高階混沌振子的微弱信號(hào)頻率檢測(cè)新方法

徐艷春，楊春玲

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，哈爾濱150001，xyc7309@163.com;2.黑龍江大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱150080)

由于混沌系統(tǒng)對(duì)初值和擾動(dòng)的敏感性，使其在很多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.混沌理論在信號(hào)檢測(cè)方面的應(yīng)用近幾年也引起人們的廣泛關(guān)注.目前，該理論已被成功地應(yīng)用于微弱信號(hào)檢測(cè)當(dāng)中，并取得較大進(jìn)展.研究表明，大多數(shù)檢測(cè)方法是在信號(hào)頻率已知的條件下去測(cè)量弱信號(hào)的幅值，并沒(méi)有提及如何檢測(cè)信號(hào)的頻率.而有些研究采用混沌理論測(cè)量頻率的方法是在Duffing 方程的基礎(chǔ)上，采用78 個(gè)振子陣列進(jìn)行頻率檢測(cè)，該算法不僅復(fù)雜且只有當(dāng)振子頻率增加到某一成分信號(hào)頻率附近時(shí)，才可以從時(shí)間圖像上清晰觀測(cè)到陣發(fā)混沌現(xiàn)象，檢測(cè)方法繁瑣［1-3］.

本文將Rossler 混沌系統(tǒng)和比例微分控制方法相結(jié)合，提出基于Rossler 混沌控制的強(qiáng)噪聲背景下正弦周期信號(hào)頻率檢測(cè)的新方法.該方法最大特點(diǎn)是利用Rossler 混沌振子和比例微分控制進(jìn)行信號(hào)頻率檢測(cè).首先，通過(guò)比例微分控制，將正處在混沌狀態(tài)的系統(tǒng)控制到周期軌道，從而使系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期運(yùn)動(dòng).當(dāng)然，前面所說(shuō)的混沌狀態(tài)的系統(tǒng)是因?yàn)楹性肼暤拇龣z測(cè)信號(hào)的輸入才處于混沌態(tài)，這種混沌態(tài)蘊(yùn)含著待檢信號(hào)的信息.此時(shí)，若直接用譜分析方法測(cè)頻率，并不能測(cè)出待檢周期信號(hào)的頻率，本文用比例微分控制方法將其控制到穩(wěn)定周期態(tài)后，再用譜分析方法則可測(cè)出未知信號(hào)的頻率.

1 Rossler 混沌系統(tǒng)的特性研究

1963 年美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz 在數(shù)值試驗(yàn)中偶然發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)混沌吸引子，不久，德國(guó)物理化學(xué)家O.E.Rossler 于1976 年指出，還可以用兩種不同的方法從Lorenz 吸引子中抽出更簡(jiǎn)單、非對(duì)稱的吸引子結(jié)構(gòu).一是研究Lorenz 方程組中的r 值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于28 時(shí)的情況;二是重新構(gòu)造Lorenz 吸引子的折疊過(guò)程.這兩種方法都可以得到同一拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，方程中雖只含一個(gè)非線性項(xiàng)xz，但卻能產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，這就是Rossler 系統(tǒng)［4-6］.

Rossler 系統(tǒng)是一個(gè)簡(jiǎn)單的而又內(nèi)稟復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的方程為

Rossler 系統(tǒng)比Lorenz 系統(tǒng)簡(jiǎn)單，而且拓?fù)洳坏葍r(jià)，即不存在任何的微分同胚變換把Rossler 系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成另一個(gè)系統(tǒng).

Rossler 系統(tǒng)是一個(gè)三階自治系統(tǒng)，含有一個(gè)非線性項(xiàng)xz，正是這個(gè)非線性項(xiàng)使系統(tǒng)產(chǎn)生分叉、混沌等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.其中方程在a =b=0.2，c 為不同值的時(shí)候，Rossler 吸引子的形狀如圖1 所示.事實(shí)上，Rossler 系統(tǒng)的任何一個(gè)方程對(duì)周期信號(hào)都很敏感，輸入微弱的周期信號(hào)會(huì)對(duì)系統(tǒng)行為產(chǎn)生很大的變化［7］.

圖1 c 為不同值時(shí)Rossler 吸引子相圖

對(duì)Rossler 系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析如下.取a=0.3，b=0.2，c=5 進(jìn)行研究.

令

這樣得到系統(tǒng)的兩個(gè)平衡點(diǎn)為:s1=(0，0，0);s2=(-ab+c，(ab-c)/a，-(ab-c)/a).即s1=(0，0，0)，s2=(4.94，-16.47，16.47).

下面討論這兩個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

對(duì)于平衡點(diǎn)s1=(0，0，0)，其雅可比矩陣J為

它的特征方程為

所以其特征值為

因特征值p1，p2有正的實(shí)部，而p3有負(fù)的實(shí)部，故s1=(0，0，0)是不穩(wěn)定焦點(diǎn).

