浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題立體幾何大題綜述

● (杭州市第二中學(xué) 浙江杭州 310056) ● (長征中學(xué) 浙江杭州 310011)

自浙江省高考自主命題以來，數(shù)學(xué)高考理科試題立體幾何大題的命制之間既有傳承，也有變化.在保持考查基本功能的基礎(chǔ)上，不斷豐富考查的內(nèi)容和形式，取到了很好的區(qū)分、選拔人才和指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的作用.

1 大綱與課標(biāo)的考核要求

大綱版教材將立體幾何內(nèi)容安排在高二教材的第9章，并區(qū)分為A版和B版.A版強(qiáng)調(diào)用綜合法解決立體幾何問題，按公理化體系、知識(shí)的邏輯關(guān)系安排內(nèi)容；B版補(bǔ)充空間向量的知識(shí)，強(qiáng)調(diào)利用空間向量解決與立體幾何相關(guān)的問題.

隨著新課程的進(jìn)入，人教A版教材為適應(yīng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，將立體幾何內(nèi)容和進(jìn)度安排作了較大的調(diào)整.在內(nèi)容安排上強(qiáng)調(diào)螺旋上升，分層遞進(jìn)，逐步到位.在教學(xué)要求上強(qiáng)調(diào)采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì).

對理科的考試要求而言，大綱的要求與課標(biāo)的要求基本一致.以空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系(特別是平行、垂直、角度)來考查學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力，或利用空間向量解決立體幾何問題(空間向量為立體幾何中某些用綜合法解決時(shí)技巧性較大的問題提供了通法).

2 試題特點(diǎn)分析

2.1 重點(diǎn)問題重點(diǎn)考

試題多以三棱錐、四棱錐為載體，考查基本的知識(shí)和方法，譬如平行、垂直、線面角、二面角等.這幾個(gè)方面是立體幾何中最重要的知識(shí)，它們一起構(gòu)成了立體幾何知識(shí)的主干.

2.2 常規(guī)問題反復(fù)考

自主命題以來，雖然經(jīng)歷了由大綱教材向課標(biāo)教材的轉(zhuǎn)變，但高考試卷中立體幾何部分卻相對穩(wěn)定.如果僅從試題考核的知識(shí)和方法角度來看，大綱版和課標(biāo)版的試題沒有本質(zhì)的差異.總體來說，考核內(nèi)容常規(guī)，主要體現(xiàn)在2個(gè)方面：一是題目選用背景常規(guī)，所用幾何載體基本常規(guī)；二是題目的設(shè)問比較常規(guī)，基本上都是2個(gè)小題，第(1)小題以證明平行或垂直為主，第(2)小題則以求解角度或長度為主.這也契合高中立體幾何定性和定量地研究空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的定位，它一方面是空間想象能力的外顯，另一方面是對計(jì)算能力和邏輯思維能力的良好考查.

2.3 新穎問題變著考

立體幾何大題的新穎性體現(xiàn)在2個(gè)方面，即試題背景的有別常規(guī)和設(shè)問的視角變化.試題在保持常規(guī)考核的基礎(chǔ)上，也進(jìn)行了變化和探索.通過在試題背景和問題設(shè)計(jì)上加入一些新的元素，避免了試題整體上的審美疲勞，在不斷重復(fù)中尋求變化，并形成了很好的亮點(diǎn).2004年給出的幾何體稍別于常規(guī)，將2個(gè)矩形進(jìn)行直二面角的拼接，或者可以理解為長方體的切割，不落俗套;2005年則在第(3)小題中考查“當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心”,對“題海戰(zhàn)術(shù)”是一個(gè)不小的打擊;2008年則以組合圖形作為背景;2010年的試題則以平面圖形的翻折為背景，設(shè)問也一改常規(guī)，2個(gè)小題都考核定量的計(jì)算，而將定性的考核放到選擇題和填空題之中.

2.4 垂直關(guān)系年年有

垂直關(guān)系是立體幾何問題的核心，或是線線、線面垂直，或是面面垂直，它是立體幾何問題綜合的樞紐．從解決問題的方法來說，若用向量法，則這種垂直是建立空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ).而在用綜合法解題過程中，垂直關(guān)系又是平行、垂直、角度等關(guān)系轉(zhuǎn)化的樞紐，也是求距離、長度等問題的基本模型.

3 求解思路探尋

為了更好的復(fù)習(xí)迎考，為解題教學(xué)提供幫助，下面對試題求解過程作一簡要分析.

(1)求二面角A′-FD-C的余弦值；

(2)點(diǎn)M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)A′重合，求線段FM的長.

圖1

圖2

4 教學(xué)啟示

4.1 完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

縱觀歷年立體幾何試題，考查的都是最基本的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系以及它們的度量.因此在復(fù)習(xí)時(shí)，要建立起完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，特別是研究定理間的關(guān)系，繪制出知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖(如圖3)，使基礎(chǔ)知識(shí)系統(tǒng)化.

圖3

這樣,不僅能理解各部分知識(shí)的縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系，理清脈絡(luò)，抓住知識(shí)主干，而且便于記憶，便于解決問題時(shí)的提取.

4.2 積累常規(guī)模型

圖形是解決立體幾何問題的思考平臺(tái)，在提升看圖和畫圖能力的基礎(chǔ)之上，還可多積累一些立體幾何中的常規(guī)圖形的模型.例如正方體、長方體、正四面體等.

建立空間觀念，培養(yǎng)圖形意識(shí).每年的立體幾何試題雖然給出了圖形，但如果空間觀念不強(qiáng)，那么圖形所揭示的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系就理不清.譬如2005年數(shù)學(xué)高考試題，很多學(xué)生找不到“O在平面PBC內(nèi)的射影”在哪里；2006年找不到“CD與平面ADMN所成的角”.對于同一個(gè)圖形，還要善于從不同的角度去觀察和理解，可以是俯視、仰視、側(cè)視、斜視，從中體會(huì)不同的感覺，以開拓空間視野，培養(yǎng)空間感.

4.3 教會(huì)如何思考

和其他問題一樣，對立體幾何大題的求解，首先是對題目已知條件的分析，結(jié)合所求的問題選擇合適的方法.一般地，可以將已知條件盡可能的標(biāo)示在題圖上，甚至挖掘出隱含的條件和結(jié)論.根據(jù)問題類別確定相應(yīng)的解決方法,譬如證明線面平行可以轉(zhuǎn)化為證明線線平行，也可轉(zhuǎn)化為證明面面平行.有時(shí)還可考慮和其他知識(shí)的巧妙結(jié)合，譬如函數(shù)知識(shí)，或是平面幾何中的結(jié)論或定理等.只有教會(huì)了學(xué)生如何思考，學(xué)生才會(huì)在不斷變化的題目背景中找到最佳的方法解決問題.

4.4 發(fā)展思維品質(zhì)

立體幾何試題常考常新.有的背景新穎、有的求解思路獨(dú)特，要求考生具備良好的思維品質(zhì)，才能在考試時(shí)有沉著、冷靜的心態(tài)，尋求最優(yōu)的解答方法．空間想象能力、計(jì)算能力和邏輯思維能力是解決立體幾何大題的基礎(chǔ).