中職數學教學中“數學建模”思想的滲透

王炳炳

（寧波市鄞州區古林職業高級中學 浙江 寧波 315177）

中職數學教學中“數學建模”思想的滲透

王炳炳

（寧波市鄞州區古林職業高級中學 浙江 寧波 315177）

在中職數學教學新大綱實施的背景下，通過敘述數學建模的概念、步驟和意義，并結合實踐闡述了中職數學建模教學的主要內容以及實施建模教學的各種模式,最后提出了幾點可行性建議。

中職；數學教學；“數學建模”思想

2009年教育部新頒布的 《中等職業學校數學教學大綱》中明確提出要“使學生進一步學習并掌握生活中所必要的數學基礎知識”，要求“能對工作和生活中的簡單數學相關問題，做出分析并運用適當的數學方法予以解決，針對不同的問題，會選擇合適的模型”。這就說明中職數學教學要突出學生所學的專業特色，貼近學生生活實際，體現“以應用為目的，必要必需為度”的原則。

隨著科學技術的迅速發展，“數學建模”這個詞匯越來越多地出現在現代人的生產、工作和社會活動中。在數學新課改的形勢下，為了使學生畢業后盡快地適應工作崗位，能夠較好地解決各種實際問題，在中職數學教學中滲透“數學建模”思想，開展數學建模活動，對學生解決實際問題能力的提高發揮著重要的作用，也是數學教學改革推進素質教育的一個突破口。

數學建模教學的基本認識

數學建模概念的界定 英國數學家懷特海（A.N. Whiiehead，186~1947）曾說:“數學的本質特征就是在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究。”將人們在現實世界里所關心、研究或從事生產、管理的實際對象稱為原型，模型是指為了某種特定目的將原型的某一部分信息簡化、壓縮、提煉而成的原型替代物。模型不是原型原封不動的復制品，只是反映了原型中與某種目的相關的特征。一般地說，數學模型可以描述為：對于現實世界的一個特定現象，為了一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。數學中的各種概念、公式、方程(組)、定理、法則、算法及理論體系等都是現實世界的數學模型。所謂數學建模，就是建模數學模型的全過程。

圖1 數學建模的全過程圖

數學建模的一般步驟 建模要經過哪些步驟并沒有一定的模式，通常與問題性質、建模目的等有關。中職數學教學中，根據學生的認知規律，要使學生初步學會建立數學模型，提高學生應用數學知識解決實際問題的能力，可以將數學建模的一般過程分為現實對象的表述，數學模型求解，模型解釋，模型驗證四個步驟。這四個步驟實際上是完成從現實對象到數學模型，再從數學模型回到現實對象的循環，如圖1所示。在圖1中，表述是指根據數學建模的目的和所具備的數據、圖表、過程等各種信息，將現實問題“翻譯”成抽象的數學問題，并用數學語言將其準確地表述出來，屬于歸納法。求解是指利用已有的數學知識，選擇適當的數學方法和數學解題策略，求出數學模型的解答，屬于演繹法。解釋是指把用數學語言表述的解答 “翻譯”轉化到現實對象，給出分析、預報、決策或者控制等實際問題的結果。驗證是指用現實對象的各種信息，檢驗所得到的實際問題的解答，以確認解答的正確性、精確度以及數學模型的準確性。圖1直觀地揭示了現實對象與數學模型之間的關系，即數學模型是將現實對象的信息加以歸納、抽象的產物。數學模型來源于現實、又超越現實，它用精確的數學語言揭示了現實問題的內在特性。數學模型經過求解，得到數學形式的解答，再經過一次轉化回到現實問題，給出現實問題的決策、預報、分析等結果，最后這些結果還要經受實踐的檢驗，完成 “實踐——理論——實踐”這樣一個循環的過程。如果檢驗結果基本正確或者與實際情況的擬合度非常高，就可以用來指導實踐，反之則應重復上述過程，重新建立模型或者修正模型。

