離散伺服定位系統(tǒng)的復(fù)合非線(xiàn)性控制

程國(guó)揚(yáng)， 彭可茂， 王惠

(1.福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建福州 350108;2.新加坡國(guó)立大學(xué)Temasek實(shí)驗(yàn)室，新加坡 117508)

0 引言

伺服定位系統(tǒng)在工業(yè)加工和裝配生產(chǎn)線(xiàn)中廣泛存在。典型的伺服定位系統(tǒng)，要求系統(tǒng)的輸出量能夠快速、平穩(wěn)且準(zhǔn)確地進(jìn)入目標(biāo)位置的鄰域，即系統(tǒng)同時(shí)具有良好的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。為實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，需要引入反饋控制技術(shù)。目前已提出多種伺服控制方案［1］，其中應(yīng)用最廣的為PID控制，包括常規(guī)的PID以及各種改進(jìn)型 PID［2－3］。PID控制的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)，但由于它是一種單自由度結(jié)構(gòu)的控制，其性能具有內(nèi)在的局限性，難以兼顧系統(tǒng)快速響應(yīng)與低超調(diào)之間的矛盾。

文獻(xiàn)［4］提出一種基于線(xiàn)性反饋和非線(xiàn)性反饋的復(fù)合非線(xiàn)性反饋(composite nonlinear feedback，CNF)控制技術(shù)，其核心思想是通過(guò)加入非線(xiàn)性反饋來(lái)動(dòng)態(tài)改變閉環(huán)極點(diǎn)的阻尼，以綜合輕阻尼系統(tǒng)的快速響應(yīng)性能和重阻尼系統(tǒng)的低超調(diào)特性，從而實(shí)現(xiàn)快速平穩(wěn)的設(shè)定點(diǎn)跟蹤。但文獻(xiàn)［4］的CNF控制沒(méi)有考慮擾動(dòng)因素的影響，當(dāng)系統(tǒng)中存在擾動(dòng)時(shí)，CNF控制下的系統(tǒng)輸出通常會(huì)有穩(wěn)態(tài)誤差。文獻(xiàn)［5－6］分別提出在CNF中嵌入積分控制和擾動(dòng)估計(jì)的方法來(lái)消除常值擾動(dòng)的影響，從而實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的定位。文獻(xiàn)［7］把CNF與近似時(shí)間最優(yōu)控制結(jié)合起來(lái)，以實(shí)現(xiàn)大范圍的準(zhǔn)確定位。文獻(xiàn)［4－7］的設(shè)計(jì)都是在連續(xù)時(shí)間域內(nèi)，設(shè)計(jì)的控制器最終必須經(jīng)過(guò)離散化后才能在實(shí)際系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)，這種模擬化設(shè)計(jì)通常要求一個(gè)30倍閉環(huán)帶寬的離散采樣頻率，否則實(shí)際控制性能將出現(xiàn)較大的偏差，從而增加了設(shè)計(jì)和調(diào)試的工作量。在離散時(shí)間域上直接設(shè)計(jì)出數(shù)字控制器是一個(gè)更合理的選擇。文獻(xiàn)［8］給出了在離散時(shí)間域上帶有積分控制的CNF設(shè)計(jì)方法。當(dāng)擾動(dòng)值或參考目標(biāo)有所變化時(shí)，積分控制造成系統(tǒng)瞬態(tài)性能惡化，往往需要重新整定參數(shù)才能恢復(fù)系統(tǒng)原來(lái)的瞬態(tài)性能。

本文在離散域CNF設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，舍棄積分控制，采用一種擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀(guān)測(cè)器來(lái)同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)未知狀態(tài)和未知擾動(dòng)的準(zhǔn)確估計(jì)，并用于反饋控制和擾動(dòng)補(bǔ)償，以實(shí)現(xiàn)理想的伺服跟蹤性能，其性能對(duì)給定目標(biāo)和擾動(dòng)值的變化不敏感，從而有利于實(shí)際應(yīng)用和推廣。

