準晶與其近似相模擬中的勢函數

孔祥春，胡望宇，鄧輝球

(湖南大學 物理與微電子科學學院，長沙 410082)

準晶與其近似相模擬中的勢函數

孔祥春，胡望宇，鄧輝球

(湖南大學 物理與微電子科學學院，長沙 410082)

原子間相互作用勢函數是從原子尺度上對材料各種特性進行計算機模擬研究的基礎。由于準晶及其近似相特殊的幾何構型，其采用的相互作用勢的主要特點是包含傳統勢函數中沒有的振蕩項。準晶體系勢函數大體分為兩類：一類是以Dzugutov勢和LJG勢為代表的基于傳統勢函數的作用勢。這兩種勢常用于單原子體系與雙原子體系的準晶體系模擬，Dzugutov勢是一種短程相互作用，它傾向于形成聚四面體，常用于玻璃態的體系中。LJG勢加強了長程相互作用，是簡單準晶體系模擬中應用最廣泛的相互作用勢。另一類是以Moriarty-Widom勢與Force Match方法勢為代表的Realistic型勢函數，這種勢函數基于第一性原理計算或實驗結果，在多元合金準晶體系模擬中有廣泛的應用。主要介紹以上兩類勢函數，并對其特點進行評述。

原子間相互作用勢；準晶；勢函數；準晶勢函數；Realistic型勢函數；計算機模擬

Abstract:Interaction potentials are essential in the atomic-scale computer simulation for materials properties. In contrast to the regular potentials, the potential functions for quasicrystal and its approximant have many local minimums due to its particular topology. There are mainly two kinds of potentials for quasicrystal. One is the potentials based on regular ones represented by Dzugutov potential and LJG potential. They are generally applied in the simulation of monatomic and diatomic systems. Dzugutov potential is a short-term interaction which strongly favors polytetrahedral clusters, and it is frequently applied in the simulation of glasses. LJG potential strengthens the long-range interaction compared to Dzugutov potential. It is the most widely used interaction in the simulation of simple systems. The other kind is Realistic potentials represented by Moriarty-Widom potential and potentials from Force Match method. These potentials are based on the first principle and experimental results, which plays an important role in the simulation of alloy systems such as AlNiCo. Those potentials are reviewed and some remarks are given.

Key words:interatomic potential; quasicrystal; potential function; quasicrystal potential function; Realistic potential function; computer simulation

隨著計算機軟硬件的快速發展，計算機模擬在現代材料學、物理學和化學等學科研究當中起到越來越重要的作用，逐漸成為與理論研究和實驗研究幾乎同等重要的研究手段。計算機模擬一方面能從微觀尺度上很好地解釋某些已有實驗結果，另一方面又能根據已有知識來預測某些材料的物理、化學和力學性能等。計算機模擬中最常用的是分子動力學方法和蒙特卡洛方法。在基于原子尺度上的計算機模擬過程中，最關鍵的是選擇合適的原子間相互作用勢函數。通常使用的原子間相互作用勢主要有兩體勢(例如 Lennard-Jones勢[1])、三體勢(例如Tersoff勢[2])和多體勢(例如Embedded Atom Method，EAM勢[3?4])。兩體勢一般由吸引項和排斥項兩部分組成，它僅考慮兩個原子間的相互作用，而忽略了原子間的多體作用效應。這類勢比較適用于密堆結構和原子間或團簇間電荷重疊較少的情形[5]。三體勢中通過加入與鍵夾角有關的項來考慮三體相互作用，成功地描述了C、Si、Ge等元素或其組成的共價化合物的特性。以EAM勢為代表的多體勢，能較好地描述絕大部分金屬元素及其合金的各種性質[6]。對于計算機模擬中這些常用勢函數的特點及其在晶體和非晶材料中的應用情況，文獻[5, 7?10]中已有不少很好的綜述。但是在晶體和非晶之外的準晶及其近似相材料，由于其特殊的原子幾何排列特征和電子性質，通常應用的勢函數在處理準晶材料時都會遇到一定的困難。

