“方程的根與函數的零點”問題串設計賞析

● (紹興市高級中學 浙江紹興 312000)

“方程的根與函數的零點”問題串設計賞析

●封幸力(紹興市高級中學 浙江紹興 312000)

愛因斯坦說過：“提出一個問題，往往比解決一個問題更重要”．“問題是數學的心臟”，“數學的真正組成部分是問題和解”，如何有效地設計問題串以引起學生的思考，是保證課堂教學有效性的基礎和關鍵．在課堂教學過程中，教師與學生的雙邊活動往往圍繞大量的問題而展開．問題串的合理設計能更好地調動學生的學習積極性，培養學生的思維能力和創造能力，使數學的心臟跳動得更加正常.本文以“方程的根與函數的零點”的教學內容為例說明數學課問題串的設計，供大家評析.

1 探究環節

問題1觀察二次函數f(x)=x2-2x-3的圖像(如圖1)，我們發現函數f(x)=x2-2x-3在區間[a,b]上有零點.計算f(-2)與f(1)的乘積，你能發現這個乘積有什么特點呢？

圖1

問題2函數f(x)=x2-2x-3在(-2，1)內有零點嗎？

問題3在區間(2，4)內呢？

問題4這個函數符合某些特征.我們把它抽象成一般的結論，對于一般的函數f(x)，需要滿足什么條件，它在某個區間上才有零點呢？

(學生發現：如果區間2個端點的函數值的乘積小于0，那么函數在這個區間內有零點.)

問題5這個條件夠嗎？

圖2

(學生一頭霧水，教師在黑板上畫出一幅圖(如圖2).)

問題6如圖2所示的函數在區間(0，5)上有零點嗎？

(引起學生思維撞擊.)

問題7(追問)為什么呢？

(學生會發現因為圖像不是連續的曲線.)

問題8需要幾個條件才能判斷函數存在零點？

設計意圖在探究過程中，教師始終強調“區間”這2個字，讓學生明白函數零點是在某個區間上取的.通過類比得出零點存在性定理，讓學生體會研究性學習的樂趣.

2 辨析環節

在學生歸納出函數零點的存在定理后，讓學生談談針對此結論有什么疑問或想法.

問題1如果函數y=f(x)在區間[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0,那么函數y=f(x)在區間(a,b)內一定有零點嗎？

問題2這也說明了函數圖像要連續,那么函數圖像不是連續不斷的，函數就沒有零點了嗎？

問題3如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，那么當f(a)·f(b)>0時，函數y=f(x)在區間(a,b)內一定沒有零點嗎？

問題4當f(a)·f(b)>0時,函數y=f(x)在區間(a,b)內一定有零點嗎？

問題5當f(a)·f(b)>0時，函數在區間(a,b)內有時有零點，有時沒有零點，那么它能作為判斷函數零點的條件嗎？

問題6如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，且在區間(a,b)內有零點，那么一定有f(a)·f(b)<0嗎？

通過以上的討論說明了函數在區間(a,b)上“圖像連續不斷”和“f(a)·f(b)<0”是判斷函數有零點的2個條件.

問題7滿足這2個條件時，函數在區間(a,b)上只有1個零點嗎？

問題8增加什么條件可以確定函數在區間(a,b)上只有1個零點？

通過這組問題，我們發現“如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點”，這句話是正確的，我們把它作為判斷函數有零點的一個定理.定理中要明確2個條件：連續和異號.因為該定理只能判斷有零點，判斷不了有幾個零點，所以這僅僅是函數零點“存在性”定理.

設計意圖在這個環節中，問題串串相接，步步深入.在得出定理的內容后，進一步挖掘定理，深入理解定理的內涵.教師的提問也是學生心中的疑問.在實踐過程中由學生進行歸納、類比回答，讓學生充分體驗知識的生成過程.在這個環節中可以引導學生積極思考，創設一種活躍的課堂氣氛.

以問題串的形式設計課堂能夠使學生積極參與、自主學習.在這樣的課堂教學中，學生既獨立自主，又互相協作，求知的欲望被不斷激活，探索的勇氣在不斷增強.一堂課是綜合藝術的展現，是預設與生成的交融，也是師生共同探索、一起進步的平臺.課堂不是教師個人的舞臺，不能只展示教師的個人風采，教師的角色更像是導演，學生才是演員，才是課堂的主人.要多角度地展現學生的思維，讓學生自己舉例、解疑.教師的作用主要體現在創設問題情境、適時點撥、引導和調控上.正如波利亞所說：“學生的數學思想只能在學生自己的頭腦中產生，而教師只能起到一個‘助產婆’的作用”.

美國心理學家布魯納指出：“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動，思維永遠是從問題開始的”.在課堂教學中，我們要以問題貫穿于整個教學過程中，使學生在設問和釋問的過程中萌生自主學習的動機和欲望，逐漸養成思考問題的習慣，并在實踐中不斷優化學習方法，提高學生的數學素養.在教學中要開展問題式教學，教師在教學設計時要根據教學內容編寫“問題串”.問題串的設計是將知識或內容問題化，問題的設計要由淺入深、由易到難，讓學生層層深入，循序漸進，觸類旁通.問題串的設計能使課堂學習更精彩，“數學心臟跳動得更健康”，教學效果更顯著.