當數(shù)學體系遇上悖論

現(xiàn)在開始，愛上數(shù)學——

有人對數(shù)學家說:“解決我，不然我將吞掉你的體系!”聽到這樣的話，你也許會震驚:誰會有這么狂妄的口氣?其實，說這句話的不是別人，正是數(shù)學發(fā)展史上的“搗蛋鬼”——悖論!悖論的產(chǎn)生，使人們對數(shù)學的可靠性產(chǎn)生了懷疑，導致了數(shù)學發(fā)展史上三次嚴重的危機。

在人們眼里，數(shù)學是一門嚴格、和諧、精確的學科，但是縱觀數(shù)學史，它的發(fā)展卻不完全是直線前進式的。由于數(shù)學悖論的出現(xiàn)，數(shù)學體系曾顯露出不嚴謹?shù)囊幻妫瑪?shù)學的理論也遭到過各種懷疑。

那么悖論到底是怎樣的一個角色呢?簡單地說，悖論是這樣一種命題:由它的真，可以推出它為假;由它的假，可以推出它為真。悖論貌似合理，卻自相矛盾。我們知道，嚴格性是數(shù)學的主要特點之一，因此數(shù)學中出現(xiàn)悖論，會使人們對數(shù)學的可靠性產(chǎn)生懷疑，導致對數(shù)學認識的危機感。按照西方的說法，迄今為止，由悖論導致的“數(shù)學危機”，在數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過三次。

希帕索斯悖論與第一次數(shù)學危機

公元前6世紀，在古希臘學術界占統(tǒng)治地位的是畢達哥拉斯學派，他們倡導的是一種被稱為“唯數(shù)論”的哲學觀點，認為萬物皆數(shù)，而數(shù)只有兩種，就是正整數(shù)和可通約的數(shù)(即分數(shù))。然而，畢達哥拉斯學派的學生希帕索斯發(fā)現(xiàn)這個論斷存在問題。希帕索斯提出了這樣一個問題:邊長為1的正方形，其對角線長度是多少?他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)表示，也不能用分數(shù)表示，這在當時的數(shù)學界掀起了一場巨大的風波，直接動搖了人們對畢達哥拉斯學派的信仰。……