有限冪零群的兩個充分條件＊

唐躍躍,郭繼東

(伊犁師范學院,新疆 伊寧 835000)

有限冪零群的兩個充分條件＊

唐躍躍,郭繼東

(伊犁師范學院,新疆 伊寧 835000)

群的半直積是對直積的一種削弱,本文對半直積推廣到n個群的形式,并利用半直積給出了冪零群的一個充分條件。對正規子群加強條件,定理3給出了冪零群的一個類似可解群的判定條件。

半直積;冪零群;有限群

在有限群中,冪零群是介于交換群和可解群的一類群,對有限群的構造起著非常重要的作用,冪零群可以分解成Sylow子群的直積。半直積是直積的一種削弱形式,本文對文獻[1]定義的半直積對半直積進行了推廣,并利用定理1推廣到n個群的半直積得到了冪零群的一個充要條件。

另一方面,在有限群論中,人們常常利用G的正規子群N是可解的,且商群G/N也是可解來判定有限群G可解性。盡管冪零群一定是可解群,但是這一類似證明方法卻不能用在冪零群中,即 N?G,N是冪零的,且G/N也是冪零的,在一般情況下卻推不出G是冪零的,例如文獻[2]提到群G=S3,則G的真子群都是循環的,從而是群G的正規子群也是循環的,并且商群也都是循環的,但是群 G并不是冪零的。于是本文對正規子群N加強條件,得到了兩個類似可解群判定的判定定理。

本文所涉及的群均為有限群,H＜G表示 H是G的真子群,N?G表示N是G的正規子群,Sy lp(G)表示G的所有的Sylow p-子群所成的集合,其它未提及的術語及定義可參見文獻[1]。

1 主要定義和引理

定義1[1]設 H,K為兩個抽象群,a:k→A ut(H)是同態映射,則 H和 K關于a的G=H＞＜K規定為 G=H＞＜K={(x,a)|x∈H,a∈K}。……