基于思維能力培養(yǎng)的微積分概念教學(xué)

周宇劍

（湖南科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 永州 425100）

0. 言

微積分作為描述和處理自然科學(xué)、工程技術(shù)中實(shí)際問題的最準(zhǔn)確、最簡潔的語言和最強(qiáng)有力的工具,對(duì)發(fā)展人們的邏輯思維能力、空間想象能力和創(chuàng)造能力起著重要的作用。它以清晰的條理性、嚴(yán)密的邏輯性、高度的抽象性等獨(dú)特的思維方式和表現(xiàn)形式引導(dǎo)人們?cè)跓o形中學(xué)會(huì)解決問題的思維方式、方法。微積分概念的大多數(shù)內(nèi)容融圖形、圖像、圖表、數(shù)學(xué)符號(hào)、文字語言于一體，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力極好的素材。微積分概念教學(xué)宜從以下幾方面入手培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

1.發(fā)矛盾轉(zhuǎn)化的思維，培養(yǎng)辯證邏輯思維能力

邏輯思維包括形式邏輯、數(shù)理邏輯、辯證邏輯。形式邏輯的進(jìn)一步發(fā)展即是數(shù)理邏輯和辯證邏輯。[1]形式邏輯采用的是自然語言，比較復(fù)雜難懂，不易被人們掌握。辯證邏輯則是用運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展的觀點(diǎn)去研究思維，研究概念、判斷、推理的自身矛盾運(yùn)動(dòng)和辯證思維的邏輯方法及辯證思維規(guī)律等。大學(xué)生在中學(xué)接觸的基本上是形式邏輯和簡單的數(shù)理邏輯，隨著年齡和閱歷的增長，他們更需要培養(yǎng)和發(fā)展辯證邏輯思維能力。

微積分概念中所蘊(yùn)涵的認(rèn)識(shí)問題、思考問題、解決問題的方式、方法具有普遍性，符合唯物主義認(rèn)識(shí)論的觀點(diǎn)。微積分中有許多充滿矛盾的對(duì)立概念如有限與無限、曲線與直線、微分與積分、連續(xù)與離散、無窮大與無窮小、收斂與發(fā)散等。這些矛盾卻又能辯證統(tǒng)一的概念促進(jìn)了微積分的發(fā)展與完善。教學(xué)中，要善于激發(fā)學(xué)生思考，積極進(jìn)行矛盾轉(zhuǎn)化的嘗試和實(shí)踐，促進(jìn)學(xué)生的辯證邏輯思維能力發(fā)展。

有限與無限是既有區(qū)別又有內(nèi)在聯(lián)系的兩個(gè)對(duì)立面，但它們也可以互相轉(zhuǎn)化。例如“1”是確定的有理數(shù)，但它可以用一個(gè)無窮數(shù)列的和：++??++???來表示；π是個(gè)無理數(shù)，但它又可以用系列有理數(shù)的代數(shù)和

一。最讓人振奮的是公式“ eiπ+ 1=0 ”的發(fā)現(xiàn)，它把兩個(gè)常用的無理數(shù)e與π、虛數(shù)單位i、萬物的起源數(shù)1成功通過簡單的運(yùn)算符號(hào)組合成最簡單的“0”，實(shí)現(xiàn)了有理數(shù)與無理數(shù)、實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的辯證統(tǒng)一。

極限理論因魏爾斯特拉斯的“ε?δ”語言而獲得邏輯嚴(yán)密性。“ε?δ”語言充滿著辯證思維，充分體現(xiàn)在用有限量來描述和刻畫無限過程，實(shí)現(xiàn)了有限與無限之間的矛盾轉(zhuǎn)化。

求曲邊梯形的面積的困難就是“曲”與“直”的矛盾，通過把整體的曲邊梯形面積分割為局部的小曲邊梯形面積之和，由函數(shù)的連續(xù)性，在小曲邊梯形上以直線段替代曲線段，從而把小曲邊梯形轉(zhuǎn)化為小矩形，用小矩形的面積近似替代小曲邊梯形的面積，再通過求小矩形的面積和的極限而求得曲邊梯形的面積。“劃分作近似，求和取極限”這種化整為零、積零為整的辯證方法體現(xiàn)了由曲到直的矛盾轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)了從局部到整體的轉(zhuǎn)化而解決了求任意曲面的面積、不規(guī)則立體的體積等實(shí)際問題，解決矛盾的思維既直觀又形象生動(dòng)。

又如，在積分中，為了能“湊”微分，dx的形式可以根據(jù)題目的需要而千變?nèi)f化：

這些矛盾的解決在于辯證邏輯思想的正確引導(dǎo)。由于微積分豐富的辯證思想不是顯現(xiàn)在其內(nèi)容的語言形式上，而是隱含在其概念命題和推理的整體過程中[2]。有時(shí)還被成串的邏輯形式掩蓋。因此，在教學(xué)中，教師要盡可能深入揭示事物內(nèi)部矛盾，挖掘辯證邏輯思想，并將其延伸到學(xué)生的學(xué)習(xí)、生活中的每一個(gè)方面。引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)品味微積分中解決問題的辯證思維過程及如何通過綜合、概括和飛躍式思維解決矛盾。長此以往，潛移默化，就能促進(jìn)學(xué)生的辯證邏輯思維水平的提高。

