三角函數錯中學

一、定義不清，混淆象限角與區間角

例1若α， β為第一象限角，且α>β，則

(A) sinα>sinβ(B) sinα

錯解: 函數y=sinx在第一象限是增函數， ∵ α>β，∴ sinα>sinβ，選A.

錯因分析: 象限角的概念不清，誤將第一象限角理解成0，上的角. 若取α=2π+，β=，可知A明顯不對.

正解:第一象限角的取值范圍為2kπ，2kπ+(k∈Z)， ∴ 當α=2π+，β=時，sinαsinβ，即三種大小關系都有可能. 選D.

二、忽略隱含條件，擴大取值范圍

例2已知α∈(0，π)且sinα+cosα=，則cos2α的值為

(A) (B) -(C) ±(D) -

錯解: 將sinα+cosα=兩邊平方，得1+sin2α=， ∴ sin2α=-. 又∵ α∈(0，π)， ∴ 2α∈(0，2π)， ∴ cos2α=±=±=±，選C.

錯因分析: “錯解”忽略了sin2α=-中的隱含條件. 由sin2α=-可知 2sinαcosα=-<0， ∵ α∈(0，π)， ∴ sinα>0，cosα<0， ∴ α∈，π. 又 ∵ sinα+cosα=>0， ∴ sinα>cosα. 由正弦函數及余弦函數的圖象可得:α∈，， ∴ 2α∈π，， ∴ cos2α<0， ∴ cos2α不可能等于.

正解: 由“錯解”可知，sin2α=-，由“錯因分析”可知cos2α<0， ∴ cos2α=

-. 選B.

例3在△ABC中，sinA=，cosB=，則cosC=.

錯解: 由sinA=，cosB=可得cosA=±，sinB=. ∵ ∠A+∠B+∠C=π， ∴ cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=sinAsinB-cosAcosB，∴ cosC=×-×=，或cosC=×--×=.

錯因分析: 忽略了在△ABC中cosB=所隱含的條件，并且在求解過程中擴大了∠A的取值范圍. 由cosB=>0可知B∈0，. 由“錯解”可知sinB=>sinA，由正弦定理=可得b>a， ∴ ∠B>∠A. ∵ B∈0，， ∴ A∈0，， ∴ cosA>0，即cosA不可能為-.

正解: 由“錯因分析”可知cosA>0， ∴ cosA=. ∴ cosC=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.

例4已知3sin2α+2sin2β=2sinα，則sin2α+sin2β的取值范圍是

(A) -，(B) 0，(C) 0，(D) ，

錯解: ∵ 3sin2α+2sin2β=2sinα， ∴ sin2β=， ∴ sin2α+sin2β=sin2α+(2sinα-3sin2α)=sinα-sin2α=-(sinα-1)2. ∵ sinα∈[-1，1]， ∴ 當sinα=1時，sin2α+sin2β有最大值;當sinα=-1時，sin2α+sin2β有最小值-. 選A.

錯因分析: 錯解沒有考慮題目的隱含條件，擴大了sinα的取值范圍. ∵ sin2β∈[0，1]， ∴ 0≤≤1;又∵ 3sin2α+2sin2β=2sinα， ∴ sinα≥0. 由0≤≤1可得sinα∈0，， ∴ sinα無法取到-1和1.

正解: 由“錯因分析”可知sinα∈0，. ∵ sin2α+sin2β=-(sinα-1)2，令y=-(sinα-1)2，則y的圖象是以sinα=1為對稱軸、開口向下的拋物線. ∵ sinα∈0，時，y=-(sinα-1)2單調遞增， ∴當sinα=時，y有最大值，即(sin2α+sin2β)max=;當sinα=0時，y有最小值0，即(sin2α+sin2β)min=0. 選C.

三、忽略三角函數自身的定義域

例5求f(x)=的定義域.

錯解: ∵ 2cosx+1≥0，tanx≠0， ∴ 2kπ-≤x≤2kπ+，x≠kπ.故函數f(x)的定義域為x 2kπ-≤x≤2kπ+且x≠2kπ，k∈Z.

錯因分析: “錯解”考慮到了要使分式成立分母必須不為0，即tanx≠0;但是忽略了正切函數自身的定義域，即要使tanx有意義，則必須有x≠kπ+(k∈Z).

正解: 由“錯解”及“錯因分析”可知，f(x)的定義域為x 2kπ-≤x≤2kπ+且x≠2kπ且x≠kπ+，k∈Z.

四、誤用三角函數的圖象與性質

例6已知0≤x≤π，求函數y=sinx-cosx的最大值和最小值.

錯解: y=sinx-cosx=sinx-， ∵ 0≤x≤π，-≤x-≤， ∴ -≤sinx-≤. ∴ ymax=1， ymin=-1.

錯因分析: 單調函數的最值在邊界……