例談有理數(shù)中的數(shù)學思想

摘 要: 數(shù)學海洋浩瀚無邊，數(shù)學問題千變?nèi)f化，但蘊含在數(shù)學題目中的思想方法卻貫徹始終并不改變，它是數(shù)學的精髓，是解決數(shù)學問題的金鑰匙。然而數(shù)學思想方法卻蘊含在數(shù)學知識的體系里，是“無形”的，那么如何使這隱藏的思想顯現(xiàn)出來呢?本文以初一起始章有理數(shù)為載體，探討數(shù)學思想的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞: 初一數(shù)學 數(shù)學思想 數(shù)形結(jié)合 分類討論

初一年級是小學向中學過渡的重要階段，是學生從形象思維到抽象思維重要過渡期，也是教師滲透數(shù)學思想方法的契機。然而如何向?qū)W生灌輸數(shù)學思想一直是擺在教學工作者面前的重要課題。作為一名一線教師，我覺得有以下兩方面值得注意。

首先，數(shù)學思想方法的滲透要深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數(shù)學思想方法滲透的各種因素，對于每一章節(jié)，都要考慮如何結(jié)合具體內(nèi)容進行數(shù)學思想方法滲透，滲透哪些數(shù)學思想方法，怎么滲透，滲透到什么程度，應(yīng)有一個總體設(shè)計，提出不同階段的具體教學要求。

然后，數(shù)學思想方法的教學必須通過具體的教學過程加以實現(xiàn)。因此，必須把握好教學過程中進行數(shù)學思想方法教學的契機——概念形成的過程，結(jié)論推導的過程，方法思考的過程，思路探索的過程，規(guī)律揭示的過程等。

我結(jié)合初一數(shù)學一些經(jīng)典實例，由淺入深地探討了教師應(yīng)該如何培養(yǎng)學生的數(shù)學思想。

一、數(shù)軸——滲透數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)軸是一個十分重要的數(shù)學工具，它使數(shù)和最簡單的圖形——直線上的點建立對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與形之間的聯(lián)系，是數(shù)形結(jié)合研究數(shù)學問題的基礎(chǔ)。在介紹數(shù)軸概念的時候，教師可以滲透數(shù)形結(jié)合的思想。因為剛接觸數(shù)學思想方法，學生接受有一定的難度，為使學生初步確立起數(shù)形結(jié)合的思想方法，教師可以進行一些“數(shù)”與“形”的翻譯訓練。比如:①快速在數(shù)軸上找點;②數(shù)A小于數(shù)B在數(shù)軸上體現(xiàn)為:點A在點B的左邊;③在數(shù)軸上找與原點距離為2的數(shù)。

在學生對數(shù)軸熟練以后，可以利用數(shù)軸解決一些問題進一步滲透數(shù)形結(jié)合思想。

例1:若a>0，b<0，且|a|>|b|，試用“<”號連接a，b，-a，-b。

分析:對于用字母表示的有理數(shù)進行大小比較，借助數(shù)軸就直觀多了。

解:根據(jù)題意:將a，b，-a，-b在數(shù)軸上表示，如圖1。

圖1

因為數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，所以-a

用數(shù)軸解決此類問題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，可以收到準確直觀的效果。

二、絕對值——滲透分類討論的思想

有時將問題看成一個整體時無從下手，若分而治之，各個擊破，則能柳暗花明。分類討論正是這一種思想，也是一種重要的數(shù)學思想方法，為了解決問題，將問題所涉及的對象不遺漏地分成若干類問題，然后逐一解決，從而達到最終解決整個問題的目的。而絕對值的定義正好為介紹分類討論的思想提供了很好的契機。

教師可以先引導學生進行有條件的絕對值的化簡。

例2:化簡:①當a>0時，|2a|=?搖?搖?搖?搖;②當a>1時，|1-a|=?搖?搖?搖?搖。

分析:由絕對值的定義，根據(jù)條件可直接進行化簡。

解:①當a>0時，2a>0。由絕對值的定義，|2a|=2a。

②當a>1時，1-a<0，由絕對值的定義，|1-a|=a-1。

在熟悉絕對值定義后，可根據(jù)絕對值的定義進行分類討論。

例3:化簡|x-1|。

分析:由于不知道絕對值內(nèi)代數(shù)式的符號，因此要進行分類討論。在例2的鋪墊下，這一點學生比較容易想到。而決定符號的關(guān)鍵就是看x與1的大小比較。

解:當x>1時，x-1>0，|x-1|=x-1，

當x=1時，x-1=0，|x-1|=0，

當x<1時，x-1<0，|x-1|=1-x。

在此基礎(chǔ)上可進行有一定難度的題目，提高學生綜合分析的能力。

例4:非零有理數(shù)a，b，c，d，e滿足|abcde|=-abcde。

試求:S=++++的最大值。

分析:|abcde|=-abcde，說明這五個字母中有奇數(shù)個負數(shù);有1，-1兩種情況，可據(jù)此分類討論。

解:由題設(shè)條件知:abcde<0可分三種情況:

①四正一負;②兩正三負;③五負。

又因為對任意非零有理數(shù)a，有:

=1(a>0)-1(a<0)，

故S最大值在四正一負時取得，即S=4-1=3。

此外，本章中相反數(shù)，有理數(shù)乘方、運算符號法則，有理數(shù)的意義都用到了分類的思想。

通過以上兩個實例，學生在學習過程中將對“數(shù)形結(jié)合”和“分類討論”知識點理解更加深刻，尤為重要的是學生在學習過程中可形成數(shù)學思想，并更易將這些思想應(yīng)用于以后的學習過程中。七年級是數(shù)學學習的一個關(guān)鍵時期，對于剛升入初中的學生來說，學習內(nèi)容、學習方法，以及研究方法都是個轉(zhuǎn)折點，尤其是數(shù)學思想認識會產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。七年級有理數(shù)這章數(shù)學教材蘊含了很多的數(shù)學思想，這些數(shù)學思想在學生今后的數(shù)學學習中會不斷地被運用、拓展。因此，在數(shù)學教學中教師更需要深入挖掘教材中的數(shù)學思想，使數(shù)學思想貫穿于課堂教學，幫助學生活學活用，這樣才能達到事半功倍的效果。

參考文獻:

[1]王工一.數(shù)學教育新視野[M].浙江:浙江大學出版社，2006.

[2]丁邦平.國際科學教育導論[M].山西:山西教育出版社，2000.

[3]葉立軍.新課程教學研究[M].浙江:杭州出版社，2005.

[4]王傳增.初中數(shù)學中的數(shù)學思想教學.教學與管理，2007，(2).