2.形結(jié)合，促進(jìn)形象思維能力的發(fā)展

形象思維是以頭腦中的表象作為材料，對(duì)表象進(jìn)行加工的思維過程[3]。它的特征是用形象材料來思維，形象材料最主要的特征是形象性、直觀性、具體性。數(shù)形結(jié)合是形象思維的常見形式，是憑借形和數(shù)，經(jīng)過思維形成概念，再由概念聯(lián)系形象，進(jìn)而指導(dǎo)推理、證明、運(yùn)算的一種思維形式[4]。微積分是描述運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)，蘊(yùn)含豐富的數(shù)形結(jié)合思想。微積分中的很多問題都體現(xiàn)了形象思維的常見形式——數(shù)形化歸。微積分中的概念、定理、法則一般都較抽象，學(xué)生較難理解。要讓學(xué)生真正聽懂并掌握抽象的微積分概念，離不開數(shù)形結(jié)合。因此，微積分教學(xué)要充分挖掘形象思維的素材，遵循形象思維的規(guī)律，給學(xué)生充分的思考、觀察空間，層層誘導(dǎo)，步步深入，逐步促進(jìn)形象思維的發(fā)展。美國微積分教學(xué)改革最具影響的是運(yùn)用“三原則”講解微積分基本概念。“三原則”是指:每一個(gè)概念以幾何、文字描述、代數(shù)形式呈現(xiàn)出來。后來“三原則”又發(fā)展為“四原則”,在原來的基礎(chǔ)上加上“寫作”,也就是讓學(xué)生用自己的語言來表述所學(xué)的定理或概念,從而加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解和認(rèn)識(shí)[5]。其中的1、3項(xiàng)正是我們平時(shí)強(qiáng)調(diào)的數(shù)形結(jié)合。

教學(xué)中應(yīng)重視有關(guān)概念、定理、法則所反映的幾何直觀意義與符號(hào)表示、文字或口頭表述互譯能力的培養(yǎng)，幫助學(xué)生把抽象的概念“翻譯”、“轉(zhuǎn)換”成學(xué)生能直接感知、想象或能親手畫出圖形的數(shù)學(xué)形象，借助于形象思維來實(shí)現(xiàn)對(duì)抽象概念、定理、法則的理解和記憶。促進(jìn)學(xué)生掌握相關(guān)概念、定理、法則。

鑒于數(shù)學(xué)抽象的層次性，可借助于概念的幾何意義或幾何背景來解釋和引入概念、定理及其推論、法則。如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、定積分、二重積分等概念的引入，可先從幾何背景入手，層層遞進(jìn)、誘導(dǎo)，逐步引入，讓學(xué)生在不知不覺中理解抽象的微積分概念及定理。

如積分上限函數(shù)的概念比較抽象、難懂，是學(xué)生學(xué)習(xí)上的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。教學(xué)中可由求系列定積分的值與具體圖形實(shí)例相結(jié)合來引入概念。

可由求以下3個(gè)定積分值入手：

然后通過定積分的幾何意義分析，逐步得到圖1：

圖1.

再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生理解：積分下限不變，每給定一個(gè)不同的積分上限值，就有唯一的一個(gè)三角形的面積值與之對(duì)應(yīng)。從而引出積分上限函數(shù) y=。通過圖像和定積分值的描述，學(xué)生很快就能理解積分上限函數(shù)的概念。

由于微積分的教學(xué)對(duì)象是非數(shù)學(xué)專業(yè)的理工科、經(jīng)濟(jì)、管理類學(xué)生，只要理解概念、性質(zhì)、定理并靈活運(yùn)用就足夠了，對(duì)于它們的證明則可稍作提示，不必花太多時(shí)間去證明。如利用幾何意義解釋定積分的各條性質(zhì)比給出枯燥的證明更易讓學(xué)生理解和接受。

圖2.

引導(dǎo)學(xué)生觀察圖2，理解該定積分的值表示x=a，x=b，x軸，函數(shù)f(x)=1圍成的矩形ABCD的面積值。而這個(gè)矩形的一邊長為1，另一邊長為b-a，所以，矩形的面積值為b-a，從而順利得出 ∫b1dx =b? a。a再比如通過對(duì)函數(shù)圖像的綜合認(rèn)識(shí)，學(xué)生積累了有關(guān)函數(shù)的形象，在此基礎(chǔ)上，一氣呵成的連貫曲線就是一元連續(xù)函數(shù)的形象，而二元連續(xù)函數(shù)的形象則是一張既沒有“洞”也沒有“裂縫”的曲面。

