一道廣東高考數(shù)學壓軸題的分析

一、題目

(2010年理科卷第20題，14分)已知雙曲線x2/2-y2=1的左、右頂點分別為A1，A2，點P(x1，y1)，Q(x1，-y1)是雙曲線上不同的兩個動點.(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程;(2)若過點H(0，h)(h>1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且l1⊥l2，求h的值.

二、得分情況統(tǒng)計

隨機選取290300萬份樣卷進行統(tǒng)計，考生平均得分1.47分，標準差2.17.表1列出了各分數(shù)段的得分人數(shù)及百分比例，1～2分段考查直線A1P與A2Q的方程表示;3～4分段為求解直線A1P與A2Q的交點(以下稱為M)坐標或從整體上利用該交點的條件性質(zhì);5～6分段考查軌跡E的方程表示;8～10分段和11～13分段為分別求解當直線l1和l2與軌跡E在同時相切或同時相交條件下的h值;14分段為求解當軌跡E與直線l1相切(或相交)，但與l2相交(或相切)條件下的h值.

三、解法分析

第(1)問考查直線方程的基本概念和基本公式，考查方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法.第(2)問考查直線與圓錐曲線等知識，考查數(shù)形結(jié)合、分類與整合的數(shù)學思想方法，以及推理論證、運算求解和數(shù)學探究等能力.

1. 第(1)問的解法差異主要體現(xiàn)在對交點M的運算處理和對軌跡E的條件探究方面，有以下三種常見解法.

解法1:由題設(shè)知x1>，A1(-，0)，A2(，0)，則直線A1P和A2Q的方程分別為y=y1(x+)/(x1+)和y=-y1(x-)/(x1-)，可求得M的坐標為x=2/x1，y=y1/x1，轉(zhuǎn)化為式(1):x1=2/x，y1=y/x，則x≠0，且由x1>知x<.又點P(x1，y1)在雙曲線x2/2-y2=1(以下稱為C)上，得x21/2-y21=1，把式(1)代入此方程并整理，得軌跡E的方程為x2/2+y2=1，x≠0且x≠±.

解法2:與解法1的不同之處是，不直接求出M的坐標，而是注意到點P(x1，y1)在C上，y1與x1有函數(shù)關(guān)系式(1):y21=(x21-2)/2.在得到直線A1P和A2Q的方程后，相乘得到方程y2=-y21(x2-2)/(x21-2)，將式(1)代入此方程并整理，即可得軌跡E的方程.

但解法2對軌跡E的限制性條件探究提出了更高的要求，雖然點A1，A2比較容易排除，然而要排除點(0，1)和(0，-1)，看似簡單而實屬不易!破解的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)雙曲線有一個特征:當直線l經(jīng)過雙曲線的頂點A，且與雙曲線的漸近線平行時，l與雙曲線有且只有一個交點，就是A本身.發(fā)現(xiàn)了這一特征，再運用斜率關(guān)系容易驗證，軌跡E不能經(jīng)過點(0，1)和(0，-1).

解法3:利用三點共線模型，求得直線A1P和A2Q的方程分別為y/(x+)=y1/(x1+)和y/(x-)=y1/(x1-)，其余與解法2基本相同.

2. 第(2)問中“過點H的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點”，可分為三種情形:

情形①，直線l1和l2與軌跡E都相切.情形②，軌跡E與過點A1的直線l1和過點A2直線l2同時相交.情形③，軌跡E與直線l1(或l2)相交，而與直線l2(或l1)相切.解法的差異主要在于對直線方程的不同設(shè)定方式和對直線與曲線相切時的直線斜率的不同求解方法.

解法1:情形①，設(shè)過點H的直線為y=kx+h， 代入曲線x2/2+y2=1，用判別式法得h2-2k2-1=0，再由l1⊥l2，得k1#8226;k2=(1-h2)/2=-1，于是h=.情形②，由l1⊥l2知A1H⊥A2H，得h/×(-h/)=-1，于是h=.情形③，易知l1的斜率k1=h/，設(shè)l2的方程為y=kx+h，類似情形①可得h2-2k2-1=0，取k=-/，再由l1⊥l2，得k#8226;k1=-1，則h=.根據(jù)圖形的對稱性，當軌跡E與l2相交，而與l1相切時，h值保持不變.經(jīng)驗證，符合條件的h值為，或.

解法2:與解法(1)的不同之處是，在情形①和情形③中用導數(shù)思想求軌跡E的切線斜率，在情形②中用直徑所對的圓周角為直角這一性質(zhì).情形①，設(shè)直線l1、l2與軌跡E分別相切于點(x2，y2)和(-x2，y2)，則x21/2+y21=1且y2>0.對曲線x2/2+y2=1兩邊的x求導，則l1、l2的斜率分別為k1=-x2/2y2和k2=x2/2y2，并由l1⊥l2知k1#8226;k2=-1，則x22=4y22.點H在l1:y-y2=-x2(x-x2)/2y2上，則2y2h=x22+2y22，這就可求得h=.情形②，以線段A1A2為直徑的圓與y軸正半軸的交點為H(0，)，這時A1H⊥A2H，且A1H、A2H所在的直線l1、l2與軌跡E分別僅有一個交點，所以h=符合題意.情形③，設(shè)軌跡E與l2的切點為(x0，y0)，則x20/2+y20=1，由斜率關(guān)系得(y0-h)/x0=-x0/2y0和-x0/2y0#8226;h/=-1，這就可得到h=.

