在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)

摘 要: 數(shù)學(xué)教學(xué)目的就是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，而思維品質(zhì)的形成又直接關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成。本文作者通過(guò)對(duì)思維的廣闊性、思維的深刻性、思維的敏捷性的培養(yǎng)分析，提出了自己在培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)方面的一些見(jiàn)解，以求達(dá)到不斷優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的目的，起到提高教學(xué)效果的作用。

關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)教學(xué) 思維品質(zhì) 能力培養(yǎng)

學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一，因?yàn)樗季S品質(zhì)的培養(yǎng)既是提高學(xué)生思維能力的重要手段，也是衡量教師在課堂教學(xué)中能否正確把握數(shù)學(xué)思想的重要途徑。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視學(xué)生良好的思維品質(zhì)的形成，以提高學(xué)生靈活多變的思維方法和解題技巧。

一、多方渠道聯(lián)想、培養(yǎng)思維的廣闊性

思維的廣闊性是指思維活動(dòng)作用范圍的廣泛和全面的程度，它表現(xiàn)為能全面地分析問(wèn)題，作出廣泛的聯(lián)想，從而能用各種不同的方法去處理和解決問(wèn)題。

1.加強(qiáng)聯(lián)想訓(xùn)練

加強(qiáng)訓(xùn)練就是要強(qiáng)化學(xué)生的聯(lián)想意識(shí)，拓寬學(xué)生的思維視野，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，聯(lián)想訓(xùn)練的方法很多，可以從定義、定理、公式等出發(fā)進(jìn)行聯(lián)想，也可以從已有的知識(shí)、技能出發(fā)進(jìn)行聯(lián)想。

例1:設(shè)f(x)=，求f()+f()+…+f()的值。

分析:仔細(xì)觀察自變量的值，就能發(fā)現(xiàn):，，…，是一等差數(shù)列，而等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)就是“與首末兩端等距離的項(xiàng)和相等”，于是我們聯(lián)想到f(x)、f(1-x)是否也具有f(x)+f(1-x)為某一常數(shù)的這一特征，通過(guò)分析易得f(x)+f(1-x)=1。于是可得原式的值為500。

2.注意一題多解一法多用的訓(xùn)練

一題多解、一法多用的訓(xùn)練關(guān)鍵是要教會(huì)學(xué)生如何抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，找出或發(fā)現(xiàn)具有數(shù)學(xué)意義的關(guān)系與特征，從所給數(shù)學(xué)題材的形式和結(jié)構(gòu)中辨認(rèn)出或分離出某些對(duì)解決問(wèn)題有效的成分與有數(shù)字意義的結(jié)構(gòu)。

例2:解方程+=10。

分析:用通常的辦法，需要兩次平方才能將原方程化為有理方程。我們注意到原方程就是+=10聯(lián)想解析幾何中橢圓的定義，我們可以令1=y，有+=10，這是以F(-3，0)，F(xiàn)(3，0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10(短軸長(zhǎng)8)的橢圓方程的最初形式，化簡(jiǎn)后即+=1，上面問(wèn)題就是在橢圓方程中當(dāng)y=1時(shí)的x的值，易知x=±。

二、多方總結(jié)、培養(yǎng)思維深刻性

思維的深刻性是指思維活動(dòng)的抽象和邏輯水平，它表現(xiàn)于善于使用抽象和概括。能抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，在問(wèn)題得到解決以后能夠總結(jié)規(guī)律和方法，把獲得的知識(shí)和方法遷移應(yīng)用于解決其它問(wèn)題。

1.引導(dǎo)學(xué)生題后總結(jié)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生做題后總結(jié)。從這些已解決的問(wèn)題出發(fā)深入觀察命題的圖形結(jié)構(gòu)和命題的已知結(jié)條件、結(jié)論。深刻認(rèn)識(shí)命題所反映的數(shù)量關(guān)系和空間形式，把它們有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，運(yùn)用類(lèi)比、探索命題的內(nèi)聯(lián)系和一般規(guī)律。

例3:已知tan(+α)=2，求的值。

解:因?yàn)閠an(+α)=2，所以=2。

所以tanα=，cosα≠0，將待求式化為齊次式，則:

====。

總結(jié):將分式變形后是一個(gè)關(guān)于正、余弦的齊次式，因此繼續(xù)變形后可利用tanα的值求解。由此想到先通過(guò)對(duì)已知條件tan(+α)=2變形求出tanα的值，然后進(jìn)行解答。類(lèi)似的有下面問(wèn)題。

