一次不經意間的再創造教學
2010-12-31 00:00:00周建榮
考試周刊 2010年13期
摘 要: “再創造”教學法建立在充分發揮學生的主體地位、體現“以人為本”的現代教學理念基礎之上，是當代基礎教育課程改革倡導的新的教學模式和方法。 本文作者抓住在分析一道典型例題時學生出現的不經意火花進行探究，通過引申推廣、合作交流、實際應用，引導學生對習題進行再創造，揭示其數學本質，發揮其輻射作用，收到了激活學生數學思維，培養學生創新意識和探究能力的教學效果。
關鍵詞: 典型習題 數學教學 探究交流 再創造
世界著名教學教育權威——荷蘭數學家弗賴登塔爾提出的“再創造”，目前已被視為數學教學方法的核心。“再創造”教學法建立在充分發揮學生的主體地位、體現“以人為本”的現代教學理念基礎之上，是當代基礎教育課程改革倡導的新的教學模式和方法。現代的數學教學，不應再是將單純的教學內容作為現成的產品強加給學生，而要想辦法引導學生進行“再創造”。因此教師應使學生在學習過程的不同層次中，始終處于積極創造的狀態。解題教學時數學教學的一個重要環節，也是提高學生數學能力的主要途徑。我認為，在解題教學中教師若能在教學中，善于針對學生出現的思維火花或是不經意間的發現能夠迅速反應并“打破砂鍋問到底”從而在不經意間完成了一次成功的“再創造”教學。
一、問題的提出
題目:某射手進行射擊訓練，假設射擊擊中目標的概率為，且各次射擊的結果互不影響。(1)求射手在3次射擊中，恰好連續2次擊中目標的概率;(2)求射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率;(3)若射手共射擊10次，設ξ為恰好擊中目標的次數，問K取何值時，P(ξ=k)為最大?
這是在高二上的期中復習卷《選修2—3》概率綜合練習中的一道關于二項分布的概率復習題，出卷老師由于疏忽，把題目從別的資料上拷貝過來時把原本不作要求的問題(3)也拷了下來，而我當時想看看班里到底有沒有人會自主地分析解答出這第(3)問，也就沒有刪除這一個問題。結果次日去講評試卷的時候發現，學生中涌現出了不少精彩的思維火花，于是原本計劃講評整張試卷的課變成了本題的專題講座，課堂氣氛也是異常的熱烈。正好當天有同組的教師聽課，于是我也加入了大家的探討之中，成就了一節服從二項分布的隨機變量取何值時概率最大的再創造教學課。
二、問題的探究
分析:本題的前兩問難度不大，卻是學生再創造學習的起點，同時也符合學生從易到難、從簡單到復雜的認知規律。(1)中“恰連續2次”則連續的兩次可以是第1、2次，也可以是第2、3次，于是P=2××;(2)中應理解為第4次必定是擊中的，而前3次中有兩次是擊中的，有一次是沒有擊中的，于是P=C×××=。
在這兩問的基礎上，(3)中學生基本上都能列出式子P(ξ=k)=C××，0≤k≤10且k∈Z，但是對何時概率最大確是無從下手，茫然不知所措。這時就需要教師對學生進行引導啟發，引導學生對問題進行“再創造”，從而解決問題，并進行推廣。
于是，我先讓全班學生對上式進行整理，把P(ξ=k)=C××整理為P(ξ=k)=C··=·C·，并且指出最大、最小值問題無非就是增減性問題，在上式中C是組合數，學生很熟悉它的增減性，C為先增后減，而可以看成是關于k的指數函數f(k)=，k=0，1，2，…，10，它是一個增函數，于是合起來研究，可以怎么去分析呢?