此外，情形①還有兩種常見的做法，一是設(shè)l1的方程為y=kx+h，由l1⊥l2知l2的方程應(yīng)為y=-x/k+h;二是注意到中心在原點的橢圓與l1、l2都相切，且l1⊥l2時，l1、l2的斜率分別為1和-1，于是直接設(shè)l1:y=x+h，再利用判別式法求解.

四、教學啟示

1. 概念、原理的本質(zhì)理解是基礎(chǔ)的核心

從評卷結(jié)果來看，居然有52.795%的理科考生不能正確求出雙曲線C的頂點坐標，或在已知直線l1過點P(x1，y1)和A1(-，0)，直線l2過點Q(x1，-y1)和A2(，0)的條件下，不能正確列出直線l1或l2的方程!以前壓軸題得分低，教師們歸因于前面的題量大和難度大.但在今年的選擇題、填空題和前面的四道大題都不難的情況下，還是有超過一半的理科考生未能了解雙曲線的基本概念和基本性質(zhì)，也沒有掌握好直線方程的概念與性質(zhì).原因是學生沒有從心理上去建構(gòu)、體驗并獲得這些概念和公式的生成過程，而是死記硬背或依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”去生搬硬套，出現(xiàn)如雙曲線C的頂點坐標為(±，0)、(±，0);直線A1P的方程為y=y1x/(x1+)、y=(x1+)/ [y1(x+)]等錯誤結(jié)果.

因此，對新課程中基本的數(shù)學概念、原理，教師應(yīng)舍得花時間去“大講、特講”，花力氣去“講清、講透”，而不應(yīng)只顧教學速度去讓學生“淺嘗輒止”.如果將概念教學真正落到實處，則全省還有153265個學生可能至少增加1至2分，從而使該題的平均得分提高到1.999至2.527分.

2. 教材的教學價值需要重視

這道壓軸題可以看作是新課標數(shù)學教材選修1-1(人教社2005年版)第58頁練習3“求以橢圓的焦點為頂點，以橢圓的頂點為焦點的雙曲線方程”的轉(zhuǎn)化、延伸和擴展，只是它改變了外在的建構(gòu)方向(從雙曲線到橢圓)，增加了建構(gòu)的中間元素(如直線)，但并未改變考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的思想意圖.

教材中的例題、練習、習題等，多數(shù)是一些最基本、最核心、最重要的內(nèi)容，但許多高三數(shù)學教師就是不重視教材，而熱衷于一些復習資料、模擬題，甚至是一些超綱的、生編硬造技巧的高考題.但是，近四年，尤其是2007、2009、2010年的廣東數(shù)學高考題表明，猜題、押題沒有用，回歸課本、基礎(chǔ)是正道.那種“在一年半載內(nèi)講完全部教材”的做法，使得教材的培養(yǎng)功能大打折扣.

教材中有許多例題和習題蘊含著重要的數(shù)學思維方法，教師應(yīng)積極引導學生通過“假如、列舉、比較、替代、想象、組合、類比”等問題探究方法(何小亞，教育戰(zhàn)爭與數(shù)學教育的出路，數(shù)學教育學報，2008)，不斷提出新問題并加以解決，既能有效鞏固基礎(chǔ)知識，發(fā)展學生的數(shù)學能力，又能充分利用教材，發(fā)揮教材的擴張效應(yīng).

3. 提高解決問題的能力

這道題的壓軸效果很明顯，主要體現(xiàn)在:1.第(1)問中對軌跡的限制性條件探究.在29多萬份樣卷中，答對(x≠0且x≠±)的人數(shù)比例不超過5.332%.2.第(2)問中的11～13分段和14分段.從表1可知，8～10分段的人數(shù)比例是11～13分段的約208倍，更是14分段的約880倍.這表明學生更熟悉情形①，因為僅需代數(shù)知識就能快速找到對應(yīng)的解決圖式，即“分別建立兩個方程組，判別式?駐等于零”，而情形②需要學生運用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖像并進行觀察、推理和判斷;情形③則是問題探究方法中“組合”思想的運用.這道題通過創(chuàng)設(shè)多條解題路徑，使不同思維層次的學生都有表現(xiàn)的機會，從而有效地區(qū)分了不同數(shù)學思維能力的學生，起到了良好的壓軸效果.

數(shù)學新課程下的高考是以問題解決為價值取向的，不僅強調(diào)邏輯推理能力、運算能力和空間想象力的考核，而且十分重視質(zhì)疑、反思、探究、發(fā)現(xiàn)等創(chuàng)新思維品質(zhì)的考查.要想提高學生解壓軸題的能力，就必須提高學生的問題解決能力.最奏效的辦法，一是抓好基本概念、基本原理的教學;二是從高一開始教探究，教發(fā)現(xiàn).

責任編輯羅峰