一種改進的全陣空間平滑技術(shù)*

(空軍工程大學 導彈學院，陜西 三原 713800)

1 引 言

近二十多年來，信號波達方向(DOA)估計研究受到廣泛重視，在雷達、聲納、通信中尤為重要。基于信號子空間的MUSIC(Multiple Signal Classification)算法和ESPRIT算法是目前比較好的DOA估計算法。MUSIC算法利用陣列協(xié)方差矩陣R的噪聲子空間和信號子空間的正交性進行DOA估計，對于非相干或相關(guān)程度較小的空間信源具有良好的分辨性能。然而，當信號相干時，信號源的協(xié)方差矩陣就會變成奇異陣，信號子空間將向噪聲子空間擴散，這時，MUSIC算法的分辨性能就會惡化甚至失效。

空間平滑最初是由Evans[1]提出來的，后來Shan[2]進行了完善，其基本思想是把主陣劃分為若干相重疊的子陣列，然后對子陣的協(xié)方差矩陣求平均(各子陣列的向量以各自的第一個陣元為基準，兩相干信號的相位差由于波達方向不同，使空間平滑產(chǎn)生隨機相位調(diào)制，因而可以對引起秩虧缺的信號解相關(guān))。利用這種方法，我們可以得到滿秩的協(xié)方差矩陣，然后用MUSIC算法。在這些傳統(tǒng)的方法中，能處理的相干源最大范圍是2N/3(N為陣列的陣元數(shù))[3-4]，可檢測相干源數(shù)目與子陣孔徑大小成為矛盾，隨后提出一些增強平滑技術(shù)方法[5]和利用互相關(guān)矩陣信息的前后向平滑[6]等在一定程度上增強了對空間相干源的解相關(guān)能力，但計算量比較大。Nizar在文獻[7]中提出C-SPRIT進行非圓信號如二進制相位鍵控(BPSK)和M進制幅度鍵控(MASK)DOA估計，隨后又利用C-SPRIT思想，提出CMUSIC方法[8]來解決非圓相干信號DOA估計，利用N個陣元估計N-1個非圓相干信號DOA，但也只是使信號源有相干變?yōu)橄嚓P(guān)，并沒有徹底解相關(guān)。利用本文的算法，能處理的最大相干源數(shù)目為N-1(為全陣的自由度)，而且在處理SNR較低或波達角相鄰近時的相干源也有效。

2 算法分析

假設一個N元等距線陣(ULA),假定P個窄帶平面信號源波達方向角分別為θ1,θ2,…,θp,那么，N個陣元接收的信號矢量可以寫為

(1)

式中，sk(t)代表第k個信號，其源波達角為θk；a(θk)表示N元陣的導向矢量；n(t)是N×1的均值為零、方差為σ2的加性高斯白噪聲。陣列導向矢量可以寫成

(2)

式中，上標T代表轉(zhuǎn)置，

(3)

式中，λ是波長，d是相鄰陣元的間距，N×P的陣列響應矩陣和P×1的信號矢量可以寫為

A(θ)=(a(θ1),a(θ2),…,a(θP))

(4)

和

S(t)=(s1(t),s2(t),…,sP(t))T

(5)

接收到的信號矢量可以寫為

X(t)=A(θ)S(t)+n(t)

(6)

圖1 陣元

本文方法用N元子陣，每個子陣的陣元數(shù)等于全陣列N，由圖1，子陣1寫為

Y1(t)=A(θ)S(t)+n1(t)

(7)

式中，

(8)

(9)

(10)

(11)

A(θ)Φ*S(t)+n2(t)

(12)

式中，

(13)

(14)

子陣3可以寫為

A(θ)(Φ*)2S(t)+n3(t)

(15)

A(θ)(Φ*)N-1S(t)+nN(t)

(16)

式中，

(17)

(18)

AH(θ)+σ2I

(19)

式中，上標H表示對矩陣進行共軛轉(zhuǎn)置操作，RS=E[s(t)s(t)H]是P×P的信號協(xié)方差矩陣，如果存在相干信號，Rs的秩小于P，那么我們可以用R1,R2,…,RN的平均得到滿秩的矩陣。

(20)

