平面控制網四參數法坐標轉換與殘差內插

楊國清，張予東

(鄭州測繪學校，河南鄭州450015)

式中，VX、VY為重合點的改正數，遍取與i點相鄰的重合點。式中的權P有以下兩種取法

1)綜合考慮非重合點與重合點的幾何分布定權。

平面控制網四參數法坐標轉換與殘差內插

楊國清，張予東

(鄭州測繪學校，河南鄭州450015)

詳細推導平面控制網四參數法坐標轉換的實用公式，提出新的殘差內插方法，并給出算例加以驗證。

四參數法坐標轉換;殘差內插;2000國家大地坐標系

經國務院批準，國家測繪局發布公告，我國從2008年7月1日起，啟用2000國家大地坐標系。這一公告的發布，意味著大量的地方控制網要從原來的1954北京坐標系或1980西安坐標系轉換到2000國家大地坐標系內。中小城市和一般工程測量控制網坐標轉換主要采用平面直角坐標四參數轉換模型。本文介紹這種模型進行坐標轉換的具體做法，以及涉及的殘差內插問題。

一、轉換參數的計算

平面直角坐標四參數轉換模型的4個參數為：兩個坐標平移參數X0、Y0，一個旋轉參數ε，一個尺度參數k。

坐標轉換的原始矩陣為

式中，X、Y為新坐標系下的坐標;x、y為舊坐標系下的坐標;X0，Y0為原始坐標平移參數;ε為舊坐標軸旋轉至新坐標軸的角度，以坐標方位角增大的方向為正，反向為負;k為新坐標系與舊坐標系的尺度比。

將上式改寫為

式中，x0、y0為參與參數計算的重合點舊坐標中值，有這里的“［］”表示對括號內的表達式從1到n取總和。n為參與參數計算的重合點數，重合點是指既有舊坐標，又有新坐標的點。對于一個具體的坐標變換問題，尺度比例系數k和旋轉參數ε是一個確定的數，因而式(2)右邊前兩項之和也是一個常量，令

式中，X0、Y0為縱橫坐標平移參數，同時也是重合點新坐標中值(后面會證明)。則式(2)變為

將式(4)寫成

令

則式(5)變為

這里的X0、Y0、a、b是4個待定參數，當a，b確定之后，有

設選中了n個新舊坐標重合點，可據式(7)列出2n個方程，當n＞2時，方程個數大于4，只能采用最小二乘法求解式中的參數。直接根據式(7)寫出2n個誤差方程

由式(9)可組成法方程。因為有

最后組成的法方程為

式中，D=［(Δx)2+(Δy)2］。解得

若要計算尺度比k和旋轉參數ε，可按式(8)計算。

二、精度評定

1)轉換系數精度評定

2)重合點坐標轉換精度

三、關于重合點的選擇和剔除

在實際工作中，一般“新網”是用衛星大地測量方法獲得的國家大地網，而“舊網”多是傳統控制網或地方以及工程單位所做的控制網。因而一般認為新網精度高，舊網精度低。按這種理解，可以把轉換參數計算中的殘差V看做是由舊坐標的誤差造成的。如果參與轉換計算的某重合點的坐標殘差V較大(國家測繪局《啟用2000國家大地坐標系實施方案》附件《現有測繪成果轉換到2000國家大地坐標系技術指南》中規定：大于3倍中誤差)則應剔除該點，再選擇另一點重新進行轉換參數的計算。很顯然，即使V沒有大于3倍中誤差的，也應該通過多次換點試算，以獲得最優轉換參數。

當轉換參數計算出后，還要用分布均勻的另外6個新舊坐標重合點對坐標轉換精度進行檢核。如果檢核不合格，應仔細分析研究，確定合理的處理方案。

四、殘差配賦

對于所有重合點來說，不管它是否參與轉換參數的計算，直接采用其在新網中的坐標，這相當于將重合點的舊坐標用參數進行坐標轉換后又加了一個改正數。由此可見，用所獲得的轉換參數對舊網的非重合點進行坐標轉換也應該有其相應的“改正數”。一般來說，當所有重合點(包括參與參數計算的重合點和未參與參數計算而當做檢核點的重合點)的轉換殘差都較小時，可不考慮給舊網的非重合點計算改正數。這種情況較少，大多數情況下重合點的殘差不可忽略，應該給非重合點加坐標轉換改正數，可通過內插法計算。非重合點i的坐標轉換改正數可采用以下的加權插值計算式計算

式中，VX、VY為重合點的改正數，遍取與i點相鄰的重合點。式中的權P有以下兩種取法

1)綜合考慮非重合點與重合點的幾何分布定權。

式中，Dij為非重合點i至所取相鄰重合點j的距離; β左與β右為Dij邊兩邊的角度，以弧度或度為單位。如后面算例中，8號點為需要內插的點，計算時取用的重合點為1、4、5、7點，與D8，4相應的β左為184°，β右為485°。

實踐證明，該定權法插值效果相對較好，明顯優于現今一些GPS軟件中采用的簡單的以距離平方的倒數作權的做法。

2)簡單的以非重合點與重合點的距離的1.5次方的倒數作權。

此種定權法，計算稍簡單，但插值效果不及前一種。

五、算 例

某控制網有新舊坐標重合點7個。其中1～5點參與參數計算，6、7點做檢驗點。另有8、9兩點作非重合點坐標轉換計算例。

1.轉換公式參數計算

參數計算見表1。由表中計算得到的實用轉換公式為

2.精度評定

重合點坐標轉換精度見表1。

3.檢 驗

如表2所示。6、7號點也是重合點，未參加轉換參數計算，而作為檢驗點。

4.非重合點坐標轉換計算

如表2所示。8、9號點為非重合點轉換計算例。表中“轉換值X”和“轉換值Y”為根據轉換公式計算的直接轉換值，“采用值X”，“采用值Y”為加過改正數后的坐標采用值。

重合點的改正數由已知值減去轉換值獲得。非重合點的轉換改正數是用加權內插法計算的。采用的是考慮采樣點幾何分布的式(15)定權。其中：8號點內插計算改正數時，取用了1、4、5、7號重合點的改正數。9號點內插計算改正數時，取用了2、3、6號重合點的改正數。

The Four-coefficient Coordinates Transformation for Horizontal Control Networks and Residuals Interpolation

YANG Guoqing，ZHANG Yudong

表1 控制網坐標轉換的參數計算

表2 控制網坐標轉換檢驗和非重合點坐標轉換計算

略)

0494-0911(2010)11-0048-03

P221

B

2010-09-09

楊國清(1952—)，男，湖北黃岡人，高級講師，主要從事測量教學工作。