasev等[4]在2000年分析了VaR方法在實(shí)際應(yīng)用中的缺陷，并提出條件風(fēng)險(xiǎn)(Condition Value-at-Risk:CVaR)作為風(fēng)險(xiǎn)的度量。與VaR比較，CVaR滿(mǎn)足風(fēng)險(xiǎn)度量的一致性特點(diǎn)，可運(yùn)用于一般的隨機(jī)變量分布;特別是通過(guò)引入一個(gè)特殊的輔助函數(shù)，使CVaR可用凸優(yōu)化計(jì)算，同時(shí)得到VaR的值。CVaR作為風(fēng)險(xiǎn)度量的這些優(yōu)點(diǎn)使其應(yīng)用日益廣泛，許多學(xué)者進(jìn)行了深入的研究[5-13]。

本文探討將CVaR理論應(yīng)用于電力市場(chǎng)領(lǐng)域。基于電力市場(chǎng)的運(yùn)營(yíng)機(jī)制和投標(biāo)方法[14-15]，本文構(gòu)造了一種基于CVaR發(fā)電商最優(yōu)投標(biāo)策略的新模型，應(yīng)用第三類(lèi)方法——估計(jì)其它競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手投標(biāo)行為制定投標(biāo)策略，對(duì)對(duì)手的投標(biāo)數(shù)據(jù)參數(shù)采用了蒙特卡洛仿真模擬，提出了求解發(fā)電商最優(yōu)投標(biāo)策略模型的PSO(Particle Swarm Optimization，PSO)算法，保證了算法的全局收斂性。IEEE多個(gè)算例的數(shù)值顯示本文所提出的模型和算法具有較好的計(jì)算效果。

1 CVaR模型簡(jiǎn)介

記 為決策變量，隨機(jī)變量 的分布為 ，通常定義 為損失函數(shù)。在文獻(xiàn)[4]中，Rockafellar-Uryasev定義條件風(fēng)險(xiǎn) 為:

(1) 其中 為置信水平， 為風(fēng)險(xiǎn)值。文獻(xiàn)[4]通過(guò)構(gòu)造函數(shù) 來(lái)計(jì)算 ，其中:

(2)

(3)

文獻(xiàn)[4]還證明了 是關(guān)于變量 的連續(xù)可微凸函數(shù)。因此CVaR為一凸規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)值。由于(2)式是連續(xù)性的，需要對(duì)其進(jìn)行離散化，用 的近似值代替它，得到式(4):

(4)

2 發(fā)電商最優(yōu)投標(biāo)模型

假設(shè)電力市場(chǎng)包括n家發(fā)電商，每一個(gè)發(fā)電商只有一臺(tái)發(fā)電機(jī)組，給定投標(biāo)函數(shù)為:(5) 。記(xi，x-i )=( ， )，其中 是所求發(fā)電商的投標(biāo)參數(shù)，a-i，b-i是競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的投標(biāo)參數(shù)， 是發(fā)電量。發(fā)電商的成本函數(shù)為:( 為常量)(6)

發(fā)電商的利潤(rùn)函數(shù)為:

(7)

其中 ， 是結(jié)點(diǎn)i的價(jià)格和發(fā)電量，它們分別是發(fā)電商投標(biāo)后綜合考慮社會(huì)效率最大化或費(fèi)用最小化確定的價(jià)格和電量分配，可由ISO模型求出。假定以第i家發(fā)電商為研究對(duì)象，其它競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手服從正態(tài)分布。

ISO模型是在考慮社會(huì)效益最大化和網(wǎng)絡(luò)約束的條件下進(jìn)行最優(yōu)調(diào)度。其模型表達(dá)式為:

(8)

其中 (9)

d=(d1，d2，.....，dj)是用戶(hù)(網(wǎng)絡(luò))的需求，q=(q1，q2，…qI)是發(fā)電商的發(fā)電量，B(d)是效用函數(shù)，C(x，q)是發(fā)電商的總成本函數(shù)。h(q，d)表示系統(tǒng)運(yùn)行約束和發(fā)電機(jī)出力約束，因此定義KKT系統(tǒng)為:

(10)

