中職數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)學(xué)建模”思想的滲透

王炳炳

（寧波市鄞州區(qū)古林職業(yè)高級(jí)中學(xué) 浙江 寧波 315177）

中職數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)學(xué)建模”思想的滲透

王炳炳

（寧波市鄞州區(qū)古林職業(yè)高級(jí)中學(xué) 浙江 寧波 315177）

在中職數(shù)學(xué)教學(xué)新大綱實(shí)施的背景下，通過(guò)敘述數(shù)學(xué)建模的概念、步驟和意義，并結(jié)合實(shí)踐闡述了中職數(shù)學(xué)建模教學(xué)的主要內(nèi)容以及實(shí)施建模教學(xué)的各種模式,最后提出了幾點(diǎn)可行性建議。

中職；數(shù)學(xué)教學(xué)；“數(shù)學(xué)建模”思想

2009年教育部新頒布的 《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中明確提出要“使學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)并掌握生活中所必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)”，要求“能對(duì)工作和生活中的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題，做出分析并運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法予以解決，針對(duì)不同的問(wèn)題，會(huì)選擇合適的模型”。這就說(shuō)明中職數(shù)學(xué)教學(xué)要突出學(xué)生所學(xué)的專業(yè)特色，貼近學(xué)生生活實(shí)際，體現(xiàn)“以應(yīng)用為目的，必要必需為度”的原則。

隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，“數(shù)學(xué)建模”這個(gè)詞匯越來(lái)越多地出現(xiàn)在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會(huì)活動(dòng)中。在數(shù)學(xué)新課改的形勢(shì)下，為了使學(xué)生畢業(yè)后盡快地適應(yīng)工作崗位，能夠較好地解決各種實(shí)際問(wèn)題，在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“數(shù)學(xué)建模”思想，開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，對(duì)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題能力的提高發(fā)揮著重要的作用，也是數(shù)學(xué)教學(xué)改革推進(jìn)素質(zhì)教育的一個(gè)突破口。

數(shù)學(xué)建模教學(xué)的基本認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)建模概念的界定 英國(guó)數(shù)學(xué)家懷特海（A.N. Whiiehead，186~1947）曾說(shuō):“數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是在從模式化的個(gè)體作抽象的過(guò)程中對(duì)模式進(jìn)行研究。”將人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界里所關(guān)心、研究或從事生產(chǎn)、管理的實(shí)際對(duì)象稱為原型，模型是指為了某種特定目的將原型的某一部分信息簡(jiǎn)化、壓縮、提煉而成的原型替代物。模型不是原型原封不動(dòng)的復(fù)制品，只是反映了原型中與某種目的相關(guān)的特征。一般地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型可以描述為：對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定現(xiàn)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)中的各種概念、公式、方程(組)、定理、法則、算法及理論體系等都是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型。所謂數(shù)學(xué)建模，就是建模數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程。

圖1 數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程圖

數(shù)學(xué)建模的一般步驟 建模要經(jīng)過(guò)哪些步驟并沒(méi)有一定的模式，通常與問(wèn)題性質(zhì)、建模目的等有關(guān)。中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，要使學(xué)生初步學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，可以將數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程分為現(xiàn)實(shí)對(duì)象的表述，數(shù)學(xué)模型求解，模型解釋，模型驗(yàn)證四個(gè)步驟。這四個(gè)步驟實(shí)際上是完成從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型，再?gòu)臄?shù)學(xué)模型回到現(xiàn)實(shí)對(duì)象的循環(huán)，如圖1所示。在圖1中，表述是指根據(jù)數(shù)學(xué)建模的目的和所具備的數(shù)據(jù)、圖表、過(guò)程等各種信息，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題“翻譯”成抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將其準(zhǔn)確地表述出來(lái)，屬于歸納法。求解是指利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)解題策略，求出數(shù)學(xué)模型的解答，屬于演繹法。解釋是指把用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答 “翻譯”轉(zhuǎn)化到現(xiàn)實(shí)對(duì)象，給出分析、預(yù)報(bào)、決策或者控制等實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果。驗(yàn)證是指用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的各種信息，檢驗(yàn)所得到的實(shí)際問(wèn)題的解答，以確認(rèn)解答的正確性、精確度以及數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。圖1直觀地揭示了現(xiàn)實(shí)對(duì)象與數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系，即數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息加以歸納、抽象的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)模型來(lái)源于現(xiàn)實(shí)、又超越現(xiàn)實(shí)，它用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言揭示了現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的內(nèi)在特性。數(shù)學(xué)模型經(jīng)過(guò)求解，得到數(shù)學(xué)形式的解答，再經(jīng)過(guò)一次轉(zhuǎn)化回到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，給出現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的決策、預(yù)報(bào)、分析等結(jié)果，最后這些結(jié)果還要經(jīng)受實(shí)踐的檢驗(yàn)，完成 “實(shí)踐——理論——實(shí)踐”這樣一個(gè)循環(huán)的過(guò)程。如果檢驗(yàn)結(jié)果基本正確或者與實(shí)際情況的擬合度非常高，就可以用來(lái)指導(dǎo)實(shí)踐，反之則應(yīng)重復(fù)上述過(guò)程，重新建立模型或者修正模型。

