兩兩NQD序列的一類強大數律

摘要本文得到了不同分布NQD序列的一類強大數律，將Egorov對獨立情形隨機變量序列建立的結果推廣到了NQD序列情形。

關鍵詞NQD序列 強大數律

中圖分類號:O17文獻標識碼:A

0 引言

定義1[1，2]隨機變量序列{Xn，n≥1}滿足條件

P{X1

則稱{Xn，n≥1}是兩兩NQD序列。

設{Xn，n≥1}一列NQD隨機變量，滿足EXn= 0 ，方差均存在。對于實數序列{n，n≥1}有EXn2≤2n，Sn = 2i，n≥1

引理1[3]假設隨機變量序列{Xn，n≥1}是兩兩NQD序列且k = 1，…，n滿足EXk = 0，如果存在正實數i (i = 1，2…，n)使得EX2k≤2k，則

x>0，y1，…，yn>0，y≥max{y1，…，yn}

其中Sn = Xk， Bn = 2k>0，有

引理2[4]假設{ln}是一列遞增的正數序列且 ln = ∞，則M>1，存在一列正整數序列{nk}滿足

1 主要結果及證明

下文中均假設隨機變量序列{Xn，n≥1}是兩兩NQD序列且k = 1，…，n滿足EXk = 0，正實數i (i = 1，2…，n)滿足，EX2k = 2k， Sn = Xk， Bn = 2k>0

定理1若n→∞時Bn↑∞，則對任意的，>0

= 0a.s.

的充要條件是對任意>0，都有

P(|Xn|>(BnlogBn)1/2)<∞ (1)

證明必要性詳見文獻[1]的推論3，這里只證明它的充分性。假設對任意>0，

P(|Xn|>(BnlogBn)1/2)<∞ 均成立。

定義an = (BnlogBn)1/2)，

Zn = Xn-Yn

則Sn = (Yi+Zi) = (Yi-EYi)+(Zi-EZi)

且當n→∞時，有

同時對于任意的m≤n，n→∞，m→∞時，

而

因此

從而得到

(BnlogBn)1/2(Zi-EZi)→0a.s.(n→∞)

又因為{Yn-EYn，n≥1}也是兩兩NQD序列，且n≥1

根據引理1，

設d>2/，x = dan，y = 2an，yi = 2ai，1≤i≤n則

根據引理2，對于任意M>1的存在正整數序列{nk}滿足

當n足夠大時，≤，

那么當k足夠大時

由于d，M的任意性，當時d→∞

推論 1假設隨機變量序列{Xn，n≥1}是兩兩NQD序列且k = 1，…， n滿足EXk = 0，若 = 1，則定理1的結論也成立。

證明根據馬爾科夫不等式得對任意的>1，>0

P(|Xn|>(BnlogBn)1/2)≤<∞

參考文獻

[1]吳群英.兩兩NQD列的收斂性質[J].數學學報，2002.45(3):617-624.

[2]Matula，P. A note on the almost sure convergence of sums of negatively dependent random variables[J].Statist.Probab.Lett.1992.15:209-213.

[3]Tae-Sung Kim ，Jong Il Baek.the Strong laws of large numbers for weighted sums of pairwise quadrant dependent random variables[J]. Korean Math.Soc.1999.36.No1:37-49.

[4]Amini，M.Bozorgnia，A. Negatively dependent bounded random variable probability inequalities and the strong law of large numbers.[J]Appl.Math.Stochastic Anal.2000.13:261-267.

[5]Kim，T-S.，Kim，H-C.，On the law of large numbers for weighted sums of pairwise negative quadrant dependent random variables[J].Bull.Korean Math.Soc.2001.38:55-63.

[6]Oleg Klesov，Andrew Rosalsky.On the almost sure growth rate of sums of lower negatively dependent nonnegative random variables[J].Statist.Probab.Lett.2005.71:193-202.