數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

方法是效率，方法是途徑。我們生活中無論做什么事都要有方法。只有講究方法，才是做好一件事的關(guān)鍵。選擇合適的解決方法，往往能起到事半功倍的效果。

一、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法

通常情況下，數(shù)學(xué)方法是為解決問題而采用的手段、步驟和程序，它是一種過程性認(rèn)識(shí)。而數(shù)學(xué)思想則是數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn)，是對(duì)數(shù)學(xué)的概念、原理、方法、發(fā)現(xiàn)法則的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。對(duì)于問題，數(shù)學(xué)思想就是策略，它能溝通問題與知識(shí)、方法間的聯(lián)系。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)方法的形式所以通常把二者統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。數(shù)學(xué)思想是概括和提煉。數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的思想學(xué)科的精髓，是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁。初中數(shù)學(xué)思想方法教育是培養(yǎng)和提高學(xué)生素質(zhì)的重要內(nèi)容。新的《課程標(biāo)準(zhǔn)》突出強(qiáng)調(diào):“在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)好概念的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)的規(guī)律”。因此開展數(shù)學(xué)思想方法教育應(yīng)作為新課改中所必須把握的數(shù)學(xué)要求。具體實(shí)施辦法是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，將數(shù)學(xué)思想方法有機(jī)地滲透入教學(xué)計(jì)劃和教學(xué)要求中。

教學(xué)計(jì)劃的制定應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的綜合考慮，要明確每一階段的載體內(nèi)容，教學(xué)目標(biāo)展開步驟、教學(xué)程序和操作要點(diǎn)。

二、數(shù)學(xué)思想方法之函數(shù)與方程思想及應(yīng)用舉例

1.函數(shù)思想

函數(shù)思想是把問題中的量化為變量和常量，并把這些量用字母(習(xí)慣用x，y)表示，把量與量的關(guān)系抽象概括為函數(shù)模型，用運(yùn)動(dòng)、變化和對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)通過對(duì)函數(shù)模型的研究利用函數(shù)的性質(zhì)，使問題獲得解決。

函數(shù)是近代數(shù)學(xué)最重要的概念之一。它是量的側(cè)面反映著現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、變化及相互聯(lián)系、相互制約的關(guān)系，在初中階段，能利用解析式表示正、反比例函數(shù)、二次函數(shù)。在日常生活中，還存在著函數(shù)關(guān)系，它們多數(shù)用圖像表示的。

例:有一個(gè)附有出入管的容器，每單位時(shí)間內(nèi)，進(jìn)出的水量都是一定的，設(shè)從某時(shí)刻開始的4分鐘內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的8分鐘既進(jìn)水又出水，得出時(shí)間x(分)與水量y(升)之間的關(guān)系，如圖:

(1)每分鐘進(jìn)水多少升?

(2)當(dāng)4≤x≤12時(shí)，x與y有何關(guān)系?

(3)若12分鐘后只放水不進(jìn)水，求y與x的不等式。

解:(1)由圖可知:前4分鐘進(jìn)水20升，故每分鐘進(jìn)水5升。

(2)當(dāng)4≤x≤12時(shí)函數(shù)圖像是直線段，它通過點(diǎn)(4，20)和(12，30)把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b可求得x，y的關(guān)系式:y=1.25x+15 (4≤x≤12)。

(3)當(dāng)x=5時(shí)，y=1.25×5+15= 21.25從x=4到x=5，y增加1.25，故每分鐘出水5-1.25=3.75升。因此到第13分鐘，容器內(nèi)的水量為30-3.75=26.25升，即當(dāng)x≥12時(shí)，直線過點(diǎn) (12，30)和(13，26.25)代入y=kx+b可得y=-3.75+75(x≥12)。

分析:本例要求根據(jù)所給圖像(折線)，從中發(fā)現(xiàn)變量與不變量，變量與常量的關(guān)系。進(jìn)而建立適合題意的一次函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為熟悉的一次函數(shù)。