對(duì)于平衡點(diǎn)s2=(4.94，-16.47，16.47)，其雅可比矩陣J 為

其特征值分別為

因其特征值p1，p2有負(fù)的實(shí)部，而p3有正的實(shí)部，所以s2為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)［8-10］.

2 比例微分控制策略

考慮如下的n 維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng):

其中:P ∈Rn，F(xiàn)=［f1，f2，f3，…，fn］是n 維光滑的向量場(chǎng);μ 為系統(tǒng)的參數(shù)，當(dāng)μ 取一定范圍的值時(shí)，系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng).

現(xiàn)對(duì)上式所表示的系統(tǒng)的狀態(tài)變量Pm取比例微分控制得

其中:k1，k2是本控制方法中的2 個(gè)可調(diào)參數(shù)，調(diào)整k1，k2的值可以實(shí)現(xiàn)不同的控制目標(biāo).將按如下方法進(jìn)行反饋:

其中，j=1，2，…，n.

由上式所示的反饋方式可知:F()中的子系統(tǒng)fm()不受反饋控制作用而自由演化.若系統(tǒng)fm()中無(wú)狀態(tài)變量xm，也不受控制作用而自由演化，則本控制方法只需對(duì)系統(tǒng)的一部分子系統(tǒng)進(jìn)行控制，這就大大減小了控制的代價(jià)和在實(shí)際工程系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)控制的難度，克服了目前大多數(shù)狀態(tài)變量反饋法需要多個(gè)進(jìn)行全局反饋的缺陷.同時(shí)，比例微分控制法不影響原系統(tǒng)的特性，其結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，控制結(jié)果非常豐富，只要控制參數(shù)取很小的數(shù)值，就能十分有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌控制，且控制速度快，這也正是本文采用此控制方法的原因.

3 基于Rossler 混沌控制的未知信號(hào)頻率檢測(cè)方法

本文采用Rossler 混沌系統(tǒng)進(jìn)行信號(hào)頻率檢測(cè)，利用該系統(tǒng)對(duì)輸入的周期信號(hào)敏感，輸入微弱的周期信號(hào)會(huì)對(duì)系統(tǒng)行為產(chǎn)生很大變化的特點(diǎn)，將待檢測(cè)的被噪聲淹沒(méi)的信號(hào)加入到Rossler 系統(tǒng)的任一個(gè)方程中，從而構(gòu)成有待檢信號(hào)的混沌系統(tǒng).若此時(shí)對(duì)該混沌系統(tǒng)進(jìn)行頻譜分析，則頻譜圖曲線上的角頻率將是ω，3ω，5ω，…，或者是2ω，4ω，6ω，…，此時(shí)表現(xiàn)為幅值高低不同且頻率各異的若干信號(hào)，無(wú)法知道哪個(gè)頻率是所求的.然而，當(dāng)系統(tǒng)被控制到周期狀態(tài)時(shí)，不管是奇階超諧解還是偶階超諧解，基頻(待檢頻率)的幅值最大、最清晰.因此利用前面的比例微分控制理論將混沌系統(tǒng)控制到周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最后通過(guò)頻譜圖非常容易檢測(cè)出頻率值.

具體控制算法及步驟如下:

1)調(diào)整Rossler 混沌系統(tǒng)參數(shù)，使其處于混沌的臨界狀態(tài);

2)加入含有噪聲的待檢測(cè)的微弱信號(hào)，從而系統(tǒng)進(jìn)入混沌態(tài);

3)采用上述比例微分控制策略，調(diào)整控制參數(shù)，使其從混沌態(tài)進(jìn)入周期態(tài);

4)控制后的系統(tǒng)輸出中含有待檢信號(hào)的信息，對(duì)其進(jìn)行頻譜分析，從而檢測(cè)出待檢信號(hào)的頻率.

文中選擇y 為受控變量，為了討論方便，不失一般性，令k1=1，按上述控制方法得受控后的方程為

對(duì)不動(dòng)點(diǎn)s2=(4.94，-16.47，16.47)進(jìn)行研究，將系統(tǒng)進(jìn)行線性化，得其雅可比矩陣J 為

把J 代入其特征多項(xiàng)式為

由Routh-Hurwitz 判據(jù)得，當(dāng)0.016 3 ＜k2＜287 653.466 7 時(shí)，系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)是穩(wěn)定的.

從理論上來(lái)說(shuō)，將待檢測(cè)的微弱信號(hào)加入到3 個(gè)方程中的任一個(gè)方程均可改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，文中將待檢信號(hào)加入到Rossler 混沌系統(tǒng)的第二個(gè)方程中進(jìn)行分析.

4 數(shù)值仿真

圖2 為k2=10，混沌系統(tǒng)未含有待檢信號(hào)時(shí)Matlab 仿真結(jié)果，從圖中可看出這種控制方法是有效的，系統(tǒng)通過(guò)這種控制能很好地控制到平衡點(diǎn).

