基于工作過程的中職數學建模教學實踐

□陳建忠

基于工作過程的中職數學建模教學實踐

□陳建忠

以沖模板加工三角形孔的工作任務案例，對基于工作過程的中職數學建模教學進行了嘗試性實踐。基于工作過程的數學建模教學，目的在于構建全新的中職數學教學，既可以彌補當前數學基本概念（定理、法則等）教學與生產生活的實踐應用環節教學的不足，又可以達到真正提高學生數學基礎知識、技能與能力，以及職業技能的目的與要求。形成中職數學教學新特點：抽象問題直觀化，復雜問題簡約化，過程問題程序化，無序問題規范化。

工作過程；中職數學；建模教學

在職業教育改革的熱潮中，中職數學教學改革在摸索中艱難前行。一直以來，從行政管理者、專家學者到一線課任教師對中職數學教學的改革充滿著激烈的沖突。綜觀中職數學教學改革過程中的沖突，集中表現在以下四個方面：第一，中職數學學科該教哪些內容，深度廣度該怎樣控制？第二，中職數學學科內容以怎樣的方式進行教學，嵌入到專業課程教學還是進行系統的數學學科式教學？第三，中職數學學科分模塊階段性教學還是按照數學學科體系整體性進行教學？第四，中職數學應用性問題教學該怎樣的定位，該怎么進行教學？這些問題的沖突充分凸現了中職數學教學改革的深入爭論與一線教師在教學改革過程中的實踐性困惑。

中等職業學校數學教學新大綱的頒布，進一步厘清了中等職業學校數學課程的基本任務，“使學生掌握必要的數學基礎知識，具備必需的相關技能與能力，為學習專業知識、掌握職業技能、繼續學習和終身發展奠定基礎”[1]。在新大綱的具體表述中，充分闡述了以數學核心概念（知識）為主干體系，生產生活的實踐應用為教學載體的數學課程。嚴格要求中職數學課程與教學以一種全新理念進行重組與開發，為中職數學課程改革提供保障與支撐，為學生的成長奠基。從新大綱教學要求看，我認為構建基于工作過程的中職數學建模教學新體系，已成為中等職業教育數學教學改革的方向。

一、對“基于工作過程的中職數學建模教學”的基本思考

（一）“基于工作過程的中職數學建模教學”的內涵界定

基于工作過程的數學建模教學模式，以工作任務及其工作過程為依據整合、細化數學教學內容，科學的設計數學建模工作任務，最終達到教、學、做相結合，數學知識教學與實踐應用形成一體化。基于工作過程的數學建模教學，目的在于構建全新的中職數學教學，既可以彌補當前數學基本概念（定理、法則等）教學與生產生活的實踐應用環節教學的不足，又可以達到真正提高學生數學基礎知識、技能與能力，以及職業技能的目的與要求。

基于工作過程的中職數學建模教學，教師從具體的工作任務出發，設定數學學習情境，然后將工作任務分解成為完成任務的多個小任務，產生學習單元，從而帶動學生進行數學基礎知識學習與實踐操作，這樣每一位學生通過對提出的工作任務進行認知、理解和知識的運用，提出解決問題的方案，既可以為每一位學生的思考、探索、發現和創新提供開放的空間，又能充分調動學生學習的主觀性和能動性，提高學生發現問題、分析問題和解決問題的能力[2]。

（二）“基于工作過程的中職數學建模教學”的基本流程

基于工作過程的數學建模教學，根據不同的專業，確立核心數學概念與工作任務相結合的方式組織教學內容，打破傳統的以章、節為基礎的知識講解，而是將完成某一主題的工作任務所需要的各個知識點進行整合，形成各個教學單元。特別把握住工作過程的數學建模教學的新特點：抽象問題直觀化，復雜問題簡約化，過程問題程序化，無序問題規范化。

通過核心數學概念（定理、法則等）與工作任務整合的方式，生成“基于工作過程的數學建模教學”基本流程圖（見下圖）。

基于工作過程的數學建模教學，要求任課教師采用基于行動導向的教學方法。每次教學任務要有確定的數學知識、技能與能力訓練目標，選定訓練載體——工作過程中的具體工作任務，圍繞工作任務的載體，設計數學能力及職業能力的訓練過程，即進行數學建模任務訓練，使整個過程以學生為主體，選擇行動導向的教學方法，切實做好教學過程的任務設計與建模實踐。

