一類具有二重飽和度的四分子可逆生化反應系統的定性分析

馮光庭,楊翠紅

(1.湖北第二師范學院 數學與數量經濟學院,湖北 武漢 430205；2.華中師范大學 數學與統計學學院,湖北 武漢 430079)

0 引言

近年來, 對生化反應系統性質的研究已取得許多好的成果.如文獻[1-2]研究了具有米氏飽和反應速度的生化反應模型,文獻[3]研究了具有二重飽和反應速度的生化反應模型；文獻[4]研究了一類多分子生化反應系統的全局結構.但這些研究中一般只考慮了正平衡點的局部性質和極限環存在的充分條件.事實上,在對這些生化反應模型的研究中,不僅要考慮其平衡點的局部性質,還應考慮其全局性質,特別是其正平衡點全局穩定和極限環存在的充分必要條件.本文將運用文獻[5-7]中的理論和方法對反應過程為

相應的數學模型為(其中a,b,c,d均為正常數)

(1)

的具有二重飽和度的四分子生化反應系統進行研究.首先確定系統(1)的正平衡點的性質,然后給出其存在唯一極限環和其正平衡點全局漸進穩定的充分必要條件.基于系統(1)的實際意義,我們只在區域Ω{(x,y)|x≥0,y≥0}內進行討論.

作時間變換dt=(Y2+b)dτ,將系統(1)化為與之拓撲等價的系統

(2)

易知系統(2),當d≤a時,沒有正平衡點；當d>a時,有唯一正平衡點M(x0,y0)其中

以下討論均限制在d>a.

1 主要結果及證明

故當p>0時,M為不穩定的焦點或結點；當p<0時,M為穩定的焦點或結點.

當p=0時,為了確定M點的性質,對系統(2)作如下變換

則系統(2)拓撲等價于以下系統:

(3)

(4)

所以當p=0時,O(0,0)是系統(4)不穩定的一階細焦點,從而當p=0時,M(x0,y0)是系統(2)的穩定的一階細焦點.

U(θ)=cosθ·Qm(cosθ,sinθ)-sinθ·Pm(cosθ,sinθ),

R(θ)=cosθ·Pm(cosθ,sinθ)+sinθ·Qm(cosθ,sinθ).

(**)

引理3 當下列條件成立時,系統(1)在區域Ω內有唯一穩定的極限環.

引理3的證明(ⅰ)存在性.

構造廣義的Bendixson環域,其外境界線由L1、L2和L3構成,內境界線為平衡點M,其中L1:x軸正半軸,L2:y軸正半軸,L3:赤道線.首先考慮系統(2)的無窮遠奇點.

(2a)

又U(0)=0,R(0)=1>0,U′(0)=-1<0;U(π)=0,R(π)=1>0,U′(0)=-1<0.

所以由引理1知系統(2)只有一條軌線,當t→-∞時沿θ=π趨于平衡點N0(0,0);也只有一條軌線,當t→-∞時沿θ=0趨于平衡點N0(0,0).

其中φ(u1,z1),φ(u1,z1)是次數不低于5次的項.

(2b)

因(0,0)不是它的奇點,故原系統沿y軸方向的無窮遠點不是奇點.

而當(Ⅰ)、(Ⅱ)成立時,有p>0,于是由定理1知,正平衡點M為系統(2)的不穩定的焦點或結點.故系統(2)在區域Ω內至少存在一個穩定的極限環,從而系統(1)在區域Ω內至少存在一個穩定的極限環.

(ⅱ)唯一性.

作變換u=y-y0,v=x+y-x0-y0,dτ=(u+y0)3dt,-y0

(5)

f(u)F′(u)=1+c-d·

再由存在性即知引理3成立.

定理2 系統(1)的正平衡點M在區域Ω內是全局漸進穩定的當且僅當條件(6)成立.

(6)

定理2的證明若M是全局漸進穩定的,則必是局部穩定,所以由定理1知p≤0.

再由p的意義即得(6)式.

故由u1>0,-y0

從而由p≤0及φ(0)=0知z>0時恒有F1(z)>F2(z).

(7)

的積分曲線.在上述Filippov變換下,系統(7)可以分為兩個方程

(8)

(9)

故由定理1知,M是全局漸進穩定的.

定理3 系統(1)在區域Ω內有唯一穩定的極限環當且僅當下列條件成立.

定理3的證明由引理3知,定理的充分性成立；

由定理2知定理的必要性是顯然的.事實上,當系統(1)在區域Ω內有唯一穩定的極限環時,由定理2知(Ⅱ)一定成立；

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