數學建模的意義 愛因斯坦有句名言:“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力包括世界的一切，推動著進步，并且是知識的源泉。”這句話可以作為在中職數學教學中開展數學建模活動的指導思想。對于中職數學教學而言，數學建模有著以下重要的意義：（1）中職階段是學生學知識、強技能的黃金階段，也是世界觀和思維方式形成的關鍵時期，培養學生的創新精神與實踐能力是中職教育的重要內容，數學建模在這方面有著得天獨厚的優勢。（2）有利于改革傳統的教育模式，隨著全國中等職業教育公共基礎課新一輪的課程改革，數學教學要重視學生生活實際和社會實踐，而數學建模是很好的載體和切入點。它有利于激發學生的興趣，使學生在生動活潑的學習實踐中增長智慧與才干，由被動接受知識轉變為課堂的主體。（3）數學建模教學能較好地為專業課服務，增強學生的專業技能。由于數學模型來源于實際生產和生活，把數學知識與專業知識結合起來，合理補充和加強與專業課相關的應用性教學內容，可使學生學會以專業的角度看數學，從而形成良好的思維品質，造就新一代具有探索新知識、新方法的能力應用型人才。

數學建模教學的實施

中職學校數學建模教學的主要內容 隨著教育部關于中職學校新數學教學大綱的頒布，教師根據新要求及學校開設專業課的主要內容，結合社會經濟發展的要求，在數學教學中可從以下幾類模型有目的地選擇相關內容開展教學活動：（1）幾何類模型：測量、繪圖、計算。（2）經濟計算類模型：終值、利息、分期付款，經濟圖表的識別、分析、繪制，折扣、利潤、成本等問題。（3）數據處理類模型：預測、線性回歸、曲線擬合等問題。（4）專業知識類模型：數學規劃、勞動力利用、工期效益、合理施肥、最優化等問題。（5）概率統計模型：彩票與中獎、市場統計、評估預測、風險決策等問題。（6）邊緣學科模型：來自理、化、生、地、編程等方面的問題。基于對中職數學教學內容中以上幾類數學模型的歸納，結合新大綱三大模塊的具體要求，可總結出在新課程下的中職學校數學建模實踐課教學計劃表，如表1所示。

表1 中職學校數學建模實踐課教學計劃表

數學建模教學模式的開展 在日常教學中要從多方位、多角度著手培養學生數學建模意識，注重學生的認知水平，對教學內容進行科學加工、處理和再創造，引導學生在“學中用，用中學”，體驗數學建模的過程，提高解決實際問題的能力。

1.聯系實際解答，有意識地滲透建模思想。

模型分析：如此純數學問題，我們增加生活背景，用生活經驗證明此不等式：將a克的白糖加水配成b克的糖水溶液（b＞ a＞0），其濃度為，若在此糖水中再加入m克的白糖（m＞0），待全部溶解后其濃度為，顯然加糖后溶液濃度增大，即原不等式成立。

如此解答既活躍了課堂氣氛，又引入了數學模型，這就是數學建模的逆向應用，將原來枯燥的數學式子生活化，激發學生學習數學的同時和學生的距離也拉近了。

2.聯系生活中的數學問題，強化建模意識。

例2：小明準備購置一套新房，需要向銀行貸款8萬元，經咨詢得知銀行貸款月利為0.01且是復利，貸款期為25年。小明每月穩定可有950元的結余，如果他準備按月償還貸款，是否具有償還能力?

模型分析:從貸款增值看，25年即300個月增值到8（1＋0.01）300萬元

從每月付款增值看，設每個月還款x萬元。

第1個月末付款x萬元，再過299個月到貸款付清時，則付款增值到x（1＋0.01）299萬元;

第2個月末付款x萬元，再過298個月到貸款付清時，則付款增值到x（1＋0.01）298萬元;

……

第299個月末付款x萬元，再過1個月到貸款付清時，則付款增值到x（1＋0.01）萬元;

第300個月末付款x萬元，由于全部付清，這一期付款沒有利息，仍然為x萬元。

尋求貸款增值與每年付款增值之間的關系:根據與銀行的合同約定，300個月后，貸款及利息總和=還款及利息總和，則有

所以小明有能力購房。

現在購房分期付款的問題很普遍，在不少學生的家里還會碰到，對這類問題學生都很感興趣，也覺得很有用。在學完數列的有關知識后，設計了此類問題。深入挖掘，發現可以建立如下的數學模型。

一般地，采用等額分期付款的方式貸款元，期將款全部付清，每期利率為，每期還款元，則有以下公式：

生活是數學問題的源泉之一，只要結合數學課程內容，適時引導學生考慮生活中的數學，會加深學生對數學知識的理解和運用，會增強學生應用數學的信心，有助于學生獲得必要的應用技能。

