數(shù)學(xué)符號在解題中的“啟思”功能

王成營 孫祖萬

摘要： 數(shù)學(xué)問題是以某種符號表征的，數(shù)學(xué)符號在解題過程中具有三個方面的“啟思”作用：聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識、尋找可能的解題方法、優(yōu)化解答過程表征.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)注意充分發(fā)揮數(shù)學(xué)符號的“啟思”功能，讓學(xué)生能夠通過數(shù)學(xué)符號的相關(guān)特征找到解決問題的“鑰匙”.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)符號解題過程啟思

在當前的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師一般都是向?qū)W生解釋解題過程或向?qū)W生呈現(xiàn)多種解法，卻很少解釋為什么要這樣解題，這樣解題的依據(jù)是什么，老師是怎樣想到這種方法的，又是如何想出這么多方法的。如果不解決這些問題，學(xué)生只能機械地模仿，在不斷地解題訓(xùn)練中去自己領(lǐng)悟、總結(jié).隨著新課程改革的實施，許多教師開始注意在解題過程中啟發(fā)學(xué)生的思維，但“啟思”的方式主要有三種：通過提問或設(shè)問讓學(xué)生為了回答問題而思考、通過創(chuàng)設(shè)問題情境讓學(xué)生為了解決問題而思考、通過組織數(shù)學(xué)活動讓學(xué)生體驗到問題而思考.但所有方式的共同點都是讓學(xué)生理解解題的過程，而不是自己去發(fā)現(xiàn)解題方法.那么，有沒有引導(dǎo)學(xué)生自己尋找解題方法的途徑呢？

任何數(shù)學(xué)問題都是以某種符號表征的，數(shù)學(xué)符號在解題過程中具有三個方面的“啟思”作用：聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識、尋找可能的解題方法、優(yōu)化解答過程表征.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)注意充分發(fā)揮數(shù)學(xué)符號的“啟思”功能，讓學(xué)生能夠通過數(shù)學(xué)符號的相關(guān)特征找到解決問題的“鑰匙”.下面通過一個題目的解答過程具體介紹數(shù)學(xué)符號在解題中的“啟思”作用.

例題：已知△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B，+=-，求cos的值.

一、通過分析數(shù)學(xué)符號的意義聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識，為尋找解題方法做好知識準備。

數(shù)學(xué)符號的種類可以簡單地劃分為：名稱符號、關(guān)系符號、運算符號、邏輯符號，而數(shù)學(xué)符號的主要意義是：表示數(shù)量關(guān)系；表示公式；解釋關(guān)系；說明規(guī)律；實施運算和推理；借助符號，用于建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，推測結(jié)論等.在解題的過程中要充分發(fā)揮它的作用，通過數(shù)學(xué)符號的意義聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識，以便為解題做好知識準備.

結(jié)合上面的問題，我們可以從題目的表述中獲得哪些數(shù)學(xué)信息，聯(lián)想到哪些數(shù)學(xué)知識呢？首先要明確問題的已知條件和需要求解或求證的結(jié)論，從而判定它是一個什么樣的問題，屬于哪個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問題.其次，根據(jù)已知條件聯(lián)想它與所學(xué)的那些知識相關(guān)，能夠得出什么結(jié)論.最后，根據(jù)問題的類型和需要求解或求證的結(jié)論聯(lián)想它通常用什么方法.那么，上面的題目是一道什么類型的問題呢?不難發(fā)現(xiàn)，題目中有cosA、cosC、cosB，以及問題是求cos的值，所以它是一道已知三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值的計算題.這個問題的已知條件有哪些？是否只有A+C=2B與+=-兩個數(shù)學(xué)等式呢？許多學(xué)生容易忽略條件“△ABC的內(nèi)角A、B、C”，事實上這也是一個重要條件.這樣，我們共找到三個已知條件：①△ABC的三個內(nèi)角A、B、C；②A+C=2B；③+=-.由①可聯(lián)想到④A+B+C=180°；由②式與④式又可得到⑤A+C=2B=120°，從而③式變?yōu)棰?=-2.求三角函數(shù)值一般有兩種方法：一是代數(shù)法，即利用學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)關(guān)系式從已知三角關(guān)系式中推導(dǎo)或求解出所求的三角形函數(shù)值，這些三角形函數(shù)關(guān)系式包括和差公式、差角公式、半角公式、二倍角公式、和差積化公式、積化和差公式等.二是幾何法，即利用三角形函數(shù)線把三角關(guān)系式和三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為幾何問題求解.