數(shù)學(xué)建模的意義 愛(ài)因斯坦有句名言:“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力包括世界的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)的源泉。”這句話可以作為在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的指導(dǎo)思想。對(duì)于中職數(shù)學(xué)教學(xué)而言，數(shù)學(xué)建模有著以下重要的意義：（1）中職階段是學(xué)生學(xué)知識(shí)、強(qiáng)技能的黃金階段，也是世界觀和思維方式形成的關(guān)鍵時(shí)期，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力是中職教育的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)建模在這方面有著得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)。（2）有利于改革傳統(tǒng)的教育模式，隨著全國(guó)中等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課新一輪的課程改革，數(shù)學(xué)教學(xué)要重視學(xué)生生活實(shí)際和社會(huì)實(shí)踐，而數(shù)學(xué)建模是很好的載體和切入點(diǎn)。它有利于激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生在生動(dòng)活潑的學(xué)習(xí)實(shí)踐中增長(zhǎng)智慧與才干，由被動(dòng)接受知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)檎n堂的主體。（3）數(shù)學(xué)建模教學(xué)能較好地為專業(yè)課服務(wù)，增強(qiáng)學(xué)生的專業(yè)技能。由于數(shù)學(xué)模型來(lái)源于實(shí)際生產(chǎn)和生活，把數(shù)學(xué)知識(shí)與專業(yè)知識(shí)結(jié)合起來(lái)，合理補(bǔ)充和加強(qiáng)與專業(yè)課相關(guān)的應(yīng)用性教學(xué)內(nèi)容，可使學(xué)生學(xué)會(huì)以專業(yè)的角度看數(shù)學(xué)，從而形成良好的思維品質(zhì)，造就新一代具有探索新知識(shí)、新方法的能力應(yīng)用型人才。

數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)施

中職學(xué)校數(shù)學(xué)建模教學(xué)的主要內(nèi)容 隨著教育部關(guān)于中職學(xué)校新數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的頒布，教師根據(jù)新要求及學(xué)校開設(shè)專業(yè)課的主要內(nèi)容，結(jié)合社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的要求，在數(shù)學(xué)教學(xué)中可從以下幾類模型有目的地選擇相關(guān)內(nèi)容開展教學(xué)活動(dòng)：（1）幾何類模型：測(cè)量、繪圖、計(jì)算。（2）經(jīng)濟(jì)計(jì)算類模型：終值、利息、分期付款，經(jīng)濟(jì)圖表的識(shí)別、分析、繪制，折扣、利潤(rùn)、成本等問(wèn)題。（3）數(shù)據(jù)處理類模型：預(yù)測(cè)、線性回歸、曲線擬合等問(wèn)題。（4）專業(yè)知識(shí)類模型：數(shù)學(xué)規(guī)劃、勞動(dòng)力利用、工期效益、合理施肥、最優(yōu)化等問(wèn)題。（5）概率統(tǒng)計(jì)模型：彩票與中獎(jiǎng)、市場(chǎng)統(tǒng)計(jì)、評(píng)估預(yù)測(cè)、風(fēng)險(xiǎn)決策等問(wèn)題。（6）邊緣學(xué)科模型：來(lái)自理、化、生、地、編程等方面的問(wèn)題。基于對(duì)中職數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中以上幾類數(shù)學(xué)模型的歸納，結(jié)合新大綱三大模塊的具體要求，可總結(jié)出在新課程下的中職學(xué)校數(shù)學(xué)建模實(shí)踐課教學(xué)計(jì)劃表，如表1所示。