適用于準晶體系的勢函數與描述傳統晶態和非晶態體系的勢函數具有不同的特點，近幾年來得到很大的發展。在此，本文作者分類列舉近年來在準晶及其近似相模擬過程中常用到的幾種原子間相互作用勢函數，并對其函數特點和典型應用情況進行評述。

1 準晶模擬勢函數的要求和特點

從結構上看，傳統晶體包含平移對稱性和旋轉對稱性，體系原子配位環境相對簡單，從能量上表現為穩定的低能態。而復雜的準晶合金當中只包含旋轉對稱性而沒有平移對稱性，結構中包含傳統晶體當中不存在的五重對稱結構，因此，需要借助多于一種的基本結構來鋪滿整個空間，表現為某個或多個方向上出現準周期性排列以及富含五重對稱的二十面體團簇子結構，為能量較高的亞穩結構。由于準晶與傳統晶體在結構和能量等方面存在較大的差異，因此，在準晶模擬過程中采用的勢函數有明顯的特點。眾所周知，在傳統單勢阱的金屬原子間對勢函數中僅考慮核子間相互作用。加入電子對核子的貢獻后，金屬原子間對勢作用曲線就變成兩部分[11]：由一個強排斥中心加一組逐漸衰減的Friedel項構成，由此可以引入一類針對準晶體系的勢函數。它的特點是中長程作用不是單調變化而是存在多個振蕩項，振蕩項會在勢曲線中產生能量極值點，在結構上表現為出現多個亞穩的原子位置，亞穩位置兩側的勢壘在一定條件下可以有效地束縛原子，從而保持準晶及其近似相體系的特殊幾何結構。另外，振蕩的勢函數曲線也包含明確的物理意義，即在高維空間[12]當中，平行空間(即實空間)的空間變化對應于聲子，垂直空間的空間變化對應于相位子。相位子在物理空間的體現為準晶中某些原子從原來的亞穩位置翻過勢壘跳躍到其近鄰的另一亞穩位置[13]，在準晶結構中表現為拼塊鄰近頂點的原子間跳躍。

2 準晶結構計算中的常用勢函數

2.1 基于簡單對勢的勢函數

2.1.1 Dzugutov對勢

Dzugutov對勢[14]是單原子體系中常用的一種勢,它的提出是為了解決由液態或高溫金屬玻璃為初始態的體系逐漸退火過程當中結構原子局域結構的問題，其表達式如式(1)所示。Dzugutov對勢曲線的顯著特點是傳統的Lennard-Jones勢前半部分相同，而在勢能最小值與截斷距離之間加入一個有限高的勢壘。

其中：

式中：r是原子間距離；a和c分別是第1條勢曲線的截尾距離與穩定位置；b和d是第2條曲線中a與c對應的參數；A，B和m為調整參數。表1列出一組模型的勢參數。

表1 Dzugutov對勢對應的參數[14]Table 1 Parameters of Dzugutov pair potential[14]

圖1所示為表1對應的Dzugutov對勢的勢能曲線圖。從圖1可知：整個勢能包含2個勢能極小值和1個極大值，由1個強排斥中心加1個Friedel項構成。

與傳統的勢函數易形成密排結構的特性不同，Dzugutov勢更趨向于形成聚四面體團簇。提出Dzugutov勢的出發點是在玻璃態中的應用，且它在這種體系當中的應用取得了比較好的結果。如液態金屬或金屬玻璃在退火冷卻過程中當冷卻速度足夠慢時可以形成穩定的十二次準晶結構[15]。關于結構振蕩性質的研究可以證明，δ相晶體是二十面體金屬玻璃體系的對應晶體相[16?17]。MATTILA等[18]采用Dzugutov勢和EAM勢對高能粒子引發的輻照損傷對Ni、P單質及NiP玻璃態結構隨時間的影響進行了模擬，發現包含二十面體序的結構在平衡狀態下有很強的固定能力[19]。另外，使用Dzugutov勢發現拓撲結構的不同會導致不同的振動激發方式，并與其馳豫穩定的金屬相振動方式近似[20]。