圖2 系統(tǒng)控制后的時(shí)域圖和相圖

設(shè)待檢信號(hào)為

其中，待檢信號(hào)的角頻率為60 rad/s，幅值為0.001 V，n(t)是均值為零、方差為0.1 的白噪聲.輸入信號(hào)加入到Rossler 混沌系統(tǒng)第二個(gè)方程后系統(tǒng)的相軌跡及譜分析如圖3 所示.

圖3 輸入信號(hào)后Rossler 系統(tǒng)的相圖及譜分析圖

由圖3 根本辨認(rèn)不出輸入信號(hào)中的待檢周期信號(hào).圖4 采用比例微分控制方法將Rossler 混沌系統(tǒng)控制到周期態(tài)后進(jìn)行待檢信號(hào)的頻率檢測(cè).

圖4 控制后系統(tǒng)的相圖和譜分析圖

由圖4 可直觀準(zhǔn)確的看出，待檢的周期信號(hào)頻率為60 rad/s.

當(dāng)待檢信號(hào)頻率為200 rad/s 時(shí)，系統(tǒng)的頻譜圖如圖5 所示.

圖5 受控系統(tǒng)的頻譜圖

經(jīng)過(guò)大量的仿真實(shí)驗(yàn)，將在相同輸入信噪比情況下，對(duì)本文提出方法和Duffing 陣列方法頻率檢測(cè)的結(jié)果進(jìn)行比較，從表1 給出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文提出的微弱信號(hào)頻率檢測(cè)方法相對(duì)Duffing 方程振子陣列檢測(cè)方法來(lái)說(shuō)具有更大的優(yōu)勢(shì)，其在檢測(cè)精度上較Duffing 系統(tǒng)檢測(cè)方法有較大的提高.

表1 2 種方法對(duì)微弱信號(hào)頻率檢測(cè)結(jié)果比較

5 討 論

對(duì)于Duffing 方程在以往混沌檢測(cè)信號(hào)方法中，Acos ωt 作為策動(dòng)力，然后外加待檢信號(hào)，此時(shí)，要求待檢信號(hào)的頻率與周期策動(dòng)力的頻率相同，最后，根據(jù)相軌跡的變化來(lái)測(cè)出待檢信號(hào)的幅值.在此過(guò)程中并沒(méi)有測(cè)量頻率;也有一些文獻(xiàn)專門利用Duffing 方程振子陣列進(jìn)行信號(hào)的頻率檢測(cè)，但所需振子陣列較多，采用78 個(gè)固有頻率以公比1.03 成等比數(shù)列的振子構(gòu)成陣列，w1=1，w2=1.03，…，wk=1.03wk-1，…，w78=9.738.若頻率在1 ～10 Hz 的被檢信號(hào)輸入到陣列中，就會(huì)在兩個(gè)相鄰的振子上發(fā)生穩(wěn)定的間歇混沌運(yùn)動(dòng)，由此檢測(cè)出信號(hào)的頻率.因而只有當(dāng)振子頻率增加到某一成分信號(hào)頻率附近時(shí)，才可以從時(shí)間圖像上清晰地觀測(cè)到陣發(fā)混沌現(xiàn)象.

應(yīng)用本文提出的微弱信號(hào)頻率檢測(cè)方法，對(duì)不同信噪比下的正弦周期信號(hào)進(jìn)行了大量的檢測(cè)仿真實(shí)驗(yàn).從仿真結(jié)果可以得到，本文提出的微弱信號(hào)檢測(cè)方法可以實(shí)現(xiàn)從強(qiáng)噪聲背景中檢測(cè)出待檢信號(hào)的頻率，不受頻差及策動(dòng)力的限制，待檢信號(hào)的頻率通過(guò)頻譜圖可以直觀準(zhǔn)確的被測(cè)出.

6 結(jié) 論

將比例微分控制方法引入到Rossler 混沌系統(tǒng)中，構(gòu)成一個(gè)帶有控制項(xiàng)的混合系統(tǒng).然后，將混有噪聲的待檢周期信號(hào)通過(guò)這個(gè)混合系統(tǒng)，調(diào)節(jié)控制項(xiàng)使混沌態(tài)轉(zhuǎn)變成周期態(tài).從信號(hào)處理領(lǐng)域來(lái)講，相當(dāng)于將噪聲濾掉，顯露出待檢周期信號(hào)，然后，再將混合系統(tǒng)輸出的信號(hào)通過(guò)頻譜分析，在頻譜圖中顯示幅值最大的所對(duì)應(yīng)的頻率就是待檢信號(hào)的頻率.此方法克服了Duffing 測(cè)量系統(tǒng)必須使用多個(gè)振子陣列的局限.實(shí)驗(yàn)仿真表明:本文提出的方法能夠檢測(cè)出深埋于強(qiáng)噪聲中的微弱正弦信號(hào)的頻率，且其檢測(cè)精度較Duffing 系統(tǒng)檢測(cè)方法更高，證明了該方法的有效性，其在理論上是可行的.

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