導數(shù)在初等數(shù)學中的應用

◆汪 圭

(甘肅省會寧縣高級職業(yè)中學)

導數(shù)在初等數(shù)學中的應用

◆汪 圭

(甘肅省會寧縣高級職業(yè)中學)

導數(shù)是微積分的一部分,是微積分中的一個重要概念,是以極限為基礎的。在初等數(shù)學中給出了極限、導數(shù)的概念和一些相關的結論,但并沒有用系統(tǒng)的理論知識推導及證明。但導數(shù)在初等數(shù)學中確實處于一中特殊的地位,也可以說是一種解決某些問題的重要工具。本文就是利用導數(shù)的基本知識來解決初等數(shù)學中不等式證明方面的幾個問題。

導數(shù) 函數(shù) 不等式 初等數(shù)學 應用

許多人認為,大學學習的數(shù)學分析對今后我們的從教無任何幫助,而事實上數(shù)學分析中的觀點思想可以加深對中學數(shù)學課本中概念的理解,可以提高教師自身水平。在微積分這一章中,可以透徹地學習導數(shù)的由來、概念、幾何意義。導數(shù)在初等數(shù)學里內容雖然不多,但應用廣泛,涉及到了函數(shù)方面、不等式證明方面、恒等式證明方面、數(shù)列方面等實際問題中的應用。下面就主要探討一下導數(shù)在初等數(shù)學不等式證明方面具體的一些應用。

利用導數(shù)證明不等式,就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系,將不等式的部分或者全部投射到函數(shù)上。直接或等價變形后,結合不等式的結構特征,構造相應的函數(shù)。通過導數(shù)運算判斷出函數(shù)的單調性或利用導數(shù)運算來求出函數(shù)的最值,將不等式的證明轉化為函數(shù)問題。即轉化為比較函數(shù)值的大小,或者函數(shù)值在給定的區(qū)間上恒成立等。

一、求解不等式

在中學里我們學習了不等式的解法,在求解的過程中有的計算起來比較麻煩,不容易求解。但如果我們從函數(shù)的思想出發(fā),將不等式問題轉化成函數(shù)問題,進一步利用導數(shù)來求解,問題將大大簡化。

二、證明不等式

在中學里學習的不等式證明方法有換元法、分析法、歸納法等基本方法。但對于部分不等式的證明,從函數(shù)的角度出發(fā),通過研究其函數(shù)值的大小或其導函數(shù)值的大小將不等式轉化成函數(shù)問題進行證明。

三、求解不等式中參數(shù)的范圍

總之,導數(shù)在初等數(shù)學中確實處于一種特殊的地位,也可以說是一種解決某些問題的重要工具。

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M](上).北京:高等教育出版社.

[2]耿玉明.導函數(shù)法求解與證明不等式例說[J].中學數(shù)學研究.

[3]高群安.運用導數(shù)巧解題[J].中學數(shù)學,2005,(4):22-23.

[4]秦學鋒.微積分在數(shù)列求和中的應用[J].數(shù)學通報,2001,(2):36.

[5]阮體旺.數(shù)學方法論.高等教育出版社,1994,1.

[6]魯又文.數(shù)學古今談.天津科學技術出版社,1984,9.

[7]林婷.研究性學習在高中數(shù)學課堂教學中的實踐與思考[J].2004.

[8]陶理民.對探究式數(shù)學的理解與實踐[J].數(shù)學通報,2004,(9).