2.方程思想

方程思想是把問題中的量劃分為已知量和未知量，并把這些量用字母表示(習(xí)慣上用x表示未知量)，將問題中的條件，量與量的關(guān)系列為方程或者不等式通過解方程或不等式，或利用不等式的性質(zhì)，使問題得到解決。

在方程問題中，行程是一類較復(fù)雜的問題，但無論多么復(fù)雜，只要涉及到路程、速度和時(shí)間的應(yīng)用題，都屬于行程問題，都應(yīng)適合等量關(guān)系式:路程=速度×?xí)r間。

同時(shí)還有:時(shí)間=路程÷速度;速度=路程÷時(shí)間。

當(dāng)然行程問題還包括更復(fù)雜的相遇問題、追及問題、水路問題、和環(huán)路問題等。

3.函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化思想

函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化思想是用變量相對(duì)的觀點(diǎn)，將方程、不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)性質(zhì)來解決?；?qū)⒑瘮?shù)轉(zhuǎn)化為方程問題，利用方程或方程性質(zhì)來解決。

(1)把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程或不等式問題

把函數(shù)關(guān)系式看作等式(含未知數(shù))來解決。其實(shí)將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題或不等式，就是把變量轉(zhuǎn)化為未知量。

(2)把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題

在等值變形中，使用換元法的關(guān)鍵是確定合適的輔助元。一般確定輔助元時(shí)，可考慮以下幾個(gè)方面:若代數(shù)式是由幾個(gè)式子重復(fù)出現(xiàn)構(gòu)成的，可把重復(fù)出現(xiàn)的式子定為輔助元。若代數(shù)式各部分之間存在著特殊的運(yùn)算關(guān)系可將其中一部分定為輔助元，其余部分借助輔助元表示出來，使問題得到解決，做某些等式變形時(shí)可通過換元法把等值變形化為同解變形問題，也可把整個(gè)式子定為輔助元。借助方程或方程組的性質(zhì)使問題得到解決。

在方程中，使用換元法，將高次方程化為低次方程，復(fù)雜方程化為簡單方程，便可求解。

例:解方程(x2+3x+4)(x2+3x+5)=6

解:令x2+3x=y，則方程可變?yōu)?/p>

(y+4)(y+5)=6

y2+9y+14=0

解得:y1=-2，y2=-7

當(dāng)y1=-2時(shí)，x2+3x=-2，解得x1=-1，x2=-2。

當(dāng)y2=-7時(shí)，x2+3x=-7，此方程無解。

∴原方程的解為x1=-1，x2=-2。

從以上內(nèi)容可知，函數(shù)與方程問題是非常方便快捷的，那么怎樣才能把生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和方程的模型，要構(gòu)建函數(shù)與方程的模型，就必須先攻克函數(shù)與方程思想的難點(diǎn):即構(gòu)造“函數(shù)與方程”。(構(gòu)造輔助函數(shù)法、構(gòu)造輔助方程法、函數(shù)與方程互化法)

數(shù)學(xué)思想方法的滲透應(yīng)根據(jù)教學(xué)計(jì)劃有步驟地進(jìn)行。一般地，在知識(shí)的概念形成階段導(dǎo)入概念型數(shù)學(xué)思想。如方程思想、相似思想、已知與未知相互轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般相互轉(zhuǎn)化思想等。在知識(shí)的結(jié)論、公式、法則等規(guī)律的推導(dǎo)階段，要強(qiáng)調(diào)和灌輸思想方法。如解方程的如何消元、降次;函數(shù)的數(shù)型轉(zhuǎn)化;判定兩個(gè)三角形相似有哪些常用思路;證明兩直線平行有哪些方法等。在所學(xué)數(shù)學(xué)構(gòu)建及問題的處理方面，注意體現(xiàn)其根本思想。如何運(yùn)用同解原理解一元一次方程，應(yīng)注意為簡便而采用的移項(xiàng)法則等。

總之，數(shù)學(xué)思想方法的滲透應(yīng)體現(xiàn)在教學(xué)計(jì)劃中，體現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容之中，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程之中。

(作者單位:安徽省長豐縣羅塘中學(xué))