利用(10)式求解出利潤(rùn)函數(shù)中的發(fā)電電量q，用戶(hù)需求q，和市場(chǎng)清除價(jià) 。

根據(jù)利潤(rùn)函數(shù)的期望來(lái)求解最大利潤(rùn)，由此可知第i個(gè)發(fā)電商最優(yōu)投標(biāo)模型可以表示為:

(11)

由于(11)式中的約束條件中設(shè)置

為利潤(rùn)函數(shù)的相反數(shù)，可以由(4)和(10)式得到，由此得出總投標(biāo)模型為:

(12)

3算法設(shè)計(jì)

PSO算法是Kennedy和Eberhart博士于1995年提出的一種基于群體智能的進(jìn)化方法。基本的粒子群模型在一個(gè)n維的空間內(nèi)，m個(gè)粒子組成的群體與進(jìn)化代數(shù)t相關(guān)的粒子位置 及速度 構(gòu)成，表示為: ; 式中:J=1，2…，m，代表粒子的編號(hào);i=1，2，….，n，是粒子位置元素的編號(hào);t是進(jìn)化的代數(shù)。因此在t+1代，粒子J的速度更新表達(dá)式為:

(13)

粒子J位置的更新表達(dá)式為:(14)

C1，C2是常數(shù)，Rand()是在[0，1]區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

ISO優(yōu)化模型是一個(gè)典型的二次凸規(guī)劃問(wèn)題，可用一般優(yōu)化算法進(jìn)行最優(yōu)值的求解。 CVaR模型是一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，可以用PSO算法進(jìn)行計(jì)算，并且具有全局收斂性。

PSO算法隨機(jī)產(chǎn)生粒子，每個(gè)粒子代表發(fā)電商待優(yōu)化參數(shù)，從樣本數(shù)據(jù)中選擇規(guī)定范圍內(nèi)N個(gè)粒子X(jué)i，再對(duì)每個(gè)產(chǎn)生的粒子進(jìn)行ISO優(yōu)化調(diào)度。根據(jù)文獻(xiàn)[14]提出的“ 規(guī)則”， 對(duì)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的投標(biāo)進(jìn)行估計(jì)，隨機(jī)抽取k個(gè)點(diǎn)進(jìn)行模擬，得到k個(gè)相應(yīng)的f和相應(yīng)的( ， )，隨即帶入CVaR模型求解。在計(jì)算粒子適應(yīng)度之前，需要驗(yàn)證粒子位置變量是否違反約束，以決定是否對(duì)粒子適應(yīng)值進(jìn)行懲罰。其適應(yīng)度為:

(15)

式子中:r為懲罰項(xiàng)， ， ， 為正常數(shù)。具體的算法步驟如下:

Step1初始化粒子，粒子為2維數(shù)組(Swarm[ai，bi])，粒子數(shù)為N，最大迭代次數(shù)為T(mén)max，精確度閥值為eps，(13)式中的C1，、C2取值為1.4962 。在規(guī)定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生粒子位置和速度信息。

Step2 對(duì)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的投標(biāo)參數(shù)系數(shù) 進(jìn)行蒙特卡洛模擬仿真，取K個(gè)yk。

Step3 將K個(gè)yk和 (t為當(dāng)前迭代數(shù))一起帶入ISO優(yōu)化模型求出對(duì)應(yīng)的K個(gè)f( ，yk)和相應(yīng)的( )。然后用所求的K個(gè)f( ，yk)代入到CVaR模型中求解風(fēng)險(xiǎn)約束，即 。

Step4 將每個(gè)粒子帶入到適應(yīng)度函數(shù)(15)中，求解適應(yīng)度。如果該適應(yīng)度值好于歷史最好值(Pbest)，則令當(dāng)前值作為新的Pbest，在所有的Pbest中選取最優(yōu)的作為全局最優(yōu)點(diǎn)(Gbest)。

Step5 利用(13)，(14)更新粒子的速度和位置。

Step6 判斷是否達(dá)到迭代終止條件—— 一個(gè)預(yù)設(shè)的最大迭代次數(shù)Tmax( )和最小精度閥值eps( ，j為粒子數(shù))，則程序終止，否則t→ t+1，返回Step3，進(jìn)行新一輪的迭代。

4數(shù)值實(shí)驗(yàn)