（三）“基于工作過程的中職數學建模教學”的教育追求

縱觀中等職業學校數學教學新大綱的變化，突出體現了從應用性問題切入到數學概念的教學，從高度的抽象中還原數學的原生態，把學生的學習引領到過程認識與問題分析、解決及再創造的能力，充分體現了中職數學學科的教育功能與職業教育的特點。基于工作過程環境下的數學建模教學充分切合了數學教學新大綱的變化，我們從以下三個方面來體現教育追求。

1.全國職業教育科研機構2007年5月基本信息調查表明，人的職業技能85%以上是在工作崗位上形成的。既然如此，就沒有必要把那些只是為了體現數學學科本身的體系、邏輯，或者是借以用來表明數學學科的水準、高度而學生確實學無致用又力所不及的內容放進課程，那些完全可用計算機（器）來完成的繁瑣計算、推理、證明等，也沒有必要用來擠占學生的學習時間。而應該引導學生把更多的時間、精力和聰明才智用在動手實踐，用在創造、創新和發展自己的個性、特長上，盡量考慮到社會需求的實際，做到以實用為本，以夠用為度，這應是中職數學課程設置建模教學的主導思想。

2.基于工作過程環境下數學建模教學符合學生的實際和社會需求的實際，淡化知識體系的完整，淡化邏輯結構的嚴密，刪減繁瑣運算，擴大數學知識面，加強數學方法的教育，有意增加數學建模與計算技術的內容，側重應用能力與計算能力的培養。

3.中職生在數學學習過中，多數表現為：感知膚淺、呆板，缺乏聯想，他們習慣對問題表面的直觀形象思維，而缺乏對數學知識更深一層的分析、綜合和抽象思維。中等職業教育需要培養的是技能型與工程管理型的人才，崗位對個人技能的要求由專一型向復合型轉化，由恒常不變向更新多變轉化，由標準化向個性化轉化。因此，在教學內容上：要求貼近學生，貼近崗位，貼近就業環境；在教學方式上：要求研發現代化的教學載體，構成新的教學支撐體系，加強職業教育信息化建設，改革以學校和課堂為中心的傳統人才培養模式。

二、“基于工作過程的中職數學建模教學”的實踐探索

基于工作過程的數學建模教學中，結合工作任務的背景材料，構建起數學教學的生成策略。我們從判斷工作過程的任務開始，因“異”而導，生成數學教學的過程。下面以數控加工專業在沖模板上加工三角形孔為例，對工作過程環境下的數學建模教學嘗試性實踐進行剖析。

（一）職業工作中的任務描述

在沖模板上加工三角形孔是數控加工中比較典型的工作任務，包括根據工件圖紙的尺寸和技術要求進行選料、下料、編程、測量及檢驗等工作過程。在工作過程中，需要進行多層面的數學知識運用。第一，在讀圖時，對相應三角形孔對應的三點坐標進行正確核對；第二，選料與下料的過程，從資料利用最優化的考慮下，進行選擇與沖裁；第三，加工的方法，由于在沖模板上直接加工三角形孔的精度不高，一般在實際的操作過程中通過先鏜三角形的內切圓，因此需要找到圓心坐標與圓的半徑；第四，測量與檢驗的過程，是成品合格與否的關鍵環節，掌握量具的使用與正確的檢測方法是專業人員的核心能力。

（二）“基于工作過程的中職數學建模教學”的工作任務解析

1.工作任務的教學目標。圍繞沖模板上加工三角孔展開的工作任務，提出的問題涉及了以函數、三角及解析幾何為主的幾類數學問題，讓學生運用數學建模思想，有目標地進行操作實施。促使學生融入有意義的工作任務完成的過程中，讓學生積極地學習，自主地進行知識建構，以現實的、學生生成的知識和培養能力為最高成就目標。

根據涉及到的數學內容、實際問題和學生的學習水平來確定工作任務的教學目標。在沖模板上加工三角形孔的工作任務，要求學習：

（1）根據提供的六塊沖模板毛料，選擇合理的測量方法，為切割所需沖模板提供解決方案；

（2）建立幾類數學模型，掌握數學建模的步驟；

（3）分析三角形定位問題及解決問題的方法；

（4）會計算三角形內切圓的半徑及圓心位置；

（5）根據提供成品檢驗方法，準確運用測量的方法，并進行正確的操作。

2.工作任務的分解與設計。從沖模板上加工三角孔的工作任務分解與設計看出，工作過程環境作為整個數學建模教學的主線，把學生將要學習的相關數學知識、技能及能力貫穿于其中，達成數學教學目標。