1 基于擾動(dòng)觀(guān)測(cè)的離散復(fù)合非線(xiàn)性控制

復(fù)合非線(xiàn)性反饋控制包含一個(gè)擾動(dòng)觀(guān)測(cè)和補(bǔ)償機(jī)制，以消除伺服系統(tǒng)中由擾動(dòng)引起的靜態(tài)偏差。該方法保持了現(xiàn)有CNF控制方法的快速、平穩(wěn)和準(zhǔn)確的性能，同時(shí)還具有很好的性能魯棒性，因而被稱(chēng)為魯棒復(fù)合非線(xiàn)性反饋(robust composite nonlinear feedback，RCNF)控制。

典型的伺服控制系統(tǒng)是一個(gè)控制輸入飽和受限的單輸入單輸出系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型為

式中:x∈Rn;u∈R;y∈Rp，h∈R，w∈R 分別為狀態(tài)變量、控制輸入、測(cè)量輸出、受控輸出和擾動(dòng)。A、B、C1、C2、E為定常矩陣。函數(shù)sat()為飽和限幅函數(shù)，定義為

假設(shè)系統(tǒng)滿(mǎn)足條件:

1)(A，B)可鎮(zhèn)定;

2)(A，C1)能觀(guān);

3)(A，B，C2)可逆，并且在 z=1處無(wú)不變零點(diǎn);

4)w是有界未知常值擾動(dòng);

5)h也是可測(cè)的，即它是測(cè)量輸出的一部分。

上述條件是跟蹤控制問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)條件。控制設(shè)計(jì)的目的是使帶擾動(dòng)的系統(tǒng)受控輸出h能盡快平穩(wěn)且無(wú)靜差地跟蹤參考輸入信號(hào)r。

由于假設(shè)擾動(dòng)是某個(gè)常值w，有

將式(3)加入系統(tǒng)模型中，得到增廣系統(tǒng)為

RCNF控制律的設(shè)計(jì)步驟為:①設(shè)計(jì)線(xiàn)性反饋律;②設(shè)計(jì)非線(xiàn)性反饋律;③設(shè)計(jì)觀(guān)測(cè)器來(lái)估計(jì)不可量測(cè)的狀態(tài)信號(hào)和未知常值擾動(dòng);④綜合線(xiàn)性反饋、非線(xiàn)性反饋和觀(guān)測(cè)器形成完整的控制律。

1)首先假設(shè)所有的狀態(tài)變量和擾動(dòng)都是可測(cè)量的。針對(duì)系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)一個(gè)帶有擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)木€(xiàn)性狀態(tài)反饋控制律為

其中F的選取應(yīng)滿(mǎn)足以下條件:

1)A+BF漸近穩(wěn)定;

2)閉環(huán)傳遞函數(shù)C2(zI－A－BF)－1B具有某種期望特性。

F的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是使閉環(huán)系統(tǒng)具有一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)，且其具有較小的阻尼比。這將使閉環(huán)系統(tǒng)具有快速的響應(yīng)。G和Fw分別選擇為

式(6)、式(7)中矩陣求逆的可行性是有保證的，因?yàn)橐鸭僭O(shè)(A，B，C2)可逆且在z=1處無(wú)不變零點(diǎn)。式(6)、式(7)的取值可保證在線(xiàn)性控制律(5)的作用下，系統(tǒng)輸出量h將漸近趨向于參考目標(biāo)r。

2)選擇一個(gè)正定矩陣W∈Rn×n，求解Lyapunov方程為

得到一個(gè)正定矩陣P，由于A(yíng)+BF漸近穩(wěn)定，此解總是存在的。

式中xe是系統(tǒng)狀態(tài)向量x(k)的穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值，且可以驗(yàn)證C2xe=r。RCNF的非線(xiàn)性反饋律為

式中ρ(e(k))是誤差e(k)=h(k)－r的非線(xiàn)性增益函數(shù)，用來(lái)逐漸改變閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比，以得到一個(gè)較好的跟蹤性能。

3)設(shè)計(jì)一個(gè)降階觀(guān)測(cè)器來(lái)估計(jì)不可量測(cè)的狀態(tài)變量和未知的擾動(dòng)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)在系統(tǒng)(1)的測(cè)量輸出矩陣為

相應(yīng)地，增廣系統(tǒng)(4)可被分割為

顯然，x1即為測(cè)量輸出y，所以?xún)H需估計(jì)x2和w。

定義

選擇觀(guān)測(cè)器增益矩陣K，將+K A12的特征值配置在z平面以原點(diǎn)為中心的單位圓內(nèi)。

得到的降階觀(guān)測(cè)器方程［8］為

4)將線(xiàn)性反饋律、非線(xiàn)性反饋律和降階觀(guān)測(cè)器合并成最終的控制器，其中，不可量測(cè)的狀態(tài)變量和未知擾動(dòng)被各自的估計(jì)值代替。

