一種步長為對角陣的正交數據投影算法

郭藝奪,張永順,童寧寧,沈 堤

(空軍工程大學導彈學院,陜西 三原 713800)

0 引言

基于特征子空間的算法的共同特點是需進行特征分解,但特征分解的運算量大,算法復雜,工程實現較難。此外,這些特征分解及特征子空間方法是一類批處理方法,即在獲得所有觀測數據后進行一次性處理。顯然,這種處理方法只適于參數或統計特性不隨時間變化的系統和信號,而不適于參數或統計特性時變的系統和信號。對此,研究者提出用子空間迭代和更新算法改進特征子空間算法。YANG于1995年提出的映射逼近子空間算法是應用較廣的一種估計信號子空間的快速算法,該算法的本質是無約束最優化,其結構簡單,只需迭代更新1個參數,缺點是不能提供正交估計[1]。文獻[2、3]分別提出了改進的正交化算法,雖可獲得正交的信號子空間基的估計,但算法結構復雜,運算量有所增加,需實時更新4個參數。文獻[4]提出了一種跟蹤噪聲子空間的FRANS算法,對數據映射方法采用快速正交化措施,但該種正交化處理并不穩定且出現發散。

基于數據投影算法,本文提出了一種步長為對角陣的正交DPM算法。

1 信號及噪聲子空間的正交迭代

文獻[5]證明,在平穩狀況下所希望的靜態權重可通過極小化(對應噪聲子空間估計)或極大化(對應信號子空間估計)線性組合器輸出的均方值(代價函數)Ψ求得,即

式中：E為數學期望;Y,X分別為線性組合器的輸出和輸入矢量;R為輸入矢量的協方差陣;U為N×m階加權陣,服從正交化約束條件

此處：Im為單位陣;上標H表示共軛轉置。顯然,若信源數為L,對信號子空間的估計可選擇m=L,而對噪聲子空間的估計,則選擇m=N-L。

因式(1)的代價函數Ψ是一約束極值化問題,顯然可用梯度法(GET)實現,即權矩陣的更新為

式中：T(n)為第n次迭代時GET法獲得的加權矩陣的估值;μ為收斂速率;n=1,2,…;Δ(n)為Ψ相對U(n)的梯度估計子,且

則式(3)、(4)可寫成

式中：Q(R)=I±μR。則可得

因R的特征值為減函數,式(7)中取“+”時為最大化問題,為估計信號子空間;取“-”時,為最小化問題,即為估計噪聲子空間。

當數據的R無法一次性獲得,而只能獲得連續的數據矢量序列{x(n)}時,可用一自適應估計R(n)替代式(7)中的R,且R(n)滿足E[R(n)]=R。則自適應的正交迭代算法可表示為

顯然,求解R(n)最簡形式是對數據協方差矩陣的即時估計方法,即R(n)=x(n)(x(n))H。此處：x(n)為時刻n的數據矢量。則式(8)可表示為

式(9)～(11)即為常規DPM[5]。

2 步長為對角陣的正交DPM

觀察DPM可發現：該算法每次迭代對T(n)的每列都使用相同步長μ。可預見,若每次迭代對T(n)的每列使用不同步長,則DPM的性能將會有進一步提高,因為子空間每列可有不同的動態收斂速度。因此,本文在DMP算法的基礎上,每次迭代時對T(n)的每列應用不同的步長,并對所得每列進行正交歸一化處理以使獲得的U(n)為標準正交陣。

2.1 算法描述

記第n次迭代中每列使用的步長為μr(n)(r=1,…,m),則可得

為使U(n)為標準正交矩陣,在每次迭代提取第r個特征向量Tr(n)時,將其與前r-1個已得的特征向量作單位正交化處理,以保證已估得的r個特征向量均正交。同樣如此提取第r+1個特征向量,依此類推,直至所有特征向量都提取完。這樣,在每次迭代提取任一特征向量時都保證此特征向量與之前估計的特征向量正交,從而保證所有特征向量相互正交。設

為第n次迭代時r-1個已得的單位正交特征向量;Wr(n)為第n次迭代時第r個正交特征向量;Ur(n)為第n次迭代時第r個單位正交特征向量,則在第n次迭代時第r個特征向量時的單位正交化模型為

需指出,當r=1時,U1(n)可直接對T1(n)進行單位化,即

2.2 最優對角陣步長求取

由前文可知,DPM算法在第n次快拍的代價函數

若忽略正交單位化這一個步驟,式(16)可用E[tr((T(n))HR(n)T(n))]近似表示。將T(n)代入其中,可得

式中：yr(n)為y(n)的第r個元素,且yr(n)=(Ur(n-1))Hx(n)。

為求得最優的步長因子μr(n),用式(17)對μr(n)求偏導,并令該偏導為0,即

式中：r=1,…,m。求解式(18)可得

假設Ur(n-1),x(n)相互獨立,則可得μr(n)的估值

式中：γ,σ為可提高算法穩定性的正常數,0＜γ＜1;

此處：α為遺忘因子,且0＜α＜1;