將加工三角形孔的工作過程分解成三個主要工作任務：選料與下料、定位計算與解三角形、以及檢測驗收，每項工作任務設計相應的工作任務單。在選料與下料的工作任務中，設計6至8課時的教學方案，采用以下六個環節進行工作任務單編寫：提供素材——設計問題——相關鏈接（包括數學基礎知識、解決的基本方法等）——信息收集與整理——提出解決方案——解答與檢驗。通過六個環節的設計，對問題進行有層次的編排，將學生思維形成螺旋式上升的過程，突出數學教學目標的實現。基于工作過程的數學建模教學的六個基本環節確立為：

（1）根據核心數學概念與工作任務的特征確定教學目標，設計教學環節中學習方案、問題提綱、解決方案及整理歸納。

（2）綜合學生的四項觀察數據，進行合理分組。四項內容分別是：第一項是數學的認知基礎，包括數學基礎知識、基本技能與基本能力；第二項是語言表達的能力，特別是對直覺反應能力；第三項是非智力因素的層面，學習習慣、學習方式及學習態度等；第四項是團隊合作互助的意識，通過跟蹤觀察學生的個休情況，確定小組合作學習的成員的工作職責與履行任務。

（3）分解任務，構建數學教學學習體系，并制定課時教學目標。

（4）在教學法的選擇上，以行動導向教學法為主體，貫徹以學生為中心，教師扮演主持人、示范的角色，鍛煉學生分析與解決實際問題的能力，以及提高學生職業能力。

（5）按照課時設置的工作任務，選定任務載體，圍繞載體設計數學教學過程，即通過數學建模步驟，逐一實施工作任務式的數學教學。

（6）制定考核評價方案。單元任務考核占30%，數學建模考核占30%，綜合考核占40%。

（三）案例描述——沖模板上加工三角形孔

1.選料與下料。根據沖模板工件的規范要求，需要一塊40cm×30cm沖模板，現在儲備室內有以下幾塊沖模塊毛料：

（1）如圖1所示，一塊形狀為直角梯形的沖模板角料，上下兩底分別為為18cm，54cm，高為45cm；

（2）如圖2所示，在邊長為60cm×40cm的長方形沖模板上已切割下了一個直角三角形，兩直角邊分別為30cm，30cm；

（3）如圖3所示，材料ABCD，上沿AD為圓弧，其圓心O在BC上，圓半徑為60cm，均垂直于AB、CD均垂直于BC，且BO=CD=30cm；

（4）如圖4所示，一塊圓心角為120°，半徑為40cm的扇形沖模板；

（5）如圖5所示，在邊長為80cm的正方形沖模板上切割下四個半徑為40cm的圖形；

（6）如圖6所示，一塊平行四邊形ABCD沖模塊，M為BC邊的中點，已經割下了以B、C為圓心，BM長為半徑的兩個扇形模板，現測得以下兩個數據：BC=54cm，M是到AD的距離為36cm。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

問題1：根據對六塊沖模板的測量，哪幾塊材料可以切割出的40cm×30cm沖模板，提出切割方案？

從六塊毛料中進行選擇，主要涉及到的數學知識有：函數式的建立及最值問題，解析幾何中直線方程與圓的方程，三角知識中解三角形、弧長公式及扇形面積公式以及平面幾何基礎知識。同時，對學生收集、分析和組織信息的能力、估計能力、計算工具使用能力以及合理運用知識的能力進行綜合的培養。

問題2：在切割出的40cm×30cm沖模板材料，怎么樣落料能使剩料最合理（在剩料中，盡可能費料最少，可利用的料最多）？

從上述可切割出的40cm×30cm沖模板材料中，尋找最優化的問題，這里主要涉及的數學知識主要是對上述問題1的進一步深化，建立合理的數學模型，培養學生在實際生活中的合理選擇能力，通過操作與分析，給出最合理的選擇。

問題3：計算能切割出40cm×30cm沖模板的材料的利用率。

問題3是對上述最優化的問題的合理性計算，是對整體問題的進一步細化，達成數學建模教學的目標。這也是通過建模后的所得結論合理性分析，給學生一個整體分析思維的優化。

2.定位計算與解三角形。問題4：在40cm× 30cm沖模板上加工三角形孔，要求沖模板中心與三角形的重心重合，且在△ABC中，設AB=18cm，BC= 15cm，AC=13cm，點B到沖模板二邊的距離均為12cm，BC邊平行于沖模板的底邊，如圖7所示。試確定三角形的A、C兩點的坐標。