基于觀(guān)測(cè)器(11)的離散RCNF控制律為

2 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

控制律(11)、(12)能解決系統(tǒng)(1)的定點(diǎn)跟蹤問(wèn)題。為便于推導(dǎo)，對(duì)反饋增益陣F和Fn進(jìn)行分解，使其與x1和x2相一致，即

選取一個(gè)正定矩陣 WQ∈R(n－p+1)×(n－p+1)，滿(mǎn)足

求解關(guān)于正定矩陣Q的Lyapunov方程為

定理1 考慮式(1)給出的系統(tǒng)，其中未知擾動(dòng)w的幅值以某個(gè)非負(fù)常數(shù)τw為界，即。在下列條件全部滿(mǎn)足的情況下，存在一個(gè)常數(shù)ρ^>0，使得對(duì)于滿(mǎn)足的任一平滑非正函數(shù)ρ(e(k))，由式(11)和式(12)構(gòu)成的RCNF控制律能使系統(tǒng)的受控輸出h(k)漸近無(wú)靜差地跟蹤定值參考目標(biāo)r:

1)存在正常數(shù)δ∈(0，1)和cδ>0滿(mǎn)足

為了表達(dá)簡(jiǎn)單，省略非線(xiàn)性函數(shù)ρ(e(k))的參數(shù)e(k)，并且在不引起混淆的情況下省略時(shí)間索引(k)。

可驗(yàn)證式(20)成立，為

則系統(tǒng)的誤差動(dòng)態(tài)方程可表示為

根據(jù)控制信號(hào) u的幅值范圍，由式(19)和式(22)，v可以表示為

顯然對(duì)所有可能的情況v均可以寫(xiě)為

需要證明當(dāng)初始條件x0、xv0，參考目標(biāo)r和擾動(dòng)w滿(mǎn)足定理中的限制條件時(shí)，誤差動(dòng)力學(xué)方程(26)是漸近穩(wěn)定的。

即系統(tǒng)輸出h(k)漸近無(wú)靜差地跟蹤參考目標(biāo)r。

定理1證畢。

由式(26)的誤差動(dòng)力學(xué)方程可以看出:閉環(huán)系統(tǒng)的特征根可隨ρ(e(k))和矩陣P而改變，而P由W陣來(lái)決定。通過(guò)合理選擇W和ρ(e(k))的參數(shù)，可以調(diào)整控制律從而改進(jìn)閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)。總的來(lái)說(shuō)，應(yīng)選擇一個(gè)合適的矩陣W>0陣和ρ(e(k))，以使得在穩(wěn)態(tài)(e(k)=0)時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)具有一對(duì)較大阻尼比的主導(dǎo)極點(diǎn)。這將有助于抑制系統(tǒng)輸出響應(yīng)的超調(diào)量。W的選擇不是唯一的。一種可行的方法是把W陣限定為對(duì)角正定陣，并通過(guò)仿真來(lái)調(diào)整對(duì)角元素的值。

選取ρ(e(k))的一般準(zhǔn)則是:它是關(guān)于e(k)的平滑非正函數(shù)，且 ρ(e(k))∈［－2/(BTPB)，0］。一種可行的但不是唯一的選擇為

ρ(e(k))= －β/(BTPB)sech(α α0e(k))， (31)式中0≤α;0≤β≤2;sech()是雙曲正割函數(shù)，sech(x)=2［exp(x)+exp(－x)］，顯然0

當(dāng)h趨近于r時(shí)，ρ(e(k))將從－β/(BTPB)×sech(α)逐漸減小到 －β/(BTPB)。參數(shù) α 可調(diào)節(jié)ρ(e(k))的變化率。

3 仿真研究

將系統(tǒng)模型按采樣周期Ts=0.01s進(jìn)行基于零階保持器的離散化，得到如式(1)所示的離散狀態(tài)空間模型，對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣為

選擇一對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)的阻尼比為0.4，自然頻率為π，從而得到線(xiàn)性反饋控制律(5)中的參量為

