函數(shù)與方程思想在數(shù)學解題中的應用

摘 要: 本文對數(shù)學中的函數(shù)與方程思想的內(nèi)涵作了探討，并結(jié)合一些具體實例說明了函數(shù)與方程思想在數(shù)學解題中的應用。

關鍵詞: 數(shù)學 函數(shù) 方程思想 應用

函數(shù)與方程思想是指在數(shù)學問題解決過程中，根據(jù)問題中的數(shù)量關系，構(gòu)造或建立適當?shù)暮瘮?shù)與方程，應用函數(shù)與方程的知識及其性質(zhì)進行分析問題和解決問題。函數(shù)與方程思想可以使數(shù)學問題解決變得簡潔、明快，能夠化繁為簡，化難為易。這種思想在數(shù)學解題中有著廣泛的應用，下面我結(jié)合幾個具有代表性的例子予以說明。

一、函數(shù)思想的應用

1.求值

例1.已知實數(shù)x、y滿足(8x+7y)+x+9x+7y=0，求9x+7y的值。

分析:此方程為5次方程，不宜采用常規(guī)方法進行求解，觀察已知式子的結(jié)構(gòu)特點，可以嘗試構(gòu)造函數(shù)f(t)=t+t進行解決。

解:已知等式可變形為(8x+7y)+(8x+7y)=-(x+x)，構(gòu)造函數(shù)f(t)=t+t，易知f(t)為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，因而有f(8x+7y)=-f(x)=f(-x)，進而得:8x+7y=-x，即9x+7y=0。

點評:該問題解決的關鍵是函數(shù)的構(gòu)造，并應用了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，使問題得以解決。

2.解方程

例2.解方程:log(+)-log=0。

分析:本題采用常規(guī)解法難以奏效，可以先換元再利用函數(shù)的單調(diào)性加以解決。

解:設t=log，則x=4，進而得log(4+2)-t=0，即4+2=6，也即()+()=1，構(gòu)造函數(shù)f(t)=()+()，由于f(t)在R上單調(diào)遞減，當t>1時，f(t)f(1)=1;只有當t=1時，f(t)=1，即x=4=16，經(jīng)檢驗x=16為原方程的解。

點評:本題運用函數(shù)的相關性質(zhì)來求解方程，是一種突破常規(guī)的新穎解法，體現(xiàn)了函數(shù)思想解決問題的獨到之處。

3.求范圍

例3.已知實數(shù)a、b、c、d、e、f滿足a+b+c+d+e+f=14，a+b+c+e+f=36，求a的取值范圍。

分析:本題通過常規(guī)途徑難以入手，但若巧妙地構(gòu)造二次函數(shù)，則可以出奇制勝。

解:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-b)+(x-c)+(x-d)+(x-e)+(x-f)=5x-2(b+c+d+e+f)x+(b+c+d+e+f)=5x-2(14-a)x+(36-a)，

顯然f(x)≥0，因而△≤0，即4(14-a)-20(36-a)≤0，解得≤a≤4。

點評:本題巧妙地構(gòu)造二次函數(shù)，再利用其性質(zhì)進行解答，令人耳目一新。

4.證不等式

例4.已知x、y∈R，且x+y=，求證xy+≥。

分析:由結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點，可以想到函數(shù)f(t)=t+，再利用其單調(diào)性進行解決。

證明:0

點評:本題通過構(gòu)造函數(shù)并利用其單調(diào)性使問題便捷地得以解決。

二、方程思想的應用

1.求值

例5.已知α=，β=，求的值。

分析:直接代入求解顯然比較繁瑣，觀察α、β不難發(fā)現(xiàn)二者是x-x-1=0的兩個根，因而想到構(gòu)造二次方程來解決問題，簡化解題過程。

解:由于α+β=1，αβ=-1，因而可構(gòu)造一個以α、β為根的一元二次方程x-x-1=0，則α-α-1=0，β-β-1=0，所以有==。

點評:本題根據(jù)根與系數(shù)的關系，構(gòu)造二次方程，利用根的意義，再整體代入求解，使求解運算變得簡捷，達到化繁為簡的目的。

2.求范圍

例6.已知實數(shù)x，y，z滿足y+z-10=0，x-yz-8x+37=0，求x的范圍。

分析:通過已知等式容易求得y+z和yz，進而構(gòu)造二次方程，利用判別式求得x的范圍。

解:由已知得y+z=10，yz=x-8x+37，因而y，z是關于t的一元二次方程t-10t+x-8x+37=0的兩個實根，因此判別式△=(-10)-4(x-8x+37)=-4(x-8x+12)≥0，解得2≤x≤6。

點評:本題首先將兩數(shù)的和與積表示出來，而后運用根與系數(shù)的關系，通過構(gòu)造二次方程進行求解，新穎獨特。

3.證明不等式

例7.已知=(其中a、b、c均為實數(shù))，求證b≥4ac。

證明:由已知可得7a-b+c=0，即a(-)+b(-)+c=0，因而-是實系數(shù)一元二次方程ax+bx+c=0的一個實根，所以有判別式△=b-4ac≥0，即b≥4ac。

點評:本題通過變形和轉(zhuǎn)化，從數(shù)與式的特征出發(fā)，應用方程思想使結(jié)論得以證明。

4.證明等式

例8.若實數(shù)滿足ln-4ln#8226;ln=0，求證:y=xz。

分析:觀察已知等式的結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn)其恰好符合一元二次方程判別式的形式，易于想到構(gòu)造相應的二次方程加以證明。

證明:當x=y時，由題意可得x=z，此時x=y=z，顯然有y=xz。

當x≠y時，有l(wèi)n≠0，構(gòu)造關于t的一元二次方程:(ln)t+(ln)t+ln=0，易知此方程有一實數(shù)根t=1，由已知得該方程的判別式△=ln-4ln#8226;=0，所以兩根t=t=1，因而t#8226;t==1，進而得=，故y=xz。

點評:本題通過構(gòu)造二次方程證明等式，充分體現(xiàn)了方程思想的獨特性與優(yōu)越性。

總之，函數(shù)與方程思想是數(shù)學中最基本的思想方法，在數(shù)學學習中應注重該思想方法的訓練，熟練地予以掌握，強化應用函數(shù)與方程思想解決數(shù)學問題的意識，不斷地提高思維的靈活性。