圖7

問題4是從上述三個問題解答完成后的起承轉換，將工作過程的呈現更加完整與合理，對數學建模的過程的合理性進行有效規劃。

問題5：在40cm×30cm沖模板上加工三角形孔時，為了保證直線尺寸的精度，先在三角形孔中鏜一個圓孔，使圓與三角形的三邊相切，在圓孔內用硫化銅著色后，再加工三角孔。圖8所示，在△ABC中，設，AB=18cm，BC=15cm，AC=13cm，求內切圓的半徑與圓心坐標。

圖8

問題5的設計與銜接工作任務的過程，使學生掌握更豐富的專業工作過程，更突出讓學生養成利用數學知識分析實際問題的能力。

3.檢測驗收。問題6：沖模板上加工的三角形孔是否合格，要經過測量檢驗，主要測量數據是各頂點到沖模板邊上的距離以及各頂點到三角形孔各邊的距離。

該問題涉及的知識是解析幾何中的直線方程與點到直線的距離公式以及測量工具的選擇。這對于學生來說，核心問題是正確計算，通過正確的計算，得出合理的數據，分析三角形孔是否合格。

三、實踐后的反思

基于工作過程的數學建模教學，為中職數學教學提供一種可操作的樣本。我們在數學概念教學的過程中，往往感覺到抽象、枯燥，運用工作過程環境下的數學建模教學，可以有效改變這一現象。對工作過程環境下的數學建模教學的工作任務設計中，可根據需要而設定課時，但是在工作任務的設計中，我們認識到以下幾個問題：

（一）工作任務的教學準備

工作任務的教學準備是基于工作過程的中職數學建模教學的核心環節。教師確立工作任務后，針對學生實際掌握的數學知識與能力進行任務分解及問題的設計，同時必須準備相應的工具與教學材料，為課堂教學順利推進作出正確的預設與延伸。

基于工作過程的數學建模教學的特點，在工作任務的教學準備時，必須關注以下幾個問題：

1.工作過程背景的現實性，激發學生參與到課堂教學中來，并提出的實際問題要有較寬的切入口及可操作性，使多層次的學生都能參與到工作任務中來；

2.模擬工作過程的情境與相關數學知識整合的過程，需要提煉情境的模型化與合理化，切忌在教學準備中，出現相互割裂與形式堆積；

3.在教學準備的過程中，對學生學習方式進行合作學習的常規化與組織教學的漸進性，突出學生在學習過程的參與深度與廣度，激活學生的學習積極性；

4.教師在教學準備過程中，要充分準備教法實施的多樣性與學法指導的有效性，達到對教學過程的有效調控與實施；

5.在教學準備的各環節中，教師需要重視數學內容的介入與工作過程情境的銜接，達到無痕對接。

（二）找準學生知識鏈的端口、斷口及最近發展區

在學生數學學習的過程中，通常發生因教師的教學活動高于或低于學生的心理能力水平，沒有滿足學生對知識、情感和技能的心理需求。教師需要找準學生困惑的源頭，即理解當下內容所必需具備的知識鏈的起點以及學生相應的知識斷口。為學生準備相關的數學知識鏈接，盡量彌補學生在學習過程中的知識斷點，實現教學過程的順利實施。同時，教師要依靠自己的教學經驗、學科知識體系和對學生的了解，判斷學生的最近發展區，把教學建立在“最近發展區”。對于學生來說，數學建模是非常難的行為，因為中職學生學習數學整體思維能力水平有一定的限制，所以在設計教學問題時，盡量避免“高開低走”，也就是設問的門檻要低一點，符合學生的實際發展水平。

（三）整合數學模型和預設教學情境

工作任務教學目標的實現，先決條件是提供合理的現實生活場景與工作過程，把抽象的數學進行還原與再發現。因而，基于工作過程環境下的數學教學，關鍵在于素材的分析與預設教學情境的設計，從而有效地整合數學模型與預設教學情境。只有設計出了有效的預設教學情境，運用演繹法與歸納法同步實施，將數學模型進行整體的確立。

（四）探究學生學習數學的動機

在每一項的工作任務教學過程中，對學生數學學習的困難是非常之多的，但教師要相信學生總是期待著取得進步，得到正面肯定，優化自己的學習和生活質量。教師相信學生意味著教師面對任何的問題，都要保持冷靜和耐心的幫助和解答，達成每一項的教學目標。

[1]中華人民共和國教育部.中等職業學校七門公共基礎課程教學大綱匯編［M］.北京：高等教育出版社，2009.

[2]胡慶芳，程可提.美國項目研究模式的學習概念［J］.外國教育研究，2003（8）：18-21.

責任編輯 葛力力

陳建忠（1971-），男，浙江慈溪人，浙江省慈溪市教育局職成教教研室教研員，研究方向為職業與成人教育。

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1001－7518（2010）15－0054－04