一類欠驅動Lagrangian系統的位置同步控制

周荻， 朱東方

(哈爾濱工業大學航天學院，黑龍江哈爾濱 150001)

0 引言

多運動軸或多驅動器間的運動同步問題，在現代制造工藝的發展過程中越來越多地引起人們的關注。Koren［1］首次提出了交叉耦合的概念解決運動同步問題。Rodriguez Angles等［2］采用一種反饋控制加非線性觀測器的耦合同步控制策略實現了機械臂的位置同步控制。Sun Dong和 Liu 等［3－5］利用 Lyapunov 設計方法得到了一種自適應交叉耦合同步控制器，實現了多個機械臂的同步操縱和多個運動軸之間的同步運動控制。Shan Jinjun等［6］針對由多個三自由度直升機構成的系統設計了基于模型的交叉耦合同步控制器，取得了很好的同步效果。Sun Dong等［7］提出了一種無模型交叉耦合同步跟蹤控制策略實現了多運動軸的位置同步。曹玲芝等［8］基于相鄰交叉耦合對多感應電機設計了滑模同步控制器，該控制器具有很好的同步性和魯棒性。以上研究成果中的被控對象均為全驅動系統，得到的相應控制策略無法直接挪用到欠驅動系統的同步控制問題中。

欠驅動系統是控制輸入數目少于系統自由度的系統，即利用較少數目的控制量來實現系統的控制，在簡化系統結構，降低系統復雜程度，節省能量和裝置重量的方面，具有很大的優勢。然而對于欠驅動系統的同步控制研究還較少，而且研究成果主要是針對具體的被控對象。Zhou Di等［9］分別采用同步誤差積分引入線性二次型性能指標的方法和Backstepping方法，設計了開環和閉環操縱航天器回轉運動時雙轉子控制力矩陀螺的同步控制律。Tsai等［10］針對并行雙倒立擺同步運動系統在設計了兩個子系統的穩定控制器后，設計了同步運動控制器，使兩個子系統運動達到同步。本文針對一類欠驅動同步運動系統，研究其同步控制器的設計方法。

1 同步誤差

考慮欠驅動同步運動系統由n個獨立的欠驅動子系統構成，用qi代表第i個子系統的廣義位置坐標。當第i個子系統跟蹤指令信號qdi時，定義相應位置誤差為ei=qi－qdi，i=1，2，…，n，可利用文獻［3］中定義的同步函數求取相應的同步誤差。同步誤差反映了各子系統相應運動軸間的運動的不同步程度。對于同步誤差也可以定義為一個子系統的運動軸與其相鄰的子系統的相應運動軸間位置誤差的線性組合［5］，寫成矩陣的形式為

同步控制策略最終目標是達到e1=…=en=0，因此設計的控制器需保證位置誤差e和同步誤差ε均趨近于零。由位置誤差和同步誤差構造耦合位置誤差為

其中:I為單位矩陣;α為選定的對角型正實增益矩陣。α的大小直接關系到同步控制效果的好壞，α越大系統的同步性能越好。由式(2)可知，當e*→0時，有e→0成立，進而由式(1)得到ε→0，此時系統具有較好的同步協調運動的瞬態性能。文獻［3］中定義位置同步誤差積分 與位置誤差的和作為耦合位置誤差，設計了同步運動系統的自適應同步控制器，雖然該控制器能夠保證位置同步誤差最終趨于零，但當耦合位置誤差趨于零時，此時位置同步誤差并不一定等于零，而系統有可能繼續做協調運動，從而無法保證系統同步協調運動時的瞬態性能。

2 同步控制器

研究的一類欠驅動Lagrangian同步運動系統中子系統的動力學模型可統一描述，其中第i個子系統的動力學模型為［11］

其中:Mi(qi)表示系統的正實慣性矩陣;Ci(qi)代表科里奧利力和向心力的矩陣;Gi(qi)代表重力的矩陣，qi∈Rn代表系統的廣義位置坐標，ui∈R為系統輸入。由系統慣性矩陣Mi(qi)的正實性的性質，在式(3)兩邊均左乘(qi)整理可得

由式(5)可以得到系統(3)跟蹤指令信號qdi時的誤差狀態方程為

其中

針對這一類欠驅動Lagrangian系統，Hao Yinxing等［12］采用了一種遞階滑模變結構控制策略設計了其魯棒穩定控制器。這里采用遞階滑模變結構的思想設計同步控制器。根據式(2)耦合誤差的構造方法，設計第一級滑模面