表1 中職學(xué)校數(shù)學(xué)建模實(shí)踐課教學(xué)計(jì)劃表

數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式的開展 在日常教學(xué)中要從多方位、多角度著手培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)，注重學(xué)生的認(rèn)知水平，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行科學(xué)加工、處理和再創(chuàng)造，引導(dǎo)學(xué)生在“學(xué)中用，用中學(xué)”，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

1.聯(lián)系實(shí)際解答，有意識(shí)地滲透建模思想。

模型分析：如此純數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們?cè)黾由畋尘埃蒙罱?jīng)驗(yàn)證明此不等式：將a克的白糖加水配成b克的糖水溶液（b＞ a＞0），其濃度為，若在此糖水中再加入m克的白糖（m＞0），待全部溶解后其濃度為，顯然加糖后溶液濃度增大，即原不等式成立。

如此解答既活躍了課堂氣氛，又引入了數(shù)學(xué)模型，這就是數(shù)學(xué)建模的逆向應(yīng)用，將原來(lái)枯燥的數(shù)學(xué)式子生活化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)和學(xué)生的距離也拉近了。

2.聯(lián)系生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，強(qiáng)化建模意識(shí)。

例2：小明準(zhǔn)備購(gòu)置一套新房，需要向銀行貸款8萬(wàn)元，經(jīng)咨詢得知銀行貸款月利為0.01且是復(fù)利，貸款期為25年。小明每月穩(wěn)定可有950元的結(jié)余，如果他準(zhǔn)備按月償還貸款，是否具有償還能力?

模型分析:從貸款增值看，25年即300個(gè)月增值到8（1＋0.01）300萬(wàn)元

從每月付款增值看，設(shè)每個(gè)月還款x萬(wàn)元。

第1個(gè)月末付款x萬(wàn)元，再過(guò)299個(gè)月到貸款付清時(shí)，則付款增值到x（1＋0.01）299萬(wàn)元;

第2個(gè)月末付款x萬(wàn)元，再過(guò)298個(gè)月到貸款付清時(shí)，則付款增值到x（1＋0.01）298萬(wàn)元;

……

第299個(gè)月末付款x萬(wàn)元，再過(guò)1個(gè)月到貸款付清時(shí)，則付款增值到x（1＋0.01）萬(wàn)元;

第300個(gè)月末付款x萬(wàn)元，由于全部付清，這一期付款沒(méi)有利息，仍然為x萬(wàn)元。

尋求貸款增值與每年付款增值之間的關(guān)系:根據(jù)與銀行的合同約定，300個(gè)月后，貸款及利息總和=還款及利息總和，則有

所以小明有能力購(gòu)房。

現(xiàn)在購(gòu)房分期付款的問(wèn)題很普遍，在不少學(xué)生的家里還會(huì)碰到，對(duì)這類問(wèn)題學(xué)生都很感興趣，也覺(jué)得很有用。在學(xué)完數(shù)列的有關(guān)知識(shí)后，設(shè)計(jì)了此類問(wèn)題。深入挖掘，發(fā)現(xiàn)可以建立如下的數(shù)學(xué)模型。

一般地，采用等額分期付款的方式貸款元，期將款全部付清，每期利率為，每期還款元，則有以下公式：

生活是數(shù)學(xué)問(wèn)題的源泉之一，只要結(jié)合數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生考慮生活中的數(shù)學(xué)，會(huì)加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用，會(huì)增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，有助于學(xué)生獲得必要的應(yīng)用技能。

3.結(jié)合專業(yè)課中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，介紹建模方法。

線性規(guī)劃初步是新大綱職業(yè)模塊中的內(nèi)容，而《營(yíng)養(yǎng)學(xué)》是幼師專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，在該課程中常碰到維生素的攝入問(wèn)題，即可設(shè)計(jì)如下的數(shù)學(xué)模型。

例3：某人需要補(bǔ)充維生素，現(xiàn)有甲、乙兩種維生素膠囊，這兩種膠囊都含有維生素A、C、D、E和最新發(fā)現(xiàn)的Z。甲種膠囊每粒含維生素A、C、D、E、Z分別為1mg、1mg、4mg、4mg、5mg，乙種膠囊每粒含維生素 A、C、D、E、Z分別為 3mg、2mg、1mg、3mg、2mg。如果此人每天攝入維生素A至多19mg，維生素C至多13mg，維生素D至多24mg，維生素E至少12mg，那么他每天應(yīng)服用兩種維生素膠囊各多少粒才能滿足維生素的需求量，并能得到最大量的維生素Z?

