不定積分計算中“1”的妙用

黃燕平

（湖南科技學院 數(shù)學與計算科學系，湖南 永州 425100）

不定積分的計算常用的方法有：直接積分法、換元積分法和分部積分法，計算不定積分，一般都是根據(jù)被積函數(shù)的特點來選擇具體的方法?？墒牵覀冊诖罅坑嬎阒邪l(fā)現(xiàn)，有些不定積分不能直接運用以上幾種方法，而是要將被積函數(shù)適當變形以后才能計算，所以，我們有必要對被積函數(shù)的變形方法進行研究。當然，被積函數(shù)變形的方法和技巧有很多，本文主要探討的是在不定積分的計算中如何巧妙地運用“1”，將被積函數(shù)進行適當?shù)刈冃?，從而達到簡化積分的目的。

一、將“1”用sin 2 x +c os2x代替

三角函數(shù)的積分，計算非常靈活，在以上幾種基本方法的基礎上，還有一些其他方法，比如：配對積分法、分項積分法和萬能變換法等等。其中，運用萬能公式，通過三角變換總可以將一個三角函數(shù)有理式化為一個有理函數(shù)。因此，這就提供了一個求三角函數(shù)有理式積分的固定方法，但是我們知道，這種方法計算比較繁瑣。所以，對于某些特殊的三角函數(shù)的積分，我們可以采取將被積函數(shù)進行適當?shù)刈冃?，再選擇用基本方法來計算。下面我們探討的是將被積函數(shù)中的“1”用sin2x+co s2x 來代替，從而達到被積函數(shù)變形的目的。

二、分子加“1”減“1”

上面我們是通過將被積函數(shù)中的“1” 用sin2x+cos2x 來代替，從而將被積函數(shù)適當變形，達到便于積分的目的。下面，我們介紹的方法是根據(jù)被積函數(shù)的特點，在被積函數(shù)的分子上加“1”減“1”，然后將被積函數(shù)拆成幾項，再分別求積分。

在例題9中既用到了在被積函數(shù)的分子上加“1”減“1”的方法，又用了將“1” 用sin2x +c os2x來代替的方法。

三、將1適當拆分

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2]丁家泰.微積分解題方法[M].北京:北京師范大學出版社,1981.

[3]梁漢光.三角函數(shù)有理式積分[J].廣西民族大學學報2006（12）.

[4]薛秋.不定積分常用技巧初探[J].高教視野,2009,(1).