圖1 Dzugutov對勢曲線[14]Fig.1 Curves of Dzugutov pair potential[14]

2.1.2 Lennard-Jones-Guass勢(LJG)

由于Dzugutov勢是一種針對性的相互作用勢，經常應用于簡單的單成分金屬玻璃體系，相對包含電子能量考慮的對勢相互作用，該勢函數僅截斷在第一個Friedel項的極小值處，而將其他中長程項忽略，因而，中長程作用表征能力不強。一種有效方法是在勢曲線中延長Friedel項的截斷位置，LJG勢[21]就是其中的一種，其勢函數的形式如下：

LJG勢包含6個參數，式(2)中前兩項形成一個位于r=d處深度ε的Lennard-Jones曲線，而后加入一個高斯項，ε0用于調整第二勢能最低值處的勢阱深度，這個阱勢位于r=r0處，寬度為d。圖2所示為一組對應不同r0的LJG勢曲線。

LJG勢的原理是在傳統Lennard-Jones勢的基礎上在勢能最小值位置與截斷距離之間加入一個高斯分布，與Dzugutov勢相比，LJG的意義相當于在前兩個Friedel振蕩項之間進行截斷，從而得到一個具有包含雙勢阱和單勢壘的作用函數，這樣的結果是直接引入一個穩定位置和一個亞穩定位置。根據極值的位置與勢阱深度的不同，可以得到不同基態的LJG函數。

圖2 不同r0時LJG勢曲線[22]Fig.2 LJG potential for different r0[22]

ROTH等[22]使用LJG勢研究了二維、三維結構下Penrose拼塊不同子結構格點的穩定性，發現格點處不同的子團簇堆砌體系穩定性由子團簇本身的性質決定。ENGEL和TREBIN[23]采用二維單原子準晶體系，證明十次準晶是不由匹配規則控制的理想隨機拼塊結構，在臨界溫度附近出現的準晶與其近似相可逆轉變是由大量拼塊內原子跳躍實現的。

LJG勢最大的優點在于，它研究簡單準晶體系的結構和熱力學性質可以得到很好的結果，而且它能夠在模擬過程當中直接觀察到準晶結構與其晶體近似相之間的相互轉化。圖3所示為由MC方法研究單原子二元體系中加熱與退火過程中十次對稱拼塊D與相位子應變χ1和χ2的變化規律，可以得到D拼塊(D tiles)變化過程是完全可逆的。其中：Dec和Xi分別表示十次準晶與其對應的近似晶體相；Tm表示體系的熔點。當T＞0.4Tm時，整個體系當中χ1和χ2全部降為0，表明體系變為十次準晶，體系發生相變，在退火過程中整個過程可逆。

與Lennard-Jones勢不同，調節Friedel項位置勢阱的位置和深度，對體系所得的基態結構類型產生明顯的影響。從圖4可以得到在同一單原子體系中r0和深度(ε)的變化；由于勢能曲線存在雙勢阱，因此，含有2個勢能極小值點，相當于體系當中出現兩套晶格常數的共同作用，從而形成不同基態結構。ENGEL和 TREBIN[23]從單原子體系中發現由液態體系得到的多種晶體，以及十次準晶和十二次準晶是可以通過原子自組裝得到的。在退火過程中，熵穩定的十次準晶通過相位子跳躍實現結構重排向近似相發生可逆的相變，整個體系的變化過程表現為不同晶格常數之間的競爭。LJG勢對非晶結構同樣具有很好的描述能力，HOANG和ODAGAKI[25]從單原子體系液體冷卻得到的無序結構出發，研究了納米顆粒的結構性質，并發現大量的二十面體短程序。

圖3 十次隨機拼塊準晶與其近似相的相變[22]Fig.3 Phase transition between decagonal RT and approximant χi[22]

