初探高中函數(shù)的對稱性

摘要本文筆者從函數(shù)自身的對稱性和函數(shù)互對稱這兩個方面進行了探究，并且講述一下與函數(shù)對稱性密切相關(guān)的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞高中函數(shù) 對稱性

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

函數(shù)的一個基本性質(zhì)就是函數(shù)的對稱性。對稱性不僅僅能夠快捷的解決數(shù)學問題，而且對稱性還充分體現(xiàn)了數(shù)學之美。通過對歷年高考試卷的分析，可以看到函數(shù)的對稱性是高考的難點和熱點。本文筆者從函數(shù)自身的對稱性和函數(shù)互對稱這兩個方面進行了探究，并且講述一下與函數(shù)對稱性密切相關(guān)的性質(zhì)。

1 函數(shù)自身的對稱性

定理1.函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點A (m ，n)對稱的充要條件是 f (x) + f (2m-x) = 2n (證明留給讀者)

推論:函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于原點O(0，0)對稱的充要條件是f (x) = -f (-x)

定理2.函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = m對稱的充要條件是

f (m+x) = f (m-x) 即f (x) = f (2m-x)(證明留給讀者)

推論:函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (-x)

定理3. ①若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于點A (m ，c)和點B (n ，c)成中心對稱(m≠n)，則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| m-n|是其一個周期。

②若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于直線x = m和直線x = n成軸對稱 (m≠n)，則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| m-n|是其一個周期。

③若函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點A (m ，c) 成中心對稱又關(guān)于直線x =n成軸對稱(m≠n)，則y = f (x)是周期函數(shù)，且4| m-n|是其一個周期。

2 函數(shù)互對稱的探究

性質(zhì)3 復(fù)合函數(shù)y = f (a+x)與y = f(b-x)關(guān)于直線x = (b-a)/2軸對稱

性質(zhì)4 復(fù)合函數(shù)y = f (a+x)與y = - f(b-x)關(guān)于點((b-a)/2，0)中心對稱

證明性質(zhì)3: 令(m，n)為y = f (a+x)上任一點，則n= f (a+m)

令b-x = m+a，x = b-m-a 則(b-m-a，n)為y = f (b-x)上相應(yīng)的一點

又點(m，n)與點(b-m-a，n)關(guān)于直線x = = 軸對稱

∴y = f (a+x)與y = f (b-x)關(guān)于直線x = (b-a)/2軸對稱

性質(zhì)4 令(m，n)為y = f (a + x)上任一點，則n = f (a + m) 則(b-m-a，-n)為y = f (b-x)上相應(yīng)一點

點(m，n)與點(b-m-a，-n)關(guān)于點((m+b-m-a)/2，0)即((b-a)/2，0)中心對稱

∴y = f (a+x)與y = -f (b-x)關(guān)于點((b-a)/2，0)中心對稱

推論1 復(fù)合函數(shù)y = f (a+x)與y = f (a-x)關(guān)于y軸軸對稱

推論2 復(fù)合函數(shù)y = f (a+x)與y = -f(a-x)關(guān)于原點中心對稱

3 三角函數(shù)圖像的對稱性

注:①上表中k∈Z

②y = tan x的所有對稱中心坐標應(yīng)該是(k/2 ，0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數(shù)學精編第一冊(下)及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學新教案(修訂版)中都認為y = tan x的所有對稱中心坐標是( k， 0 )，這明顯是錯的。

4 函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例

例1.設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足

f (10+x) = f (10-x)，f (20-x) = -f (20+x)，則函數(shù)f (x)是( )

A.即是周期函數(shù)，又是偶函數(shù)

B.不是周期函數(shù)，但是偶函數(shù)

C.即是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)

D.不是周期函數(shù)，但是奇函數(shù)

解:f (x)關(guān)于x = 10軸對稱，關(guān)于(20，0)中心對稱，∴f (x)為周期函數(shù)，且T = 40，∴f (x)也關(guān)于點(0，0)中心對稱，即f (x)為奇函數(shù)，故選C。

例2.設(shè)f (x)滿足(1)f (x) = f (2-x)，(2)當x>1時，f (x)是增函數(shù)，定義域x∈R，則下列不等式成立的是( )

A. f (0)>f (log )>f [arccos (-1)]

B. f (log )>f (0)>f [arccos (-1)]

C. f (log )>f [arccos (-1)]>f (0)

D.f [arccos (-1)] >f (0)>f (log )

解:由條件知f (x)圖象關(guān)于直線x = 1成軸對稱，

f (0) = f (2)，f (log ) = f (-2) = f (4)

又f [arccos (-1)] = f ()及x>1時f (x)遞增

∴f (4) >f ()>f (2)，故選C

例3.(2007年安徽卷)函數(shù)f (x) = 3sin (2x- )的圖像為C，

① 圖像C關(guān)于點x = 對稱; (下轉(zhuǎn)第147頁)(上接第139頁)

② ②圖像C關(guān)于直線x = 對稱;

③ 函數(shù)f (x)在區(qū)間(-，)內(nèi)是增函數(shù);

④ ④由y=3sin2x的圖像向右平移個單位長度可以得到圖像C。

以上四個論斷中，正確論斷的個數(shù)是()。

A. 0 B. 1C. 2D. 3

函數(shù)f (x) = 3sin(2x-/3)

(1)對稱軸是2x-/3=k+/2，即x=k/2 +5/12.k=1時，x=11/12，故1正確。

(2)函數(shù)對稱點是2x-/3=K，即X=K/2+/6，當K=1時，x=2/3，故2正確。

(3)函數(shù)增區(qū)間是2K-/2<2x-/3<2K+/2，即K-/12

(4)y=3sin2x的圖象向右平移/3個單位長度得到的是:y=3sin2(x-/3)=3sin(2x-2/3)

綜上所述，正確的是:1，2，3。