中考試題中的動態型問題解析

● (武威市第十三中學 甘肅武威 733000)

中考試題中的動態型問題解析

●滿銀天(武威市第十三中學 甘肅武威 733000)

在近幾年各地的中考試卷中,動態型問題已成為中考試題的一大熱點題型,而且常常作為壓軸題出現.這類問題以幾何圖形為載體，以運動變化為特征，通過圖形在運動中產生的函數關系問題和探究幾何圖形變化規律的問題，考查學生對圖形的直覺能力以及從變化中看到不變實質的數學洞察力.在運動變化中發展學生的空間想象能力，綜合提高分析能力.解決動態幾何題的策略是：把握運動規律，尋求運動中的特殊位置；“動”中求“靜”，在“靜”中探求“動”的一般規律.通過探索、歸納、猜想，獲得在運動過程中不變量與變量之間的特殊關系，從而建立函數模型或方程模型,找到解題的突破口.下面以2009年各地中考試題為例，將動態型問題進行分類解析.

1 動點型

例1如圖1，在正方形ABCD中，點A,B的坐標分別為(0，10)，(8，4)，點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發沿A→B→C→D勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，當點P到達點D時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．

(1)當點P在邊AB上運動時，點Q的橫坐標(長度單位)關于運動時間t(秒)的函數圖像如圖2所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P的運動速度.

(2)求正方形邊長及頂點C的坐標.

(3)在第(1)小題中,當t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時點P的坐標.

圖1

圖2

圖3

(4)如果點P,Q保持原速度不變，那么當點P沿A→B→C→D勻速運動時，OP與PQ能否相等.若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．

解(1)Q(1，0)，點P的運動速度為每秒1個單位長度．

(2)過點B作BF⊥y軸于點F，BE⊥x軸于點E，則

BF=8，OF=BE=4．

求得點C的坐標為(14，12)．

(3)過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，則△APM∽△ABF,可得

于是

設△OPQ的面積為S(平方單位)，則

評析本題將點的運動過程中形成的函數解析式與其相應的函數圖像有機地結合起來，并把這些點在運動變化過程中產生的等量關系、變量關系、圖形的特殊狀態、圖形間的特殊關系等聯系起來進行研究，融入了數形結合、分類討論、函數等數學思想.求解本題的關鍵是確定△OPQ的底長OQ、高PN與t的關系式，從而建立起面積與t的函數關系，以靜制動，運用所學函數知識求出△OPQ的面積最大時t的值.

圖4

2 三角形的運動

例2如圖4，已知拋物線y=x2+bx+c經過A(1,0)，B(0,2)兩點，頂點為D．

(1)求拋物線的解析式；

(2)將△OAB繞點A順時針旋轉90°后，點B落到點C的位置，將拋物線沿y軸平移后經過點C，求平移后所得圖像的函數關系式；

(3)設第(2)小題中平移后所得拋物線與y軸的交點為B1，頂點為D1，若點N在平移后的拋物線上，且滿足△NBB1的面積是△NDD1面積的2倍，求點N的坐標．

解(1)已知拋物線y=x2+bx+c經過點A(1,0)，B(0,2),解得b=-3,c=2，于是所求拋物線的解析式為y=x2-3x+2．

(2)因為A(1,0)，B(0,2)，所以

OA=1,OB=2.

可得旋轉后點C的坐標為(3，1)，于是平移后的拋物線解析式為y=x2-3x+1．

圖5

圖6

綜上所述，點N的坐標為(1，-1)或(3，1)．

評析本題是以三角形旋轉運動為載體、以拋物線為背景創設的探索性問題.試題由淺入深、層層遞進，涉及了三角形和二次函數等知識的考查.解決此題的關鍵是應弄清圖形運動過程中始終保持不變的量.這里融入了動態幾何中的變和不變、數形結合、分類討論的思想.

3 矩形的運動

(1)求△ABC的面積；

(2)求矩形DEFG的邊DE與EF的長；

(3)若矩形DEFG從原點出發，沿x軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移，設移動時間為t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S關于t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍．

圖7

圖8

解(1)易得直線l1,l2的交點C的坐標為(5,6)，因此

(2)由點D在l1上,得點D的坐標為(8，8).又由點E在l2上,可得點E的坐標為(4,8),于是

OE=8-4=4,EF=8.

(3)當0≤t<3時，如圖8，矩形DEFG與△ABC重疊部分為五邊形CHFGR(當t=0時，為四邊形CHFG)．過點C作CM⊥AB于點M，則

Rt△RGB∽Rt△CMB,

于是

即

解得

RG=2t.

由Rt△AFH∽Rt△AMC,可得

S=S△ABC-S△BRG-S△AFH=

即

②當3≤t<8時，如圖9,矩形DEFG與△ABC重疊部分為梯形HFGR.過點C作CM⊥AB于點M，則

Rt△ARG∽Rt△ACM，

因此

即

解得

又由Rt△AHF∽Rt△ACM，可得

于是

解得

圖9

圖10

③當8≤t≤12時(如圖10),矩形DEFG與△ABC重疊部分為△AGR,則Rt△ARG∽Rt△ACM(當t=12時,為一個點)，因此

解得

評析本題是一道以矩形的運動構建的集代數、幾何于一體的綜合題，有一定的難度，是一道具有很好選拔功能的試題.要求學生認真審題，畫出不同情況下的圖形,根據圖形建立時間變量與其他相關變量的關系式，進而構建面積的函數表達式.解決本題的關鍵是利用矩形在運動過程中產生相似三角形得到待求量與時間t的關系，進而求出面積S與t的函數關系式.

4 圓運動

例4如圖11，已知射線DE與x軸、y軸分別交于點D(3,0),E(0,4)．動點C從點M(5,0)出發，以1個單位長度每秒的速度沿x軸向左作勻速運動.與此同時，動點P從點D出發，也以1個單位長度每秒的速度沿射線DE的方向作勻速運動．設運動時間為t秒．

(1)請用含t的代數式分別表示出點C與點P的坐標.

①當⊙C與射線DE有公共點時，求t的取值范圍;

②當△PAB為等腰三角形時，求t的值．

圖11

圖12

(2)①當⊙C的圓心C由點M(5,0)向左運動，使點A到點D并隨⊙C繼續向左運動時，有

解得

當點C在點D左側時，過點C作CF⊥射線DE，垂足為F.由△CDF∽△EDO，可得

即

解得

②當PA=AB時，過點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，則

PA2=PQ2+AQ2,

即

解得

當PA=PB時，有PC⊥AB，因此

解得

t3=5．

當PB=AB時，有

PB2=PQ2+BQ2,

即

解得

評析此題涉及了代數、函數、圓、等腰三角形等諸多知識點，融入了動態幾何的變與不變的特性.解答這類題型的關鍵是要注意“動靜結合、以靜制動”，抓住圓與射線有公共點的過程中2個靜止的瞬間作為突破口，利用圓在運動過程中與射線形成的相似三角形關系求出t的取值.其重要數學思想“分類討論”思想貫穿于整個解題過程中.

綜上所述，解決運動型試題需要用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關系和變量關系，并特別關注一些不變量和不變關系或特殊關系.同時,要善于應用相似三角形的性質定理、勾股定理、圓的有關性質、圖形的面積關系等，并利用方程得到函數關系式.因此，在中考復習中應有意識地加強這方面的訓練，培養學生解答動態型試題的能力.