圖4 T=0, δ2=0.02時LJG勢結構相圖[22]Fig.4 Phase diagram of LJG potential at T=0 and δ2=0.02[22]

2.1.3 小結

Dzugutov傾向于形成聚四面體結構，這種結構比傳統對勢作用能夠更有效地保持亞穩定高能結構，這種結構特征對于準晶性質非常重要。利用LJG勢在二維體系的單類原子結構中能夠模擬出準晶體與晶體相的可逆性相變。Dzugutov勢主要用于描述短程相互作用，而用于描述長程作用時有明顯缺陷，因此，無法得到純粹的液態或氣態結構體系。LJG勢中第二勢阱的位置及其深度對最終結構的影響也應當特別注意。另外，雖然兩種勢都取得了很好的結果，但是它們仍然是一種經驗性勢函數，研究對象相對簡單，在解決多元準晶與近似相問題上仍然存在較大不足。

2.2 Realistic型勢函數

2.2.1 Moriarty-Widom有效對勢

為了解決多元體系中準晶結構問題，發展了精度更高的Realistic型勢函數(Realistic potentials)。這種勢以第一性原理或實驗結果為基礎，較之前的勢函數準確度有了很大提高。

MORIARTY和WIDOM等[26?27]從密度泛函理論出發，將第一性原理中的DFT計算進行級數展開，并采用相關的物理近似，給出復雜合金體系中Al與過渡金屬相互作用的有效對勢作用。圖5所示為三元準晶體系AlNiCo中的Moriarty-Widom有效對勢，從對勢曲線可以看出，每種對勢作用都包含明顯的振蕩行為，這與理論中的Friedel振蕩一致，同時大量亞穩定位置的存在能夠有效地維持體系結構的相對穩態。

圖5 AlNiCo體系中Moriarty-Widom有效對勢[26]Fig.5 Moriarty-Widom effective pair potentials for decagonal AlNiCo[26]

MIHALKOVI? 等[28]以隨機拼塊的36?和72?這2種菱形結構為基礎，利用實驗得到的準晶體系的性質與Moriarty-Widom有效對勢，通過Monte Carlo模擬發現，在系統能量最低的條件下可以得到拼塊描述的最小限制(Minimally constrained)與高限制(Highly constrained simulation)2種條件的準晶結構。結果發現，得到的體系結構與實驗得到的結構相比僅僅是完整的十邊形的表觀密度偏低，這可能是由于真實結構中的相位子堆垛無序導致十邊形的表觀密度上升[29]。BOISSIEU等[30]利用該對勢很好地重現了從實驗中得到的Zn-Mg-Sc準晶體系與其Zn-Sc晶體相的橫向色散關系與結構因子特征，它在Al-Ni-Co體系的性質與結構計算上也得到了重要的結果[31?33]。

HOCKER和G?HLER[34]使用Moriarty-Widom對勢研究了AlNiCo與AlCuCo相關體系中Al原子擴散行為，發現體系中同種元素在不同原子環境下活動性差異明顯，在T＞0.6 Tm時發生強烈的Al原子擴散現象。圖6給出了4種十次準晶結構中Al原子擴散的Arrhenius關系。其中：x為準周期性方向；z為周期性擴散方向。從圖6可知在4種結構中Al在周期性方向的擴散速度明顯比準周期方向的快，而且具有比周期性方向更大的擴散激活能，表示Al原子更容易在周期性方向發生擴散。

圖6 AlCuCo體系中Al原子擴散的Arrhenius關系[31]Fig.6 Arrhenius plots for Al diffusion in AlCuCo[31]

2.2.2 力匹配方法勢

為了解決一般性的體系相互作用， ERCOLESSI和 ADAMS[35]提出了“力匹配方法(Force-match method)”，它是通過給定體系需要考慮的參考結構，選取模型勢的類型，利用第一性原理得到關于力、應力和能量等方面相對準確的數據，然后，利用優化的方法使由模型勢得到的對應量不斷逼近第一性原理值，使勢函數精度得到提高。勢參數通過“力匹配方法”由式(3)獲得。