在給出這些初步分析后，學生馬上討論開了，于是我適時地把全班學生分成了兩個組進行討論，十分鐘后選出代表總結發言。我巡視并解惑。十分鐘后，甲組代表A總結說，P(ξ=k)=C··=·C，0≤k≤10且k為整數，這個式子可以理解為先增后減的函數，于是可以在中間項的附近找。所以他們計算了P(ξ=5)，P(ξ=6)，P(ξ=7)這三個值，發現P(ξ=6)時最大，于是他們組認為最有可能擊中6次。還沒有等他發言完，另一組就有人反對了，于是等這位學生一說完，馬上有學生反對說，他們贊成剛才那位同學關于把這個看成一個增函數，但考慮到C為先增后減，而f(k)=，k=0，1，2，…，10，一直增，那就有可能是f(k)=，k=0，1，2，…，10的增長遠遠快于C的減小，所以在中間項之后綜合起來還是在增長呢?那么前一組同學的解法就有明顯的漏洞甚至是錯的了。
顯然，這位學生的思考更為嚴密，也更具一般性，這也是我們必須考慮的問題。于是第一組學生馬上反駁說:那還不簡單，就用函數單調性證明好了。并且馬上示意同組的平時善于計算并且大家一致認為比較仔細的同學馬上動手演算。于是我也就順勢請了兩組里的各一位學生到黑板上來板演。有趣的是，一位學生采用了如下的證明方法:設G(k)=C，k=0，1，2，…，10，任取k，k∈{0，1，2，…，10}且k 另一位學生剛好采用的是作商的處理方法，得到: ==·，k=1，2，…，10。 這里比較明顯地可以看出等號右邊的是大于1的，而也是大于1的，于是比較容易地可以得到>1即G(x)>G(x)，所以為增函數。于是論證了第一組學生的做法可以成立。 正當第一組學生擊掌慶賀之時，有位學生突然提出:其實干嘛要這么麻煩地證明呢?這個學期我們不是經常用信息技術模擬的嗎，那就讓老師在幾何畫板里模擬畫一下這個函數的圖像不就知道是增是減了嗎?而且由于問題的本質就是，考查P(ξ=k)=C··=·C·，在k取不同值時的大小。而解決這一本質問題，利用信息技術不僅方法很多，而且很方便;利用紙筆卻很煩瑣，據了解，我們組很多同學正是因為繁瑣就放棄了。類似這樣的問題，在數學教科書中很普遍。由此我們認為，在數學學習中堅持使用信息技術，對解決數學問題、提高學習效率是有促進作用的，可班主任把我們的計算器都交空了。此話一出，全班是一片笑聲。可笑歸笑，這里還確實是這么回事，畢竟現在我們是在自主探究啊，借助一些先進的工具當然是無可厚非的。 于是這一提議得到了大家的同意，我也就欣然同意了，模擬的結果當然也就印證了學生的研究成果。 接著，我在學生研究的基礎上指出，只需探究:當0 三、問題的拓展 于是，我又就勢給出了下面的思考題。 如果X~B(n，p)其中0 問題一出，學生馬上反應出是遞增的，只需計算>1? ∵==·=1+>1， ∴>0。 ∵k(1-p)>0， ∴只需np+p-k>0， ∴k=[np+p]時，服從二項分布的隨機變量取何值時概率最大。 四、成果的應用 既然學生順利地獲得這一成果，我又給出了這樣的一個應用練習:用計算器或計算機研究:(1)如果ξ~B(20，)，求使P(ξ=k)取最大值的k的值。(2)如果ξ~B(n，p)，其中0 這下，教室里憑空出現了不少計算器，結果當然是不錯，學生都能很快地求得結果，少數幾個至少理解上沒有問題，只是計算上出現了失誤。 四、課后反思 總之，學生要形成一個數學的概念或者解題的方法，需要經歷一個從片面到全面，從模糊到清晰，從表象聯系到本質聯系的復雜思維過程，絕不可能一步到位。這節課，我就在不經意間發現從學生原有的“數學現實”出發，以問題為引導，讓學生從問題中探究，在探究中發現，使學生逐步認識到這一規律，并加以深化，從而在學生頭腦中建立起真正屬于他自己的深刻的知識發現與應用過程的記憶。這樣的教學過程，看是不經意的，實質上卻使學生受到了一次生動具體的再創造的訓練過程，在這個過程中，也培養了他們執著探索，勇于發現，不斷進取的數學精神。 參考文獻: [1]姜軍.由一道習題引起的“再創造”教學.浙江江山中學，2007.8.