其中，c1和c2為符號相同的常數。

進而由第一層滑模面構造第二級滑模面

其中c3為常數。同樣可以依次構造滑模面，直至系統的所有狀態變量都包含在滑模面中。第j層滑模面為sj=cj+1+sj－1。在系統(6)中有 2n 個狀態變量，所以其最后一級滑模面為s2n－1。

對系統(6)定義其Lyapunov函數

式(9)對t求導可得

根據式(10)設計系統的滑?？刂破?/p>

其中:K>0;ηk=2ηk－1;η1為正常數;

滑模控制律(11)保證系統滿足到達條件，使系統的狀態變量在滑模面上運動。當最后一層滑模面s2n－1趨近于零時，ui中包含 s2n－1的控制項消失，從而控制律(11)簡化為滑模面s2n－2的等價控制和切換控制，進一步使s2n－2趨近于零，依次使沿著各層滑模面的運動完成，直到s1最終也趨近于零。

定理1 采用滑模控制律(11)時，系統(6)是漸近穩定的，且其位置誤差以及同步誤差漸近趨近于零，即當 t→∞ 時，ei→0 和 εi→0。

證明:對式(10)兩邊積分，并將式(11)代入得

根據ηk的定義可得

Vj(t)對t求導可得

由控制律(11)得

根據ηk的定義可得

從而可進一步得到不等式

式(16)可以描述為

對式(19)兩邊積分可得

3 實例研究

3.1 兩部倒立擺裝置的同步控制實驗

為了驗證所設計的同步控制器的有效性，對由兩部一級倒立擺裝置構成的實際實驗系統［10］進行了實時同步控制實驗。對于一級倒立擺系統建立其數學模型為

圖1 未采用同步策略獨立跟蹤控制實驗結果Fig.1 The experimental response without synchronization control scheme

其中:M為小車質量(M=1.37 kg);m為擺桿質量(m=0.107 kg);l為擺桿轉動軸心到桿質心的長度(l=0.25 m);g為重力加速度(g=9.82 m/s2);u為加在小車上的作用力;x代表小車位置;φ代表擺桿與垂直向上方向的夾角。

圖2 采用比例耦合同步控制策略實驗結果Fig.2 The experimental response with proportion coupling synchronization control scheme

圖3 采用積分耦合同步控制策略實驗結果Fig.3 The experimental response with integral coupling synchronization control scheme

從圖1可以看出，采用獨立跟蹤控制時雖然能夠滿足每個裝置的跟蹤性能，但存在較大的同步誤差，小車位置同步誤差峰值達73.7 mm，擺角同步誤差峰值達4.5°。圖2顯示采用比例耦合同步控制器時同步運動系統不僅滿足跟蹤性能要求，而且具有較小的同步誤差，小車位置同步誤差峰值小于28.3 mm，擺角同步誤差峰值小于2.1°。比較圖2(c)～2(d)和圖3(c)～3(d)可以看出，所設計的比例耦合同步控制器的同步性能優于積分耦合同步控制器的小車同步誤差峰值31.4 mm和擺角同步誤差峰值3.6°的性能。

3.2 4部倒立擺裝置的同步控制仿真

進一步對4部倒立擺裝置的同步運動系統進行同步控制研究，同步運動系統是由ADAMS軟件搭建的虛擬物理模型。為了更接近實際物理模型，在小車和導軌之間加入摩擦力，其中靜態摩擦系數設定為0.1 N·s/m，動態摩擦系數為0.05 N·s/m。小車的跟蹤指令信號為幅值100 mm，周期為20 s的方波信號。根據2節同步控制器設計過程，結合倒立擺裝置的結構參數，選取具體的參數為c1=－1.2，c2= － 1，c3=3.5，c4=1，K=0.5，η1=0.05，α=5I4(I4為單位矩陣)。為了測試系統性能，在15 s對倒立擺裝置1的小車施加脈沖干擾。圖4為采用獨立跟蹤控制時系統的仿真結果(α=0)。圖5為采用本文所設計的比例耦合同步控制策略時的仿真結果。圖6為采用積分耦合同步控制策略時的仿真結果，其中，β=10I4(I4為單位矩陣)。