4.1IEEE4-bus不同V下的效益以及各項(xiàng)結(jié)果

首先采用IEEE4-bus系統(tǒng)對(duì)所提出的方法進(jìn)行測(cè)試，模擬電力傳輸網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。圖1是4節(jié)點(diǎn)2發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，1，2號(hào)節(jié)點(diǎn)各有一臺(tái)發(fā)電機(jī);而3，4號(hào)節(jié)點(diǎn)是負(fù)荷節(jié)點(diǎn)。表1為發(fā)電商技術(shù)與經(jīng)濟(jì)參數(shù)表和ISO負(fù)荷需求參數(shù)表。

為了簡(jiǎn)潔，采用直流潮流約束進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)修改各線(xiàn)路的阻抗和容限來(lái)調(diào)整發(fā)電機(jī)的發(fā)電量、負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的電量和電價(jià)。假定以2號(hào)發(fā)電商為研究對(duì)象，其中C=19 =95%，引用文獻(xiàn)[13]的計(jì)算結(jié)論，A2的搜索范圍為[0.5*3，10*3]，B2的搜索范圍[0.5*0.02500，10*0.02500]，同時(shí)假設(shè)q，d相等。通過(guò)計(jì)算，當(dāng)V=25時(shí)，其最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)a2=5.1598; b2=0.4001; =( 0.4624 ，4.5988 ，2.3262 ，2.7350)MW;這時(shí)的市場(chǎng)清除價(jià)R=6.9998美元/(MW#8226;h)，利潤(rùn)為18.1298美元。

表2，表3分別為發(fā)電商1，2在給定不同的V時(shí)所求得的最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)ai，bi、市場(chǎng)清除價(jià) 以及利潤(rùn) 。從表3的計(jì)算結(jié)果可以看出，隨著V的降低，最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)a2，b2變大，即投標(biāo)系數(shù)增加，被調(diào)度的發(fā)電量 相應(yīng)增大，利潤(rùn)的期望值f隨之增加，市場(chǎng)清除價(jià)也有小幅度增長(zhǎng)。當(dāng)V達(dá)到一個(gè)特定值以后，最大利潤(rùn)也趨于平衡，最后達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的值。

由于設(shè)置 為利潤(rùn)函數(shù)的相反數(shù)，所VaR、

CvaR是一個(gè)負(fù)數(shù)，為了方便，采用-VaR、-CvaR進(jìn)行說(shuō)明。如果盲目追求利潤(rùn)而采用較高的報(bào)價(jià)系數(shù)，雖然所得的期望利潤(rùn)會(huì)相應(yīng)的變大，但是-VaR和-CVaR值小于期望值，高的報(bào)價(jià)相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)也會(huì)增大。此外，還可以看出-CVaR的值一般都小于-VaR值，這是由于CVaR反映的是收益尾部α分位點(diǎn)之后的期望值，也就是考慮了最壞情況中的所有情況，因此-CVaR值小于-VaR值，它比-VaR值更準(zhǔn)確地度量了發(fā)電商的風(fēng)險(xiǎn)。

圖2是 4節(jié)點(diǎn)2發(fā)電機(jī)系統(tǒng)效益前沿圖，從圖2可以看出，兩家發(fā)電商在不同的V下的最大期望利潤(rùn)都是單調(diào)遞增一段以后達(dá)到平衡。

圖24節(jié)點(diǎn)2發(fā)電機(jī)系統(tǒng)效益前沿圖

Fig.2 The maximum profit trend graph in different risk factor V

從以上比較分析可得，不同的V值能直接導(dǎo)致不同的投標(biāo)系數(shù)，調(diào)度的發(fā)電量，以及市場(chǎng)清除價(jià)格和發(fā)電商的利潤(rùn)。如果忽略風(fēng)險(xiǎn)因素，會(huì)直接影響自己的投標(biāo)決策，達(dá)不到預(yù)期利潤(rùn)從而產(chǎn)生損失，所以在制定投標(biāo)策略時(shí)必須考慮相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)。同樣，求解發(fā)電商1的結(jié)果，從中可以看到由于輸電量的約束導(dǎo)致-V足夠小的時(shí)候只能趨向3.82;其它的變量的變化同第2家發(fā)電商，當(dāng)-V變大時(shí)，最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)a1，b1變大，被調(diào)度的發(fā)電量相應(yīng)增加，利潤(rùn)的期望值也隨之增加，市場(chǎng)清除價(jià)也有小幅度變大。

