一道應用題的變式教學及反思

● (通州高級中學 江蘇通州 226300)

教與學如同教學質量的2只翅膀，只有師與生雙翅有力，教與學兩翼互動，才能使教學質量飛揚.在解題教學中必須教與學并重，教與學有機結合.反思教學，既要強化教師教的反思，又要關注學生學的反思.這樣既能磨礪教師的教學本領，又能錘煉學生的學習能力.下面就一道試題的變式教學談談教與學的雙重反思,希望能帶給讀者一點啟示.

圖1

1 呈現典例

例1走廊的示意圖如圖1所示，其2邊走廊的寬度均為2 m．

(2)一根長度為5 m的鐵棒能否水平(鐵棒與地面平行)通過該直角走廊?請說明理由(鐵棒的粗細忽略不計).

分析這是江蘇省南京市2009年高三期末調研測試題中的一道考題，是一道三角函數模型的應用題.第(1)小題需過建模關，第(2)小題需過閱讀分析關和運算關.

解(1)由題意得

(2)方法1通分得

于是

因此

故鐵棒能水平通過該直角走廊.

方法2求導得

方法3平方得

故鐵棒能水平通過該直角走廊.

0

于是

故鐵棒能水平通過該直角走廊.

于是

從而

故鐵棒能水平通過該直角走廊.

反思(1)解題關鍵點.

本題的建模過程應該不是很難，而運算應充分抓住原等式的結構特征,認真分析其結構的變化形式,靈活應變,多方位思考,然后使用不同的求解策略加以應對.通過這樣的反思，讓學生學會如何選擇思維的起點，開拓思路，積累破題的經驗和規律，培養思維的廣闊性.

(2)解題技巧(運算技巧).

策略1利用三角關系式(sinθ+cosθ)2=1+2sinθ·cosθ，通過換元法來實施轉化，最終化為函數問題處理.

策略2直接利用導函數法求解.

策略3轉化成二次函數問題求解.

策略4直接利用基本不等式求解.

很多數學試題有多種解法，解題后要從多角度思考是否還有其他解法，通過尋找新的方法可以開拓思路，防止思維定勢，及時總結出各類解題技巧，養成“從優、從快”的解題思維方式，從而使思維更具有創造性.

(3)解題易錯點.

在本題的建模過程中應注意實際問題的定義域，而第(2)小題中應注意到l越小越好，因此求的是l的最小值，運算中應注意θ的取值范圍和基本不等式中等號成立的條件.

2 變式引申

變式1直角走廊的示意圖(如圖2所示)，其2邊走廊的寬度均為1 m.現有一平板車，其平板面為矩形，它的長為2 m，寬為l m.

(1)若平板車卡在走廊內，且∠CAB=θ，試求平板面的寬；

(2)若平板車能順利通過走廊，其寬度不能超過多少米？

解(1)轉化為例1，如圖3，可知

MN=MD+DN=ME+EF+FN,

于是

得

圖2

圖3

變式2如圖4,一走廊拐彎處外側是直角形，內側是半徑為1 m的圓弧，走廊直道部分的寬均為1 m.現有一平板車，其平板面為矩形，它的長為2 m，寬為lm.

(1)若平板車卡在走廊內，且∠CAB=θ，試求平板面的寬；

(2)若平板車能順利通過走廊，其寬度不能超過多少米？

圖4

圖5

解法1(1)設H為圓弧的圓心，E為平板面的一邊與圓弧的切點，連結HE，并延長交AB于點F，交AC延長線于點D.因為

所以

AD=GD-GA=GD-(2-AC)=

2tanθ-2+2cosθ.

又

HD=HE+EF+FD=1+l+AD·sinθ,

所以

即

(2)令sinθ+cosθ=t,則

從而

圖6

解法2(1)由圓弧聯想到圓，即可建立直角坐標系，解決圓與直線的位置關系問題.如圖6,平板面的一邊與圓弧相切的直線為GH，則直線GH對應的方程為y=x·tanθ+b，圓O：x2+y2=1，得H(2,2tanθ+b).因為

HC=BC+BH,

所以

聯立

得

從而

(2)同解法1.

反思(1)解題關鍵點:能運用恰當的數學方法去建立解決數學模型，應該自己去領會、體驗，只有這樣才能將所學知識轉化為解決問題的能力．

(2)解題技巧(建模技巧).

策略1從平面幾何的角度去建立和發現函數模型.

策略2從解析幾何的角度去建立和發現函數模型.

(3)解題易錯點.

一道簡單的例題通過一系列的變式，合理控制和深化難度，可為訓練思維、深化認知、優化認知提供契機，這是培養解題能力、抽象概念能力的重要手段.通過變式教學，將知識串珠成線，從例題的典型性和規律性出發提高例題的“品味”，真正發揮經典例題、習題的多種功能；通過變式教學，不僅能使學生的思維始終處于極度興奮的狀態，思維得到升華，而且這也是課堂上開展研究型學習切實、有效的途徑.通過解題后的反思不僅能對知識的形成發展過程、解題思維過程有一個更清楚的認識，還有利于知識的深化、思維的縝密及高效課堂的形成.