光滑圓環約束彈簧擺問題研究

楊正波 ，夏清華

(襄樊學院 物理與電子工程學院，湖北 襄樊 441053)

光滑圓環約束彈簧擺問題研究

楊正波 ，夏清華

(襄樊學院 物理與電子工程學院，湖北 襄樊 441053)

通過非線性理論分析，得到光滑圓環約束彈簧擺的動力學方程，討論不同參數條件下平衡點的類型和穩定性，并通過數值模擬作出特定參數下不同初始條件下系統相軌跡，并分析系統的運動情況.

約束彈簧擺；平衡點；相軌跡

近年來，彈簧擺作為二自由度非線性振動系統倍受關注[1-3].本文通過非線性理論分析，討論一種約束彈簧擺在不同參數條件下平衡點的類型和穩定性，并通過數值計算作出了特定參數下不同初始條件的相軌跡，從而直觀地分析系統的運動情況.

1 系統的動力學方程

如圖1所示，一質量為m的小圓環掛在勁度系數為k，原長為R的輕質彈簧上，小圓環被約束在半徑為 R的光滑圓環上運動，彈簧的另一端固定于圓環的最高點.

選取彈簧與豎直方向的夾角θ為擺角，最高點為勢能零點，則系統的動能為，系統的勢能為mg (2R cosθ) cosθ. 所以，系統的拉格朗日函數為

圖1 光滑圓環約束彈簧擺系統

根據拉格朗日方程可求出系統的動力學方程為

2 平衡點類型及其穩定性分析

系統的動力學方程(1)等價于二元一階微分方程組

這是一個單自由度的力學系統，其平衡點存在與否及其穩定性取決于常數m、k、R等的數值.因為，所以當，即時，相平面上只有一個平衡點：；當即時，相平面上有三個平衡點：和.

3 系統運動的數值模擬

圖2 不同初始條件下的相軌跡

4 系統的運動情況分析

3) 當滿足一定初始條件時，相軌跡為包圍F2、F3、F4三個平衡點的閉合曲線(圖2中的曲線⑦)，小圓環將在最低點B兩側做等振幅的周期性運動.

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Spring Pendulum System of the Bound Smooth Ring

YANG Zheng-bo, XIA Qing-hua
(School of Physics and Electronic Engineering, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)

In this paper we obtain the kinetic equation of the spring pendulum system of the bound smooth ring by theoretical analysis. The type and stability of equilibrium points under different conditions are discussed, and we draw out phase diagrams of specific parameters with different initial conditions based on numerical calculation. The motion character of the system is also presented.

Constrained spring pendulum; Equilibrium point; Phase diagram

O313

A

1009-2854(2010)05-0033-03

2010-04-14

楊正波(1975－ ), 男, 湖北谷城人, 襄樊學院物理與電子工程學院講師.

饒 超)