圖3算例1粒子2的位置和速度的演化圖

Fig.3 The position and velocity evolution map of Particle 2 in Example 1

粒子位置變量值和速度值演化進(jìn)程可以得出迭代收斂的動(dòng)態(tài)信息。圖 3為求解發(fā)電商2在V=15時(shí)粒子2的位置和速度的演化圖。如圖3(a)所示，對(duì)于粒子2，a2其速度值在前49代中是在0上下振蕩的，對(duì)應(yīng)的位置在5.1附近振蕩。在這之后，粒子的位置穩(wěn)定在5.15，而速度穩(wěn)定在0;如圖3(b)所示，b2其速度值在前47代中是在0上下振蕩的，對(duì)應(yīng)的位置在0.40附近振蕩。在這之后，粒子的位置穩(wěn)定在0.3987，而速度穩(wěn)定在0，這表明全局最優(yōu)解。

4.29節(jié)點(diǎn)3發(fā)電機(jī)系統(tǒng)中不同V下的效益

為了進(jìn)一步測(cè)試該模型，采用了IEEE 9-bus 系統(tǒng)進(jìn)行模擬求解。圖4是9節(jié)點(diǎn)3發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，其中1，2，3節(jié)點(diǎn)各有一個(gè)發(fā)電機(jī)，其余的為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)。表4是線(xiàn)路參數(shù)表，表5是發(fā)電商技術(shù)與經(jīng)濟(jì)參數(shù)表，表6是ISO負(fù)荷需求參數(shù)表。

表7，表8，和表9分別為IEEE9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中發(fā)電商1，2，3在給定不同的V時(shí)所求得的最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)、市場(chǎng)清除價(jià)R以及利潤(rùn)。從計(jì)算結(jié)果可以看出:隨著V的降低，最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)a2，b2，節(jié)點(diǎn)電價(jià)和利潤(rùn)變化同4節(jié)點(diǎn)2機(jī)系統(tǒng)變化相同，電量隨投標(biāo)系數(shù)變大而增加。從圖5可以看出利潤(rùn)變化同4節(jié)點(diǎn)2發(fā)電機(jī)系統(tǒng)變化相同，增長(zhǎng)到一定值以后不再隨V的變化而變化趨于平衡。

5 結(jié)論

本文在兼顧利潤(rùn)最大和風(fēng)險(xiǎn)最小這兩個(gè)沖突目標(biāo)情況下，構(gòu)造了一種新的發(fā)電商最優(yōu)投標(biāo)策略?xún)?yōu)化模型，提出了基于Monte Carlo仿真和粒子群優(yōu)化算法兩種求解方法，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)得出了以下結(jié)論:

1)風(fēng)險(xiǎn)因子V越小，投標(biāo)系數(shù)隨之增大，投標(biāo)相應(yīng)增高。

2)風(fēng)險(xiǎn)越大，利潤(rùn)越高。但是并不是無(wú)限制的提高，當(dāng)V達(dá)到一定的程度時(shí)，利潤(rùn)就不再增長(zhǎng)達(dá)到平衡，趨于一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的數(shù)值。

3)由于本文模型設(shè)置 為利潤(rùn)函數(shù)的相反數(shù)，所以VaR、CvaR是一個(gè)負(fù)數(shù)，那么-CVaR值一般都小于-VaR值。雖然VaR、CVaR都是測(cè)量下偏風(fēng)險(xiǎn)，但VaR將注意力集中在一定置信度下的分位點(diǎn)上，而該分位點(diǎn)下面的情況則完全被忽略了，它使發(fā)電商忽略了某些極端的情況，而這些情況恰恰是發(fā)電商風(fēng)險(xiǎn)管理所必須關(guān)注的。而CVaR考慮了最壞情況中的所有情況，它比VaR值更準(zhǔn)確地度量了發(fā)電商的風(fēng)險(xiǎn)。

4)PSO算法在求解類(lèi)似該復(fù)雜約束非線(xiàn)性的投標(biāo)模型問(wèn)題中具有簡(jiǎn)單易行、能求出全局最優(yōu)解和快速收斂的優(yōu)點(diǎn)，并且與初始點(diǎn)選擇無(wú)關(guān)。