式中：其中：α是用來選取模型勢中的勢參數列；M是調試過程中選取的參考結構總數；Nk是第k種參考結構中的體系原子總數；Fki(α)表示在勢參數列α下得到的第k種結構中第i個原子受到的力；Fki0是由第一性原理方法得到的第i個原子的受力；Nc表示額外限制數；Ar(α)表示由勢參數列α得到的物理性質；Ar0表示對應的第一性原理值或實驗值；Wr是選取的權重，隨著Z值收斂計算值逐漸逼近得到第一性原理值的近似值，并由此得到勢參數列α的優化值。

當前使用“力匹配方法”得到的復雜合金相中的原子間相互作用勢已經得到了很好的驗證，通過對二維準周期的 AlNiCo層狀結構連續加溫的方法得到與Moriarty-Widom對勢結果吻合的體系熱穩定性，在0.5Tm下體系結構無明顯變化，相位子躍遷機率很小，原子運動方向僅僅集中在周期方向的原子面之內，并得到了與實驗結果相近的熔點。通過這種勢計算了AlNiCo體系高溫下的Al原子擴散，得到了很好的結果[36]。另外，它在包含二十面體結構的二十面體準晶結構中也得到了很好的應用，在研究二十面體 CaCd準晶結構的 1/1準晶近似相 CaCd6構的無序化轉變過程中，得到與實驗值非常接近的無序化轉變溫度[37?39]。除了上述結果，力匹配方法還在NbCr2中的裂紋擴展[40]與 Zn2Mg的動力學結構因數[41]的計算上取得了好的結果。

2.2.3 小結

Moriarty-Widom對勢采用級數展開方法得到了包含類 Friedel項的多級振蕩兩體間相互作用。與Moriarty-Widom對勢固定的表達形式不同，力匹配方法得到的勢的表達形式比較靈活，勢函數形式主要取決于選取的模型勢函數，通過第一性原理值對參考值進行迭代修正。這兩種勢都是基于第一性原理值，能夠有效模擬多元準晶與其近似相的結構和性質。由于力匹配方法形式靈活，可以應用EAM等勢模型，使用方便，其主要優點在于結合了傳統勢的計算能力和第一性原理的準確性，使得相互作用勢的精度有了很大提高。但勢的作用范圍局限于勢調節過程中的幾種特殊結構，而且勢擬合過程當中的過多變量使勢函數調節比較困難。

3 總結與展望

1) 對準晶結構的勢函數特點及常用勢函數進行了較為系統的總結，發現對勢項中加入電子對核子作用后，準晶結構中原子間長程作用可能并不是單調變化的而是存在多個振蕩項，它能有效維持準晶特殊的幾何結構特征，同時振蕩項在勢曲線中產生若干個能量極值點，與準晶體系的較高能量相對應，因此，描述準晶結構時采用的勢函數曲線與描述晶態和非晶態時有所不同。

2) 隨著現代計算機軟硬件的發展，精度較高的第一性原理計算能夠處理越來越大的原子體系和計算越來越多的材料性質，但是對于大而復雜的準晶體系仍然無法處理。通過與第一性原理計算和實驗測量結果相結合，擬合得到有關經驗勢函數參數，是一種對準晶結構和性質進行原子尺度模擬的有效方法。

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(編輯 楊 華)

Interatomic potentials for simulation of quasicrystal and its approximant

KONG Xiang-chun, HU Wang-yu, DENG Hui-qiu
(College of Physics and Micro-electronic Science, Hunan University, Changsha 410082, China)

O469

A

1004-0609(2010)05-0969-07

國家自然科學基金資助項目(50671035, 50871038)

2009-08-30；

2009-11-30

胡望宇，教授，博士；電話：0731-88823971；E-mail: wangyuhu2001cn@yahoo.com.cn