由于 B=E，可知Fw= －1，Gw=0。

選取矩陣W為對(duì)角陣diag(100，1)，得到非線(xiàn)性反饋律(10)中各矩陣為

非線(xiàn)性增益函數(shù)為

其中參數(shù)α0按式(32)計(jì)算。

將系統(tǒng)按式(4)增廣后設(shè)計(jì)一個(gè)降階觀(guān)測(cè)器來(lái)估計(jì)狀態(tài)變量和擾動(dòng)信號(hào)。把觀(guān)測(cè)器的極點(diǎn)按Butterworth模式配置，其截止頻率選為采樣頻率的10%，得到觀(guān)測(cè)器增益矩陣為

相應(yīng)地，根據(jù)式(11)可得觀(guān)測(cè)器方程為

最終的離散RCNF控制律為

為了進(jìn)行比較，按照文獻(xiàn)［8］提出的基于誤差積分的增強(qiáng)復(fù)合非線(xiàn)性反饋(enhanced composite nonlinear feedback，ECNF)控制方案設(shè)計(jì)控制器為

RCNF控制器和ECNF控制器的控制信號(hào)需經(jīng)過(guò)飽和限幅后才能進(jìn)入系統(tǒng)的輸入端。2個(gè)控制器都在r=0.1和w=－0.2的標(biāo)稱(chēng)情況下進(jìn)行參數(shù)整定，確保其具有優(yōu)越的性能:2%調(diào)節(jié)時(shí)間為1 s，超調(diào)量很小。隨后，分別改變參考目標(biāo)r和擾動(dòng)w的值，在Matlab/SIMULINK環(huán)境下進(jìn)行仿真比較。仿真結(jié)果如圖1～圖3所示。可以看出:在各種條件下，2個(gè)控制器都能實(shí)現(xiàn)對(duì)參考目標(biāo)的漸近無(wú)靜差跟蹤，即穩(wěn)態(tài)誤差為零，同時(shí)控制量u穩(wěn)態(tài)趨向于擾動(dòng)的相反值，剛好抵消擾動(dòng)信號(hào);但標(biāo)稱(chēng)情況下具有良好性能的ECNF控制器對(duì)參考目標(biāo)和擾動(dòng)的變化非常敏感，其瞬態(tài)性能發(fā)生很明顯的惡化;而RCNF控制器在各種目標(biāo)或擾動(dòng)值下的性能基本保持不變。圖1中RCNF控制器在3種目標(biāo)值下的調(diào)節(jié)時(shí)間都在1 s左右，無(wú)明顯超調(diào)。圖2中RCNF控制器在3種擾動(dòng)值下的系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線(xiàn)幾乎重合在一起。圖3表明在控制信號(hào)飽和情況下(w=－0.2)，RCNF控制器仍具有良好的性能，盡管其調(diào)節(jié)時(shí)間隨參考目標(biāo)的增大略有增加。綜合以上結(jié)果，RCNF控制器可以在不同的擾動(dòng)和目標(biāo)值條件下正常工作，即其性能具有較好的魯棒性。

圖1 仿真結(jié)果(w=－0.2，r=0.05，0.1，0.2)Fig.1 Simulation results for w= －0.2 and r=0.05，0.1，0.2

圖2 仿真結(jié)果(r=0.1，w=0.2，－0.2，－0.6)Fig.2 Simulation results for r=0.1 and w=0.2，－0.2，－0.6

圖3 控制信號(hào)飽和時(shí)的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results in case of control saturation

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種離散時(shí)間復(fù)合非線(xiàn)性反饋控制方案，用于實(shí)現(xiàn)快速和準(zhǔn)確的定點(diǎn)跟蹤。控制律以復(fù)合非線(xiàn)性反饋控制為主體，利用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀(guān)測(cè)器來(lái)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)和擾動(dòng)信號(hào)并進(jìn)行補(bǔ)償。在一個(gè)典型的雙積分伺服系統(tǒng)上進(jìn)行仿真研究并與基于積分控制的CNF控制方案進(jìn)行比較。結(jié)果表明:提出的控制方案可以實(shí)現(xiàn)快速、平穩(wěn)和準(zhǔn)確的伺服定位，且其性能具有更好的魯棒性。進(jìn)一步的研究工作將考慮時(shí)變的擾動(dòng)信號(hào)。

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