3 仿真

因估計信號子空間的算法的性能與估計噪聲子空間的算法性能基本相同,仿真中只對估計噪聲子空間的算法進行分析。仿真中,取α=0.998,γ=0.12,σ=0。

3.1 算法跟蹤性能分析

迭代初始值U(0)取為L×L單位矩陣的前m列,陣元數為10。本文用MUSIC算法估計信號源的到達方向(DOA)[7]。

仿真1(算法對機動目標的跟蹤性能)：采用100次觀察,3個獨立信號源,方位分別為30°,-20°,-60°,其中30°信號源在前50個快拍按-0.2°/每次快拍數變化,后50個快拍信號的方位變為45°,并按0.3°/每次快拍數變化;-20°信號源為一固定信號源;-60°信號源按0.2°/每次快拍數變化。仿真結果如圖1所示。圖中：θ為目標的方位角。

圖1 對機動目標的跟蹤性能Fig.1 Tracking performance of mobiletarget

仿真2(算法對角度交叉目標跟蹤性能)：采用200次觀察,2個獨立信號源,方位分別為30°,-30°,其中-30°信號源按0.3°/每次快拍數變化,30°信號源按-0.3°/每次快拍數變化。仿真結果如圖2所示。

圖2 對角度交叉目標的跟蹤性能Fig.2 Tracking perf ormance of crossing targets

由圖1、2可知：本文的步長為對角陣的正交DPM算法均以較高的精度和穩定性跟蹤各種目標,說明本文算法有效。

3.2 算法統計性能分析

仿真中,取數據協方差陣

其中：L=4,m=2。R的特征值為0.015 7,0.169 0,0.605 8,2.309 6。為描述算法的統計性能,定義反映算法統計性能的平均性能因子為

式中：r為每次快拍算法運行的次數,仿真中r0=50;表示取Frobenius范數;E1,E2分別表示實際的信號和噪聲子空間[8]。ρ(n)表征噪聲子空間的估計精度,若欲衡量信號子空間的估計精度,則只需將ρ(n)中的E1,E2互換即可。η(n)表示估計噪聲子空間的正交性誤差。初始值U(0)選為矩陣IL的前2列,約束條件為(U(0))HU(0)=IM。

文獻[4]FRANS算法、文獻[9]FDPM算法與本文算法的比較分別如圖3、4所示。仿真中僅取H(R)=R估計噪聲子空間的這種算法。其中,FRANS,FDPM算法中μ=0.02。

圖3 不同算法的跟蹤精度Fig.3 Tracking precision of various algorithms

由圖3可知：FRANS,FDPM兩種算法的跟蹤精度曲線基本重合,其跟蹤性能基本相同,但與本文算法相比,其跟蹤精度較差,這是因為本文算法的每次迭代對U(n)的每列應用的步長不同,提高了性能。由圖4可知：FDPM算法和本文算法是穩定的,FRANS算法正交性誤差隨迭代次數的增加而迅速增大,但本文算法噪聲子空間估計的正交誤差小于FDPM算法。

圖4 不同算法的正交性誤差Fig.4 Orthonormal error of various algorithm

4 結束語

本文在常規的DPM算法的基礎上,提出一種步長為對角陣的正交DPM算法。該算法每次迭代時對估計的子空間的每列應用不同的步長,并對所得的每列作正交歸一化處理,由此保證估計的子空間為標準正交,運行時不存在累積性誤差;又因采用“自適應”而非固定步長,能更好地匹配子空間的動態收斂速度。因此,相對其他算法(如FRANS,FDPM算法)來說,該算法的跟蹤性能更優。仿真結果驗證了算法的有效性。

[1]YANG B.Projection approximation subspace tracking[J].IEEE Transaction Signal Process,1995,43(1)：95-107.

[2]CHONAVEL T,CHAMPAGNEB,RIOU C.Fast adaptive eigenvaluede composition：A maximum likelihood approach[J].Signal Process,2003,51(4)：307-324.

[3]CHAMPAGNE B,LIU Q G.Plane rotation-based EVD updating schemes for efficient subspace tracking[J].IEEE Transaction Signal Process,1998,46(7)：1886-1900.

[4]ATTALAH S.The generalized Rayleigh's quotient adaptive noise subspace algorithm：A householder transformation-based implementation[J].IEEE Transaction Circuits System II,2006,53(1)：3-7.

[5]YANG J F,KAVEH M.Adaptive eigensubspace algorithms for direction or frequency estimation and tracking[J].IEEE Transaction on ASSP,1988,36(2)：241-251.

[6]HAYKIN S.Adaptivefilter theory[M].Upper Saddle River：Prentice Hall,2002.

[7]SCHMIDT RO.M ultiple emitter location and signal parameter estimations[J].IEEE Transaction Antennas and Propagation,1986,34(3)：276-280.

[8]ABED-MERAIM K,ATTALAH S,CHKEIF A,et al.Orthogonal OJA algorithm[J].IEEE Signal Process.Letters,2000,7(5)：116-119.

[9]DOUKOPOULOS X G,MOUSTAKIDES G V.The fast data projection method for stable subspace tracking：The 13thEurope Signal Process Conference EUSIPCO'2005[C].EUSIPCO,2005.