模型分析：當(dāng)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系為等量關(guān)系，可設(shè)元將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組），建立方程模型;當(dāng)涉及的數(shù)量關(guān)系為不等量關(guān)系時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為不等式（組），建立不等式模型，再通過(guò)解方程和不等式（組），求得問(wèn)題的解。

結(jié)合學(xué)生專業(yè)課的數(shù)學(xué)背景，切實(shí)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的力量，可以激發(fā)興趣，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)重要性的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)專業(yè)課的學(xué)習(xí)。

4.設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)建模能力。

利用課外時(shí)間開展實(shí)踐活動(dòng)，把它作為建模教學(xué)中不可分割的部分。例如應(yīng)用二次函數(shù)求最值時(shí)，可讓學(xué)生做個(gè)試驗(yàn)，每2人一組，合作進(jìn)行。

例4：現(xiàn)有40cm長(zhǎng)細(xì)鐵絲一根，請(qǐng)大家做一個(gè)長(zhǎng)方形模型，量一量長(zhǎng)和寬并計(jì)算模型的面積，比一比誰(shuí)的長(zhǎng)方形面積大?猜一猜何時(shí)長(zhǎng)方形面積最大?證明為什么此時(shí)面積最大?操作可反復(fù)嘗試，將測(cè)量結(jié)果填入表2。

模型分析:學(xué)生討論激烈，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)、寬愈接近，面積愈大，直至長(zhǎng)=寬=10cm，面積100cm2為最大面積。

設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)為x cm，則寬為（20－x）cm，得面積y=（20－x），建立二次函數(shù)模型：

根據(jù)解析式配方得y=－（x－10）2＋100，0＜x＜20，

x越接近10y越大且x=10cm時(shí)，ymax=100cm2。

本題充分考慮了中職學(xué)生的已有知識(shí)水平和能力，起點(diǎn)低，但是能發(fā)動(dòng)學(xué)生全員參與，強(qiáng)調(diào)合作學(xué)習(xí)的意識(shí)，讓學(xué)生在實(shí)踐過(guò)程中學(xué)習(xí)和討論數(shù)學(xué)，從中引導(dǎo)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)模型。

關(guān)于中職數(shù)學(xué)建模教學(xué)的幾點(diǎn)建議

全國(guó)很多大城市都在全面推廣數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)，但多數(shù)在普高推廣，而中職學(xué)校只有極少數(shù)的教師在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行零散的探索，缺乏組織性和系統(tǒng)性，中職的數(shù)學(xué)建模教學(xué)是較為落后的。因此，在全國(guó)中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程改革的背景下，提出如下建議：（1）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，首先要求教師本身具有數(shù)學(xué)建模能力，否則無(wú)法組織學(xué)生的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)。因此，應(yīng)該對(duì)中職數(shù)學(xué)教師進(jìn)行數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)，幫助他們樹立數(shù)學(xué)建模意識(shí)、掌握數(shù)學(xué)建模知識(shí)、方法和教學(xué)形式，使他們能夠最大限度地利用學(xué)校資源開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)。（2）定期舉辦“中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽”，把數(shù)學(xué)建模與專業(yè)課聯(lián)系起來(lái)，以促進(jìn)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的發(fā)展，更好地為專業(yè)課服務(wù)。（3）在各類教育教學(xué)刊物上開辟“數(shù)學(xué)建模欄目”，征集優(yōu)秀的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)方案，為廣大師生開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)提供展示成果的空間，同時(shí)也為開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)提供可行的范例。

表2 測(cè)量長(zhǎng)方形模型面積數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表

向“問(wèn)題”靠攏，朝“實(shí)際”貼近，讓學(xué)生學(xué)習(xí)解決問(wèn)題的方法，這是數(shù)學(xué)建模的宗旨。數(shù)學(xué)建模教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)其學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)建模意識(shí)，體驗(yàn)建模的過(guò)程，使學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué)。

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G712

A

1672-5727（2010）06-0103-03

王炳炳(1984—)，男，浙江寧波人，寧波市鄞州區(qū)古林職業(yè)高級(jí)中學(xué)教師，中學(xué)二級(jí)教師，主要從事中等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模研究。