關于《工程數學》與《自動控制原理》課程知識之銜接

陳俊英

（集美大學工程技術學院 福建 廈門 361021）

關于《工程數學》與《自動控制原理》課程知識之銜接

陳俊英

（集美大學工程技術學院 福建 廈門 361021）

《工程數學》是《自動控制原理》課程的數學基礎，聯系緊密，但實際教學中，這兩門課往往不能很好地銜接，給《自動控制原理》課程的講授造成了不小的困難，影響了教學效果。為此，可以在學習《自動控制原理》課程知識開始之前，就拉氏變換與傅立葉變換的知識作一個有針對性的復習，使兩門課程知識融會貫通。

工程數學；自動控制原理；銜接；拉氏變換；傅立葉變換

《自動控制原理》是機械類專業的一門必修課，是一門理論性和實踐性都很強的課程，其所有知識點的講授都以積分變換即以拉氏變換與反變換、傅立葉變換與反變換為基礎。

一般情況下，由數學系的教師來講授《工程數學》積分變換的相關課程，而單純的數學理論講授很難做到將《工程數學》課程知識與《自動控制原理》課程進行聯系。而《自動控制原理》的任課教師則認為該部分內容已經講過，也不會再詳盡述及，更不會細心去理順基本概念，當學生進入《自動控制原理》課程學習的時候，難以接受突然出現的拉氏變換應用，以致認為該課程內容很高深，挫傷了學習的自信心。因此，在講授《自動控制原理》課程之前，筆者先理順拉氏變換、反變換，傅立葉變換、反變換之間的關系，而在講授該知識點之前，更是先安排關于常規方法解微分方程的知識,以強化學生對各學科之間邏輯關系的認識。

時域分析知識準備

《自動控制原理》課程是以數學建模為基礎的，而時域模型又體現為微分方程，所以微分方程的求解是基本功。用一般方法求解較繁瑣，不同的微分方程首先要區分方程的形式，然后根據不同的形式，采用不同的解法。

（一）一階微分方程

1.變量可分離類型,形如y'sin x=ylny用分離變量的方法求解。

（二）二階微分方程

1.可降階的二階微分方程，形如:

形如y''=f（x，y'）（缺y），令p=y'求解。

形如y''=f（y，y'）（缺x），令p=y'

2.二階常系數線性齊次方程，形如

通解求法:先求特征方程r2+pr+q=0的特征根。特征根不同，通解不同。

3.二階常系數線性非齊次方程

通解求法同二階常系數線性齊次方程，而特解依方程右式形式的不同而不同。

以上內容在講授時,只須述及方程形式和解題方法,這是復習過渡性質的內容，無須詳述，主要是讓學生了解用常規方法解微分方程非常繁瑣。 而自動控制系統的數學建模、傳遞函數的求取需要大量求解微分方程，因此降低求解微分方程難度意義重大，此時即可引入拉氏變換簡化微分方程求解過程的知識。這樣，學生對于拉氏變換的意義有了生動的理解，知識脈絡清晰，更具邏輯性。

（三）應用拉氏變換解線性微分方程

具體步驟如下：（1）對線性微分方程中每一項進行拉氏變換，使微分方程變為代數方程。（2）解代數方程，得到有關變量的拉氏變換表達式。（3）用拉氏反變換得到微分方程的時域解。

圖1 求解過程示意圖

圖2 二階模型圖

典型實例:設一彈簧上端固定，下端懸掛一質量為m的物體，取其平衡位置為坐標原點O，軸鉛直向下，物體沿Y軸運動，開始時（t=0），物體的初始位移為Y0，初始速度為v0，求物體的運動規律。

解：數學建模：因阻力與速度成正比，故阻力為

（已知yt=0=0，y't=0，x（t）=k·1（t））

而彈簧力與位移成正比，為-ky，若系統所受外力為x（t），則根據牛頓第二定律有：

解：設L[y（t）]=Y（s）

對方程兩邊取拉氏變換，得

可見通過拉氏變換與反變換，可以將復雜的求解微分方程的問題轉化成代數運算過程，大大簡化了微分方程的求解過程。

頻域分析知識準備

時域分析雖然比較直觀，但如果不借助計算機，分析高階系統會非常繁瑣。而由于機械振動與頻率特性有著密切的關系，所以頻域法是工程上廣為采用的分析和綜合系統的間接方法。頻域處理不僅簡潔、計算工作量小，而且更能顯示信號或系統的組成特性。但是測試者所觀察到的總是信號的時間歷程，要在頻域進行處理和分析就必須先做時-頻域變換。計算機技術實現時-頻域變換的DFT和FFT算法已為廣大工程人員所熟悉，有現成的程序可以調用，而頻域分析的基礎是傅立葉變換，故首先則應建立起傅立葉變換的物理意義。

（一）傅立葉級數

一般周期信號可以利用傅立葉級數展開成無窮多個不同頻率的諧波信號的線性疊加。

圖3 諧波疊加現象示意圖

圖3可形象地表達出不同頻率的諧波信號的線性疊加現象，從而使學生建立起頻譜的概念。

（二）傅立葉變換

非周期信號x（t）傅立葉變換：

傅立葉反變換為:

x（ω）是非周期函數的頻譜函數，是連續的，而周期函數的頻譜是離散的。

圖4 周期矩形函數的離散頻譜圖

應特別說明單位階躍信號的頻譜，由于單位階躍信號是時域分析的典型信號，了解單位階躍信號的頻譜，更有助于建立起時域分析與頻域分析的關系（如圖5）。

拉氏變換與傅立葉變換的關系

對于傅立葉變換，理解物理意義比進行具體運算更有意義，因為拉氏變換算子S＝σ＋jω，即當σ=0時，FL（S）＝FF（jω）在嚴格的理論推導下成立。這為教材中頻域分析傅立葉變換以拉氏變換為過渡打下理論基礎。系統模型間的關系（如圖6）。

圖5 單位階躍函數頻譜圖

圖6 拉氏變換與傅立葉變換關系示意圖

在開始《自動控制原理》課程之前，復習拉氏變換，使學生理解采用拉氏變換的真正原因，而傅立葉變換的介紹則加強了學生對頻域物理意義的理解，從而為學習頻域分析的幅頻相頻特性打下基礎。通過對拉氏變換與傅立葉變換之間關系的介紹，可以為頻域分析知識講授起到鋪墊作用，較好地改善教學效果。

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陳俊英（1974—），女，工學碩士，集美大學工程技術學院講師，主要研究方向為傳感器與測控技術。

（本文責任編輯：張維佳）

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1672-5727（2010）S0-0063-02