已知6sinα+sinαcosα-2cosα=0，α∈(，π)，求sin(2α+)的值。

2.注意對(duì)隱含條件的發(fā)掘

在數(shù)學(xué)命題中有很多命題的數(shù)量關(guān)系與空間形式都隱藏在已知條件和結(jié)論中，往往需要對(duì)問(wèn)題的深入分析和深刻理解才能發(fā)現(xiàn)，因此對(duì)隱藏條件的發(fā)掘同樣也是培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的一種手段。

例4:已知定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集的函數(shù)f(x)為遞減函數(shù)，且滿足(1)f()=1，(2)f(xy)=f(x)+f(y)。求不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集。

仔細(xì)觀察和分析已知條件，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隱含條件f(1)=0和 f(x)=-f()，由隱含條件得出f(4)=-f()=-f()+f()=-2，再根據(jù)題設(shè)知-x>0，且3-x>0，可得f(-x)+f(3-x)≥f(4)，從而又有:f[-x(3-x)]≥f(4)，再由函數(shù)的遞減性結(jié)合-x>0，很快得出解集{x|-1≤x<0}。

三、強(qiáng)化訓(xùn)練、培養(yǎng)思維的敏捷性

思維敏捷性是指思維活動(dòng)的反應(yīng)速度和熟練程度，它表現(xiàn)為思考問(wèn)題的敏銳快捷反應(yīng)程度。

1.思維定向訓(xùn)練

思維定向訓(xùn)練，就是要訓(xùn)練學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)善于識(shí)別各類(lèi)問(wèn)題的特征，準(zhǔn)確地將其歸結(jié)于某種數(shù)學(xué)模型，以便盡快形成明確的解題思路。因此在教學(xué)中，教師應(yīng)注意對(duì)知識(shí)及解題經(jīng)驗(yàn)的積累和總結(jié)，要重視對(duì)通用思想方法的理解和掌握。

例如在解排列組合問(wèn)題時(shí)，我們常常遇到各種不同對(duì)象的排列問(wèn)題，如不同顏色的球、演出節(jié)目、課表等，雖然它們的具體形式不一樣，但問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是一樣的。因此，我們學(xué)習(xí)時(shí)往往先對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行直觀分析，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象，建立問(wèn)題的解答模型。又如在解多元方程時(shí)，雖有不同的方法，但其實(shí)質(zhì)就是消元法。再如在解高次不等式時(shí)，其常用方法就是“穿線法”，等等。

2.數(shù)學(xué)技能訓(xùn)練

訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，就是訓(xùn)練學(xué)生在緊扣題意的條件下，善于觀察問(wèn)題的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)，善于從多種方法中進(jìn)行取舍、分析、組合、變異，從而找出解決問(wèn)題的最佳方法。

例如在解選擇題時(shí)有直接法、篩選法、特例法、數(shù)形結(jié)合法、驗(yàn)證法、估算法、特征分析法等。在教學(xué)時(shí)，教師就必須讓學(xué)生對(duì)以上各法都進(jìn)行充分訓(xùn)練，以便學(xué)生在解題時(shí)能根據(jù)題目的特點(diǎn)進(jìn)行迅速的分析與取舍。又如在向量作圖運(yùn)算時(shí)，應(yīng)充分對(duì)向量加法作圖法則中的平行四邊形法則、三角形法則，以及減法作圖法則中的三角形法則進(jìn)行獨(dú)立訓(xùn)練，以求學(xué)生熟練掌握，只有這樣，學(xué)生才能在各類(lèi)向量問(wèn)題的作圖與證明中通過(guò)分析、組合、變異，敏捷地找到解決問(wèn)題的正確方法。

3.數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教給學(xué)生以數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要教給學(xué)生獲得這些知識(shí)的方法和過(guò)程，掌握并熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題是思維敏捷的一種重要表現(xiàn)形式，重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)就是要增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換、分類(lèi)討論、建模等意識(shí)，通過(guò)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用以提高學(xué)生的思維效率。

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中廣為運(yùn)用的十分重要的思維方法，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題能起到由難化易，由繁化簡(jiǎn)的目的。

例如:設(shè)a、b、c都是正數(shù)，a+b=c，求的最大值。

分析:把a(bǔ)、b、c看作是Rt△的三邊，且設(shè)a=csinα，b=ccosα，C=90°，則求的最大值就轉(zhuǎn)化為求sinA+cosB的最大值，這樣問(wèn)題就迎刃而解。

以上幾方面的品質(zhì)僅是思維品質(zhì)的一部分，思維廣闊性的培養(yǎng)是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練的基礎(chǔ)與前提，思維深刻性培養(yǎng)是對(duì)學(xué)生思維訓(xùn)練的深入，思維敏捷性的培養(yǎng)是對(duì)學(xué)生思維訓(xùn)練的發(fā)展。只有想得多，才能用得活;只有想得深，才能用得準(zhǔn);只有想得巧，才能用得妙。所以思維品質(zhì)的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有極其重要的作用。