當(dāng)然，為了能生動(dòng)、形象地解析微積分概念、定理、法則，有時(shí)可使用多媒體課件，增加直觀的數(shù)學(xué)圖形、圖像、動(dòng)畫，不僅節(jié)約作圖時(shí)間，而且有利于學(xué)生對(duì)微積分相關(guān)知識(shí)的直觀理解。

3.重反例、反駁教學(xué)，促進(jìn)創(chuàng)造性思維能力的形成

美國數(shù)學(xué)家B.R.蓋爾鮑姆與J.M.H.奧姆斯特德在《分析中的反例》中指出：“數(shù)學(xué)由兩個(gè)大類——證明與反例組成，而數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)也是朝著兩個(gè)主要的目標(biāo)——提出證明和構(gòu)造反例進(jìn)行。”這說明反例反駁思維在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中具有重要意義。反例反駁思想和應(yīng)用的科學(xué)價(jià)值同時(shí)存在、不容忽視。一個(gè)問題能用一個(gè)簡單的反例來解決，它造成的深刻印象是令人興奮和備受鼓舞的。反例、反駁作為數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)證明、數(shù)學(xué)解題時(shí)的一種輔助和思維的工具，在數(shù)學(xué)教育方面的意義是值得挖掘和推廣的。微積分中最著名的反例就是德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯于1960年構(gòu)造的處處連續(xù)而又處處不可微的函數(shù)：

微積分概念教學(xué)中，運(yùn)用反例、反駁的例子很多。

如判斷正誤：

（1）無窮大量與無窮小量之積是無窮大量；

（2）無窮大量與有界量的積是無窮大量；

（3）函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)（ x0， y0）處有切線，y=f(x)在 x0處可導(dǎo)。

直接證明它們的正確與否比較麻煩，但我們采用舉反例的方法就簡便準(zhǔn)確得多。

如當(dāng)x→∞時(shí)，sinx是個(gè)有界量，但y =x s inx不是無窮大量，它的極限不存在，所以（2）的結(jié)論錯(cuò)誤。

又如平面區(qū)域D（ p0為D的一個(gè)聚點(diǎn)）中的點(diǎn)p以任何方式無限趨于 p0時(shí)，函數(shù)值都無限趨于某個(gè)固定的常數(shù)A，才稱A為二元函數(shù)f(p)當(dāng) p →p0時(shí)的極限。通過舉特殊方式的例子是不能判定二元函數(shù)在某點(diǎn) p0處的極限存在的，但通過反例卻可以判定函數(shù)的極限不存在。即通過p在D內(nèi)沿不同路徑趨于 p0時(shí)，f(p)趨于不同的值，則可判定函數(shù)的極限不存在。

反例、反駁教學(xué)既有助于學(xué)生深入理解有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，又有助于學(xué)生思維的批判性、嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性的發(fā)展，促進(jìn)其創(chuàng)造性思維水平的提高。要舉出不同層次的數(shù)學(xué)對(duì)象的反例需要一定的甚至很高的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。尋求反例的過程既需要數(shù)學(xué)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的積累，還要充分發(fā)揮觀察與比較、聯(lián)想與猜想、邏輯與直覺、逆推、反設(shè)、反證及歸納、演繹、計(jì)算、構(gòu)造等一系列辯證的互補(bǔ)的思想方法與技巧。同樣一個(gè)問題或習(xí)題在不同水平的教師或?qū)W生手中，具有明顯的思維方式與思維深度挖掘的差異。所以，教學(xué)中要善于捕捉機(jī)會(huì)，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生舉出反例反駁相關(guān)論點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展。

4.重負(fù)遷移影響，促進(jìn)抽象思維的順利發(fā)展

微積分概念中有許多可以通過對(duì)概念的正遷移而讓學(xué)生理解和運(yùn)用，但也有些概念卻不能通過正遷移來實(shí)現(xiàn)。教學(xué)中要特別重視和強(qiáng)調(diào)，不然，學(xué)生按常規(guī)遷移思維，就會(huì)導(dǎo)致對(duì)概念公式的錯(cuò)誤理解和運(yùn)用。

研究對(duì)象由一元函數(shù)增到二元或多元函數(shù)時(shí)，由于函數(shù)自變量個(gè)數(shù)增加，這種量變就會(huì)引起局部的質(zhì)變，使得二元或多元函數(shù)的許多性質(zhì)與一元函數(shù)有著本質(zhì)的區(qū)別。如一元函數(shù)在某點(diǎn)的可微性與可導(dǎo)性是等價(jià)的，一元函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)必連續(xù)；但二元或多元函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)即使都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)和可微。二元或多元函數(shù)在某點(diǎn)可微，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)，且它的偏導(dǎo)數(shù)都存在；一階微分具有微分形式不變性，而高階微分卻不再具有微分形式不變性；在極限均存在的情況下，和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商（分母的極限不為零）。而函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)（可微）時(shí)，和、差的導(dǎo)數(shù)（微分）等于導(dǎo)數(shù)（微分）的和、差，但積、商的導(dǎo)數(shù)（微分）就不等于導(dǎo)數(shù)（微分）的積、商了。

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