3.結合專業課中的數學問題，介紹建模方法。

線性規劃初步是新大綱職業模塊中的內容，而《營養學》是幼師專業的一門專業基礎課，在該課程中常碰到維生素的攝入問題，即可設計如下的數學模型。

例3：某人需要補充維生素，現有甲、乙兩種維生素膠囊，這兩種膠囊都含有維生素A、C、D、E和最新發現的Z。甲種膠囊每粒含維生素A、C、D、E、Z分別為1mg、1mg、4mg、4mg、5mg，乙種膠囊每粒含維生素 A、C、D、E、Z分別為 3mg、2mg、1mg、3mg、2mg。如果此人每天攝入維生素A至多19mg，維生素C至多13mg，維生素D至多24mg，維生素E至少12mg，那么他每天應服用兩種維生素膠囊各多少粒才能滿足維生素的需求量，并能得到最大量的維生素Z?

模型分析：當實際問題的數量關系為等量關系，可設元將等量關系轉化為方程（組），建立方程模型;當涉及的數量關系為不等量關系時，可將其轉化為不等式（組），建立不等式模型，再通過解方程和不等式（組），求得問題的解。

結合學生專業課的數學背景，切實讓學生感受數學的力量，可以激發興趣，提高學生對數學重要性的認識，促進學生對專業課的學習。

4.設計實踐活動，培養建模能力。

利用課外時間開展實踐活動，把它作為建模教學中不可分割的部分。例如應用二次函數求最值時，可讓學生做個試驗，每2人一組，合作進行。

例4：現有40cm長細鐵絲一根，請大家做一個長方形模型，量一量長和寬并計算模型的面積，比一比誰的長方形面積大?猜一猜何時長方形面積最大?證明為什么此時面積最大?操作可反復嘗試，將測量結果填入表2。

模型分析:學生討論激烈，發現長、寬愈接近，面積愈大，直至長=寬=10cm，面積100cm2為最大面積。

設長方形長為x cm，則寬為（20－x）cm，得面積y=（20－x），建立二次函數模型：

根據解析式配方得y=－（x－10）2＋100，0＜x＜20，

x越接近10y越大且x=10cm時，ymax=100cm2。

本題充分考慮了中職學生的已有知識水平和能力，起點低，但是能發動學生全員參與，強調合作學習的意識，讓學生在實踐過程中學習和討論數學，從中引導學生探尋數學模型。

關于中職數學建模教學的幾點建議

全國很多大城市都在全面推廣數學建模教學活動，但多數在普高推廣，而中職學校只有極少數的教師在教學過程中進行零散的探索，缺乏組織性和系統性，中職的數學建模教學是較為落后的。因此，在全國中等職業學校數學課程改革的背景下，提出如下建議：（1）培養學生的數學建模能力，首先要求教師本身具有數學建模能力，否則無法組織學生的數學建模活動。因此，應該對中職數學教師進行數學建模培訓，幫助他們樹立數學建模意識、掌握數學建模知識、方法和教學形式，使他們能夠最大限度地利用學校資源開展數學建模活動。（2）定期舉辦“中等職業學校數學知識應用競賽”，把數學建模與專業課聯系起來，以促進數學建模教學的發展，更好地為專業課服務。（3）在各類教育教學刊物上開辟“數學建模欄目”，征集優秀的數學建模活動方案，為廣大師生開展數學建模活動提供展示成果的空間，同時也為開展數學建模活動提供可行的范例。

表2 測量長方形模型面積數據統計表

向“問題”靠攏，朝“實際”貼近，讓學生學習解決問題的方法，這是數學建模的宗旨。數學建模教學要引導學生主動參與，結合學生的生活經驗，激發其學習的興趣，增強建模意識，體驗建模的過程，使學生學到有用的數學。

[1]教育部.中等職業學校語文等七門公共基礎課程教學大綱匯編[M].北京:高等教育出版社，2009.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型(第3版)[M].北京:高等教育出版社，2003.

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G712

A

1672-5727（2010）06-0103-03

王炳炳(1984—)，男，浙江寧波人，寧波市鄞州區古林職業高級中學教師，中學二級教師，主要從事中等數學和數學建模研究。