淺析二次函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的靈魂，尤其二次函數(shù)貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)。多問(wèn)題可以通過(guò)轉(zhuǎn)化化為二次函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行解答。大部分同學(xué)對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)不夠深入，很難從本質(zhì)上加以理解。要想學(xué)好它，就要對(duì)它的基本概念和基本性質(zhì)（圖像以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，因此對(duì)二次函數(shù)需深入學(xué)習(xí)。

一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來(lái)闡明函數(shù)，這時(shí)教師就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來(lái)使學(xué)生更深入地認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f∶A→B，使得集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對(duì)應(yīng)，記為f（x）= ax+ bx+c（a≠0）。這里ax+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確地認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問(wèn)題：

類型I：已知f（x）= 2x+x+2，求f（x+1）。

這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

類型Ⅱ：設(shè)f（x+1）=x-4x+1，求f（x）。

這個(gè)問(wèn)題理解為：已知對(duì)應(yīng)法則f下，定義域中的元素x+1的象是x-4x+1，求定義域中元素x的象，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。

f（x+1）=x-4x+1=（x+1）-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x-6x+6.

（2）變量代換：它的適用性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都適用。

令t=x+1，則x=t-1，∴（t）=（t-1）-4（t-1）+1=t-6t+6，從而f（x）= x-6x+6.

二、二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與圖像

在學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，教師必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax+bx+c在區(qū)間（-∞，-］及［-，+∞） 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖像學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖像，并通過(guò)圖像研究其單調(diào)性。

（1）y=x+2|x-1|-1

（2）y=|x-1|

（3）y= x+2|x|-1

教師要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系，掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示的方法，然后畫出其圖像。

類型Ⅳ：設(shè)f（x）=x-2x-1在區(qū)間［t，t+1］上的最小值是g（t）。求g（t），并畫出 y=g（t）的圖像。

解：f（x）=x-2x-1=（x-1）-2，在x=1時(shí)取最小值-2，

當(dāng)1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=-2

當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=f（t）=t-2t-1

當(dāng)t＜0時(shí)，g（t）=f（t+1）=t-2

∴g（t）=t-2（t＜0）-2（0≤t≤1）t-2t-1（t＞1）.

首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般的，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識(shí)，教師可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。

例：y=3x-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數(shù)的值域。

三、二次函數(shù)的知識(shí)可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax+bx+c（a＞0）方程f（x）-x=0的兩個(gè)根x，x滿足0＜x＜x＜。

（1）當(dāng)x∈（0，x）時(shí)，證明x＜f（x）＜x。

（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=x對(duì)稱，證明x＜。

解題思路：

本題要證明的是x＜f（x），f（x）＜x和x＜，由題中所提供的信息可以聯(lián)想到：①f（x）=x，說(shuō)明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；②方程f（x）-x=0可變?yōu)閍x+（b-1）x+1=0，它的兩根為x、x，可得到x、x與a、b、c之間的關(guān)系式，因此解題思路明顯有三條：①圖像法；②利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系；③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導(dǎo)。現(xiàn)以思路②為例解決這道題：

（Ⅰ）先證明x＜f（x），令f（x）=f（x）-x，因?yàn)閤，x是方程f（x）-x=0的根，f（x）=ax+bx+c，所以f（x）=a（x-x）（x-x）。

因?yàn)?＜x＜x，所以，當(dāng)x∈（0，x）時(shí)， x-x＜0， x-x＜0，得（x-x）（x-x）＞0，又a＞0，因此f（x） ＞0，即f（x）-x＞0，至此，證得x＜f（x）。

根據(jù)韋達(dá)定理，有xx=. ∵ 0＜x＜x＜，c=axx＜x=f（x），又c=f（0），∴f（0）＜f（x）.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線y=f（x）是開口向上的拋物線，因此，函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間［0，x］上的最大值在邊界點(diǎn)x=0或x=x處達(dá)到，而且不可能在區(qū)間的內(nèi)部達(dá)到，由于f（x）＞f（0），因此當(dāng)x∈（0，x）時(shí)f（x）＜f（x）=x，即x＜f（x）＜x。

（Ⅱ） ∵f（x）=ax+bx+c=a（x+-）+（c-），（a＞0）函數(shù)f（x）的圖像的對(duì)稱軸為直線x=-，且是唯一的一條對(duì)稱軸，∴依題意，得x=-. ∵x，x是二次方程ax+（b-1）x+c=0的根，根據(jù)韋達(dá)定理得x+x=-. ∵x-＜0，∴x=-=（x+x-）＜，即x=。

二次函數(shù)有豐富的內(nèi)涵和外延。因?yàn)樗亲罨镜膬绾瘮?shù)，所以可以以它為代表來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，教師可以編擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識(shí)，加以深入研究。