一道指數函數題的引申與推廣

原題:(高中數學必修一55頁)對任意的x，x∈R，若函數f(x)=2，比較與f()的大小關系。

分析:比較大小，常用的方法是比較法，有作差比較和作商比較兩種，本題最好用作差比較法。

解:∵f(x)=2

∴=，f()=2。

∴-f()=-2

===≥0

∴≥f()

引申:若x≠x，則圖形如下:其函數曲線任意兩點A與B之間的部分位于弦AB的下方。

其幾何意義為:與f()的大小關系為梯形的中位線與中點的函數值所表示的線段之間的大小關系，顯然，>f()。

當x=x時，=f()，∴≥f()。

從上題可以發現函數f(x)=2的圖像是下凹的。

推廣:在討論函數圖像時，我們經常會遇到具有以下兩種特性的函數:凹函數、凸函數。

凹凸函數定義(根據同濟大學數學教研室主編《高等數學》第201頁):

設函數f(x)為定義在區間I上的函數，若對(a，b)上任意兩點x、x，恒有:

(1)f()<，則稱f為(a，b)上的凹函數;

(2)f()>，則稱f為(a，b)上的凸函數。

凹凸函數的幾何特征:

幾何特征1(形狀特征)

如圖，設A，A是凹函數y=f(x)曲線上兩點，它們對應的橫坐標x

凹函數的形狀特征是:其函數曲線任意兩點A與A之間的部分位于弦AA的下方;

凸函數的形狀特征是:其函數曲線任意兩點A與A之間的部分位于弦AA的上方。

簡記為:形狀凹下凸上。

幾何特征2(切線斜率特征)

設A，A是函數y=f(x)曲線上兩點，函數曲線A與A之間任一點A處切線的斜率:

凹函數的切線斜率特征是:切線的斜率y=f(x)隨x增大而增大;

凸函數的切線斜率特征是:切線的斜率y=f(x)隨x增大而減小;

簡記為:斜率凹增凸減。

幾何特征3(增量特征)

設函數g(x)為凹函數，函數f(x)為凸函數，其函數圖像如圖8、9所示，由圖10、11可知，當自變量x逐次增加一個單位增量Δx時，函數g(x)的相應增量Δy，Δy，Δy…越來越大;函數f(x)的相應增量Δy，Δy，Δy…越來越小。

凹函數的增量特征是:Δy越來越大;

凸函數的增量特征是:Δy越來越小;

簡記為:增量凹大凸小。

弄清了上述凹凸函數及其圖像的本質區別和變化的規律，就可準確迅速、簡捷明了地解決有關凹凸的曲線問題。

例1:(2005湖北卷)在y=2，y=logx，y=x，y=cos2x這四個函數中，當0恒成立的函數的個數是(?搖?搖)。

A.0?搖?搖B.1?搖?搖C.2?搖?搖D.3

分析:運用數形結合思想，考察各函數的圖像。注意到對任意x，x∈I，且x時，函數f(x)在區間I上的圖像是“上凸”的，由此否定y=2，y=x，y=cos2x，應選B。

評注:本小題主要考查函數的凹凸性，試題給出了四個基本初等函數，要求考生根據函數的圖像研究函數的性質——凹凸性，對試題中的不等關系式:f()>，既可以利用函數的圖像直觀的認識，又可以通過代數式的不等關系來理解。考查的重點是結合函數的圖像準確理解凹凸的含義。

例2:(2005北京卷理13)對于函數f(x)定義域中任意的x，x(x≠x)，有如下結論:

①f(x+x)=f(x)#8226;f(x);②f(x#8226;x)=f(x)+f(x);

③>0;④f()<。

當f(x)=lgx時，上述結論中正確結論的序號是。

答案:(②③)。

評注:本題把對數的運算(①②)、對數函數的單調性(③)、對數函數圖像的凹凸性(④)等知識有機地合成為一道多項填空題，若對函數的性質有較清楚的理解便不會有困難，而靠死記硬背的考生就會有問題。

例3:(1998全國高考題)

向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數關系的圖像，如圖12所示，那么水瓶的形狀是(圖13中的)( )。

解:因為容器中總的水量(即注水量)V關于h的函數圖像是凸的，即每當h增加一個單位增量Δh，V的相應增量ΔV越來越小。這說明容器的上升的液面越來越小，故選B。

例4:(2006重慶理)如圖所示，單位圓中弧AB的長為x，f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，則函數y=f(x)的圖像是( )。

解:易得弓形AxB的面積的2倍為f(x)=x-sinx。由于y=x是直線，每當x增加一個單位增量Δx，y的對應增量Δy不變;而y=sinx是正弦曲線，在[0，π]上是凸的，在[π，2π]上是凹的，故每當x增加一個單位增量Δy時，y對應的增量i(i=1，2，3…)在[0，π]上越來越小，在[π，2π]上是越來越大，故當x增加一個單位增量Δx時，對應的f(x)的變化，在x∈[0，π]上其增量越來越大，在x∈[π，2π]上，其增量則越來越小，故f(x)關于x的函數圖像，開始時在[0，π]上是凹的，后來在[π，2π]上是凸的，故選D。

練習:(2008全國一2)汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數，其圖像可能是(A)。

通過以上的例子可以看出，在復習時，有必要留意以高等數學知識為背景的創新題與信息題，也有必要讓學生了解簡單高等數學與初等數學結合的知識，這樣既可以達到簡化運算、避免易錯點的目的，又可以突破難點，找到規律性的解題途徑，更為高等數學的學習打下良好的基礎。同時使學生認識到知識學得越多、越深入，解決起問題來越有規律性、越簡單，從而使他們渴望學習，渴望積累，更進一步增加分析問題、解決問題的能力。

參考文獻:

[1]同濟大學數學教研室主編.高等數學.