參考文獻(xiàn)

[1] 余志森，程瑜，黃鶯.基于成本的電力供應(yīng)商報(bào)價(jià)策略研究[J].華北電力技術(shù)，2008，38(4):1-4

YU Zhi_sen， CHENG Yu，HUANG Ying. Bidding Strategies of Demand-side Based on Cost Analysis[J].North China Electric Power， 2008，38(4):1-4

[2] H. Markowitz. Portfolio selection[J]. Journal of Finance， 1952， 3 (7) :77-91.

[3] G.J. Alexander，A.M. Baptista. Economic implications of using a mean-VaR model for portfolio selection: A comparison with mean-variance Analysis[J]. Journal of Economic Dynamics and Control， 2002 ，26 :1159-1193.

[4] R.T. Rockafellar and S. Uryasev. Optimization of conditional value-at-risk[J]. The Journal of Risk， 2000， 2(3):21-41.

[5] 廖菁，江輝，彭建春，等.基于VaR和CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量的發(fā)電商競(jìng)價(jià)策略[J].繼電器，2007，35(11):31-36.

LIAO Jing，JIANG Hui， PENG Jian-chun，et al. Risk assessment on bidding strategy of power generation companies based on Var and CVar method[J].Relay， 2007，35(11):31-36.

[6]HANSEN P，JAUMARD， SAVARD G.New Branch-and-bound Rules for Linear Bi-level Programming[J]. SIAM Journal on Science and Statistical Computing，1992，13(5):1194 1217.

[7] SAVARD G，GAUVINJ.The Steepest Descent Direction for the Nonlinear Bi-level Programming Problem[J]. Operations Research Letters，1994，15(5):265-273

[8] BARD J F.An Efficient Point Algorithm for a linear Two-stage Optimization Problem[J]. Operations Research Letters，1983，31(4):670-684

[9]MATHIEU R，PITTARD L，ANANDALINGAMG..Genetic Algorithm Based Approach to Bi-level Linear Programming[J]. Operations Research Letters，1994，28(1):1-21

[10]ODVGUWA V， ROY R. Bi-level Optimization Using Genetic Algorithm [A]. In: Proceedings of IEEE International Conference on Artificial Intelligence System (ICAIS’02)[C]. Divnomorskoe (Russia)， 2002:322-327.

[11] Hobbs B f ， Metzler CB， Pang JS.Strategic Gaming Analysis for Electric Power Systems [J].An MPEC Approach. IEEE Trans on Power Systems: 2000，15(2):638-645.

[12]馬超群，侯志儉，蔣傳文，等.基于粒子群算法求解電力市場(chǎng)發(fā)電商最優(yōu)供給函數(shù)模型[J].電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2006，30(2):45-47.

MA Chao-chun，HOU Zhi-jian，JIANG Chuan-wen，et al. PSO Algorithm Based Optimal Supply Function Model for Power Producer[J]. Automation of Electric Power Systems，2006，30(2):45-47.

[13]馬新順，文福拴，劉建新，等.計(jì)及輸電容量約束的發(fā)電公司最優(yōu)報(bào)價(jià)策略[J].電力系統(tǒng)自動(dòng)化，200529(10):6-10.

MA Xin-shun，WEN Fu-shuan，Development of Optimal Bidding Strategies for Generation Companies Considering Transmission Capacity Constraints[J]. Automation of Electric Power Systems.200529(10):6-10.

[14] 馬新順，文福拴，倪以信，等.計(jì)及風(fēng)險(xiǎn)并考慮差價(jià)合約的發(fā)電公司最化投標(biāo)策略[J].電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2003，30(22):45-49.

MA Xin-shun，WEN Fu-shuan，NI Yi-xin，et al. Development of risk-constrained optimal bidding straegies for generation companies in electricity markets with cantract for difference Automation of Electric Power Systems，2003，30(22):45-49.

[15] 史忠植.高級(jí)人工智能[M].第二版.北京:科學(xué)出版社，2006

SHI Zhong-zhi.Advanced artificial intelligence[M]. The Second Edition.Beijing: Science Press，2006