考慮一個8元ULA陣，傳統(tǒng)的方法讓每個子陣的陣元數(shù)為6，我們可以發(fā)現(xiàn)子陣4和子陣5在最后平均得到協(xié)方差矩陣時并沒有被用到，并且其它子陣的陣元數(shù)也少于8(全陣的陣元數(shù))。很明顯，本文的方法比傳統(tǒng)方法利用了更多的資源。

圖2 本文方法與前后向平滑方法在子陣陣元數(shù)上的比較(在子陣6中y1等于

3 仿真與分析

我們用幾個仿真例子來證明本文所提方法的有效性，統(tǒng)一使用8元陣，快拍數(shù)為500。

仿真1，考慮3個等能量的相干源，DOA分別為θ1=-40°、θ2=-20°、θ3=0°，信噪比(SNR)為-10 dB。仿真結(jié)果如圖3所示。其中，圖3(a)中很難精確地在-40°～-20°和0°觀察到峰值，多次實驗結(jié)果的DOA峰值都不一樣。然而，在圖3(b)中我們可以清楚地看到3個尖峰，并且DOA估計比較準確，多次實驗的峰值位置都基本相同。這證明了本文方法在信噪比較低情況下的有效性。

(a)前后向平滑方法

(b)本文方法圖3 仿真結(jié)果

仿真2,對兩個等功率相干源，信噪比為5 dB,其波達角是θ1=10°、θ2=15°，分別作50次蒙特卡羅仿真。子陣陣元數(shù)是7，為前兩種方法條件下兩個相干源下最多的陣元數(shù)。比較前后向平滑以及加權(quán)前后向平滑，兩種方法中峰值的位置都偏離了真實值。如圖4所示，因本文所提出的方法每個子陣陣元數(shù)等于8，而其它的方法所涉及子陣陣元數(shù)小于8，所以此方法更為精確。從圖4中可以看出，本文所提出的方法估計的DOA峰值位置在真實值，而其它兩種方法則偏離較大。

圖4 波達角分別為10°、15°,信噪比為5 dB時仿真比較圖

在下面的仿真中，分別對波達角為10°、15°，信噪比是10 dB的等功率相干源求均方根誤差，在不同的相關(guān)系數(shù)條件下進行仿真，結(jié)果如圖5所示，可以看出本文方法均方根誤差比前后向平滑以及加權(quán)前后向平滑均方根誤差都小。同樣，在不同信噪比的情況下，如圖6所示，結(jié)果均體現(xiàn)該方法的優(yōu)越性。其中圖5和6比較的是不同DOA的估計均方根誤差的結(jié)果。從圖中可以看出，本文方法估計信號DOA的方差均要比前后向平滑、加權(quán)前后向平滑方法的要低。

仿真3，用本文的方法，我們可以估計N-1個相干源，N為陣元數(shù)目，但傳統(tǒng)方法無法做到，圖7驗證了本文方法的可行性。相干源數(shù)目為7，波達方向角(DOA)為-60°、-40°、-20°、0°、20°、40°、60°,信噪比為0 dB。

傳統(tǒng)的方法由于采用前后向平滑技術(shù)，使得陣列孔徑有所損失，估計信號DOA數(shù)目大大減少。而本文方法不采用前后向平滑技術(shù)，利用子陣之間的虛擬平滑，達到無孔徑損失的效果，使得估計的DOA數(shù)目達到最大，為陣列的最大孔徑(極限值)。

(a)波達角為10°

(b)波達角為15°圖5 SNR=10 dB時不同相關(guān)系數(shù)均方根誤差

(a)波達角為10°

(b)波達角為15°圖6 不同信噪比下均方根誤差

圖7 用本文方法10次試驗得到的空間譜估計(陣元數(shù)為8，相干源為7，信噪比為0 dB)

4 結(jié) 論

本文提出了一種可以充分利用全陣進行相干源估計的方法。該方法相對于傳統(tǒng)方法的優(yōu)越性是顯而易見的，尤其當相干源數(shù)目較大或未知時，本文方法可以估計的相干源數(shù)等于全陣時的最大數(shù)，是全陣估計信源的上限。并且，由于本文方法沒有孔徑損失，在同樣DOA數(shù)目的估計情況下，單個信號DOA估計精度會得到大大提高，尤其是低信噪比的情況下，其優(yōu)越性更加明顯。

參考文獻：

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[8] Amjad Salameh,Nizar Tayem. Conjugate MUSIC for non-circular sources[C]//Proceedings of 2006 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. Toulouse:IEEE,2006:877-880.