圖4顯示采用獨立跟蹤控制時，系統的跟蹤性能雖然可以滿足，但無法保證整個系統的同步性能，小車位置同步誤差峰值達143 mm，擺角同步誤差峰值達6.2°。從圖5可以看出，采用本文所設計的比例耦合同步控制器時，不僅保證了系統的跟蹤性能，而且系統的同步性能也得到了改善，小車位置同步誤差峰值小于39.3 mm，擺角同步誤差峰值小于1.4°。比較圖5(c)～5(d)和圖6(c)～6(d)可以看出，比例耦合同步控制器的同步性能優于積分耦合同步控制器的小車同步誤差峰值45.5 mm和擺角同步誤差峰值5°的性能，同步協調運動的瞬態性能更好。

圖4 未采用同步策略獨立跟蹤控制仿真結果Fig.4 The simulation result without synchronization control method

圖5 采用比例耦合同步控制策略仿真結果Fig.5 The simulation result with proportion coupling synchronization control scheme

圖6 采用積分耦合同步控制策略仿真結果Fig.6 The simulation result with integral coupling synchronization control scheme

4 結語

針對一類欠驅動Lagrangian系統定義位置誤差加位置同步誤差作為新的狀態變量引入到遞階滑模控制器中，設計了一種交叉耦合位置同步控制器。所研究的同步控制器適用于多個(n≥2)單驅動輸入欠驅動Lagrangian系統的同步控制。將該同步控制器應用到對由兩部倒立擺裝置的同步運動系統的實時控制實驗和對由四部倒立擺裝置的同步運動系統的仿真實驗，均獲得了滿意的同步控制效果。所設計的同步控制器在控制同步運動系統時能達到很好的同步性能，且可保證系統對指令信號的精確跟蹤，同時具有較強的抗干擾能力。

［1］KOREN Y.Cross-coupled biaxial computer controls for manufacturing systems［J］.ASME Journal of Dynamic Systems，Measurement，and Control，1980，102(2):256 － 272.

［2］RODRIGUEZ-ANGLES A，NIGMEIJER H.Mutual synchronization of robots via estimated state feedback:a cooperative approach［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2004，12(4):542－554.

［3］SUN Dong，MILLS J K.Adaptive synchronized control for coordination of multirobot assembly tasks［J］.IEEE Transactions on Robotics and Automation，2002，18(4):498－510.

［4］SUN Dong.Position synchronization of multiple motion axes with adaptive coupling control［J］.Automatica，2003，39:997 －1005.

［5］LIU H T，SUN Dong.Uniform synchronization in multi-axis motion control［C］//2005American Control Conference.Portland，OR，USA:ACC，2005:4537－4542.

［6］SHAN J，LIU H T，NOWOTNY S.Synchronised trajectory-tracking control of multiple 3-DOF experimental helicopters［J］.IEE Proc Control Theory Appl，2005，152(6):683 －692.

［7］SUN Dong，SHAO Xiaoyin，FENG Gang.A model-free cross-coupled control for position synchronization of multi－axis motions:Theory and Experiments［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2007，15(2):306－314.

［8］曹玲芝，李春文，牛超，等.基于相鄰交叉耦合的多感應電機滑模同步控制［J］.電機與控制學報，2008，12(5):586－592.

CAO Lingzhi，LI Chunwen，NIU Chao，et al.Synchronized slidingmode control for multi-induction motors based on adjacent cross-coupling［J］.Electric Machines and Control，2008，12(5):586 －592.

［9］ZHOU D，SHEN T L，TAMURA K.Adaptive nonlinear synchronization control of twin-gyro precession［J］.ASME Journal of Dynamic Systems，Measurement，and Control，2006，128(3):592 －599.

［10］TSAI M C，SHEN B H.Synchronization control of parallel dual inverted pendulums driven by linear servomotors［J］.IET Control Theory Application，2007，1(1):320－327.

［11］SPONG Mark W.Partial feedback linearization of underactuated mechanical systems［C］//Proceedings of the IEEE/RSJ/GI International Conference on Intelligent Robots and Systems.Munich，Germany:IEEE，1994:314－321.

［12］HAO Yinxing，YI Jianqiang，ZHAO Dongbin，et al.Robust control using incremental sliding mode for underactuated systems with mismatched uncertainties［C］//2008American Control Conference.Washington，USA，2008:532－537.