二、通過分析數(shù)學(xué)符號的結(jié)構(gòu)和特征尋找可能的解題方法。

數(shù)學(xué)符號具有抽象性、簡潔性、一般性等基本特性.因其具有抽象性的特性，在解題時就需要對題目的結(jié)構(gòu)和特征進行詳細的解讀，一個簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系式，也許就會成為解題不可缺少的因素.只有在分析清楚了數(shù)學(xué)符號所要表達的意義，以及題目本身所具有的特征，才能為解題尋找可能的途徑和方法.那么，如何選擇恰當?shù)墓絹斫鉀Q這個問題呢？

首先，考慮用代數(shù)法，通過三角函數(shù)公式尋找已知三角關(guān)系式與所求三角函數(shù)值的關(guān)系.（1）根據(jù)求解的三角函數(shù)的形式特征，由cos可聯(lián)想到半角公式⑦cos=±，也可以由=-聯(lián)想到兩角和公式⑧cos=cos（-）=cos?cos+sin?sin.根據(jù)⑦式，我們需要判定的范圍及cos（A-C），反而使問題變得更復(fù)雜了.根據(jù)⑧式，我們需要求解，的三角形函數(shù)值.因為已知條件+=-2可變形為=-2，根據(jù)它的形式特征可聯(lián)想到和化積公式與積化和差公式，而且在結(jié)果中會出現(xiàn)cos（所求）與cos（已知），從而得到一個關(guān)于cos的方程，從而解決問題.（2）由于A+C=120°表示的是兩角之和，若設(shè)=α，即A-C=2α，則可解得A=60°+αC=60°-α，代入⑥式中可得到一個關(guān)于α的方程，從而解決問題.（3）同理，由于+=-2也具有兩數(shù)之和的形式，若設(shè)-=2m，則可得cosA=cosC=，而A=120°-C，==60°-C，所以只要求解關(guān)于角C的方程也可以解決問題.其次，考慮用幾何法，可以發(fā)現(xiàn)在單位圓中很難將條件與結(jié)論都同時用三角函數(shù)比表示出來.因此，幾何法是不可行的.

三、通過選擇恰當?shù)臄?shù)學(xué)符號優(yōu)化解答過程的表述。

由上可知，對于一道題目，我們可以根據(jù)符號的特征，從不同的視角，發(fā)現(xiàn)和探索出多種解題技巧和方法，但是不同的解題方法難易程度不同，對思維和能力的要求也不同.有的方法不容易發(fā)現(xiàn)，有的解答過程可能很復(fù)雜，因此，我們需要對解題方法和解答過程進行選擇和優(yōu)化，選擇一種比較簡單明了的方法去表述解答過程.通過上面的分析，我們可以得到三種不同的解題方法.

解：因為A，B，C為三角形ABC的三個角，所以A+B+C=180°.又A+C=2B，所以A+C=120°，B=60°，+=-=-2.

解法一：由+==-2得cosA+cosC=-2cosC?cosA.

由和積互化公式得2cos?cos=-［cos（A+C）+cos（A-C）］

由A+C=120°及倍角公式可得4cos+2cos-3=0.

解得cos=或cos=-.

因為＜=90°，所以cos＞0，即cos=.

解法二：設(shè)A-C=2α，因為A+C=120°，所以A=60°+αC=60°-α，代入+=-2，得+=-2，化簡得=-2，解得cosα=或cosα=-.因為＜=90°，所以cos＞0，即cos=.

解法三：設(shè)-=2m，因為+=-2，所以cosA=cosC=.

由=cos（120°-C）=-cosC+sinC=+sinC，得sinC=.

代入基本關(guān)系式sinC+cosC=1中得3m-16m-12=0，解得m=6.

cos=cos（60°-C）=cosC+sinC==

另由cosA+cosC=2cos?cos=cos=cosA-cosC=-2sin?=-sin=

得cos=sin=.

代入sin+cos=1整理也可得3m-16m-12=0，解方程得m=6，

將m=6代入cos==.

比較以上方法可以發(fā)現(xiàn)，由A+C=2B=120°、+=-2分別進行均值換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進行運算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公式的運用相當熟練.假如未想到進行均值換元，也可由三角運算直接解出.這道題目有一定的難度，三種方法說不上哪一種方法更簡單，基本取決于解題者應(yīng)用知識的靈活性和對數(shù)學(xué)符號的解讀視角.

總而言之，數(shù)學(xué)解題離不開數(shù)學(xué)符號，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中一定要重視符號感的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)符號識別和應(yīng)用能力，鼓勵學(xué)生進制多元聯(lián)想，拓展學(xué)生的創(chuàng)新思維.充分發(fā)揮數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)解道中的“啟思”功能，使學(xué)生理解各種數(shù)學(xué)解題方法時能夠找到客觀的、“有跡可尋”的依據(jù)，消除學(xué)生對數(shù)學(xué)的“神秘感”，讓學(xué)生逐步克服“怕數(shù)學(xué)”的心理.他們會發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其實并沒有想象中的那么難.只要善于動腦筋，遇到問題積極思考，養(yǎng)成由提出問題到解決問題的一般思路，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)符號的“啟思”功能，就能夠通過數(shù)學(xué)符號的相關(guān)特征找到解決問題的“金鑰匙”.