二階非線性m 點脈沖微分方程組的正解*

薛妮娜,孫艷梅

(濰坊學院,山東 濰坊 261061)

二階非線性m 點脈沖微分方程組的正解*

薛妮娜,孫艷梅

(濰坊學院,山東 濰坊 261061)

利用錐上的不動點定理討論了二階非線性m點脈沖微分方程組(1)的解,得到了解的存在性定理。

不動點定理;正解;全連續

0 引言

考慮下列二階m點帶有脈沖項的方程組

其中J=[0,1],fi∈C(J×R+×R+,R+),Iik∈C(R+,R+),i=1,2;R+=[0,+∞],0

對二階非線性微分方程邊值問題的研究已有許多結果,本文在較弱的條件下利用錐上的不動點定理研究了方程組(1)正解的存在性,其結果包含、推廣了許多相關的結果。

1 預備知識及引理

PC′[0,1]={X∈C[0,1];x′|(tk)tk+1∈C(tk),tk+1},x′(t-k)=x′(tk),k=1,2,…,m},在范數‖x‖pc′=max{‖x‖,‖x′‖}下,PC′[0,1]成為Banach空間。其中‖x‖=stu∈pJ|x|,J′=J{t1,t2,…,tn}。在范數‖(x,y)‖pc′=max{‖x‖pc′,‖y‖pc′}下。PC′[0,1]×PC′[0,1]成為Banach空間。

定義1.1(x,y)∈PC′(J,R+)∩C2(J′,R+)×PC′(J,R+)∩C2(J′,R+)是(1)的解,當且僅當(x, y)滿足(1)。

引理1.1 假設Δ≠0,則(x,y)∈PC′(J,R+)∩C2(J′,R+)×PC′(J,R+)∩C2(J′,R+)是(1)的解,當且僅當(x,y)是積分方程組(2)的解。

其中

引理1.2 若

注1 從式(3)可知

令K={x∈PC′[0,1],x≥0,x(t)≥t1(1-tn)x(s),t∈[t,tn],s∈J}

定義算子T1和T2

令T(x,y)(t)=(T1(xy)(t),T2(xy)(t))

引理1.3 假設條件(H1)成立,則T(K×K)

證明 對任意(x,y)∈K×K,有T1x≥0,

另一方面,由于t1(1-tn)≤1

從而,(T1(x,y))(t)∈K。

類似可證(T2(x,y))(t)∈K,即T(K×K)

2 主要結果

令

這里β代表0+或+∞,i=1,2。

定理2.1 假設條件(H1)成立,再假設fi和Iik滿足下列條件

則方程組(1)至少有一個正解。

證明 由條件(H2)知,對Πε,εk>0存在0<γ<η,使得fi(t,x,y)≤εγ,Iik(x)≤εkγ,i=1,2,

k=1,2,…n,對0≤x≤γ,t∈J。其中ε,εk滿足這里

下面證明T(x,y)≥(x,y),(x,y)∈K×K,‖(x,y)‖=γ。若存在(x1,y1)∈K×K,‖(x,y)‖=γ,使得T(x1,y1)≥(x1,y1),那么

故 ‖x1(t)‖PC′<‖x1‖PC′。

類似可證‖y1(t)‖PC′<‖y1‖PC′,從而‖(x1,y1)‖<‖(x1,y1)‖矛盾。

考慮條件(H3)第一種情形,fi∞=∞,(i=1,2),則存在τ>0,使得

f1(t,x,y)≥Mx,t∈J≥τ,其中M>[t1(1-tn)(tn-t1)]-1,選取R>max{γ,τ[t1(1-tn)]-1}。

下面證明T(x,y)Κ(x,y),(x,y)∈K,‖(x,y)‖=R,若T(x0,y0)≤(x0,y0),‖(x0,y0)‖=R。

分為兩種情形:(Ⅰ)‖x0‖pc=R,‖y0‖pc≤R;(Ⅱ)‖y0‖pc=R,‖x0‖pc≤R。

(Ⅰ)若‖x0‖pc=R,則x0(t)≥t1(1-tn)x0(s),t∈[t1,tn],s∈J,從而

從而M≤[t1(1-tn)(tn-t1)]-1矛盾。

同法可證若‖y0‖pc=R的情形,即T(x,y)Κ(x,y),(x,y)∈K,‖(x,y)‖=R。(Ⅱ)Ii∞(k)=∞,k=1,2,…,n,i=1,2,則存在τ1>0,使得I1k≥Mkx,x≥τ1,其中Mk>[t1(1-tn)]-1,k=1,2,…,n

令M3=min{Mk:k=1,2,…,n},則M3>[t1(1-tn)]-1。

選取R>max{γ,t1[t1(1-tn)]-1,下證T(x,y)Κ(x,y),(x,y)∈K,‖(x,y)‖=R。

類似于第一種情形(分兩種情形)

事實上,若存在x00×y00∈K×K,‖(x00,y00‖=R,使得T(x00,y00)≤(x00,y00),若‖x00‖pc=R則

因此

從而

因此

由M3定義,可得

類似于第一種情形,可證,從而得到矛盾。

即T(x,y)Κ(x,y),(x,y)∈K,‖(x,y)‖=R。

利用錐拉伸與壓縮不動點定理,可知T至少有一個不動點(x,y)=Kr,R×Kr,R={(x,y):r≤‖(x,y)‖≤R},即方程組(1)至少有一對正解。

定理2.2 將定理2.1的條件(H2)、(H3)換成(H4)fi∞=0且Ii∞(k)=0,k=1,2,…,n,i=1,2(H5)fi0=∞或Ii0(k)=0,k=1,2,…,n,i=1,2