從時(shí)域和頻域兩種角度探討卷積積分

楊永生, 趙梅

(蘇州科技學(xué)院電子與信息工程學(xué)院,江蘇蘇州,215011)

0 引言

信號與系統(tǒng)是電氣工程及其自動(dòng)化、電子信息科學(xué)與技術(shù)以及通信信息工程等專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程,對后繼課程的學(xué)習(xí)起到承前啟后的作用[1-6]。在《信號與系統(tǒng)》這門課程中,主要從時(shí)域和頻域兩個(gè)角度分別來講授確定性信號和線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)的分析方法。在分析線性系統(tǒng)過程中,知道卷積運(yùn)算將輸入信號、輸出信號以及沖激響應(yīng)三者之間聯(lián)系起來,主要有時(shí)域和頻域兩種計(jì)算方法。在時(shí)域法中,涉及到信號的平移、反轉(zhuǎn)運(yùn)算以及沖激響應(yīng)的概念;而在頻域法中,涉及到信號的傅里葉變換和頻率響應(yīng)的概念。可以看出,卷積運(yùn)算將各種物理概念、分析方法以及知識點(diǎn)有機(jī)地銜接起來,是培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的一個(gè)重要方面。但是,在筆者多年的教學(xué)實(shí)踐過程中,發(fā)現(xiàn)學(xué)生需要一個(gè)強(qiáng)化的學(xué)習(xí)過程才能夠掌握卷積運(yùn)算。要想真正理解卷積的物理含義及其應(yīng)用,更是需要一個(gè)漫長的過程。為了能夠保證學(xué)生運(yùn)用卷積來解決工程實(shí)際問題,需要掌握扎實(shí)的理論基礎(chǔ)。

1 時(shí)域法求解卷積

對任意兩個(gè)信號f1(t)和f2(t),卷積的定義為：

為了方便起見,通常記作：

其中,“*”表示卷積運(yùn)算。從式(1)可以看出,卷積是一種特殊的積分,它服從交換律、分配律和結(jié)合律。對信號來講,其物理含義是可將任意的信號分解為無窮多個(gè)沖激信號之和,即：

根據(jù) LTI系統(tǒng)理論,若沖激響應(yīng)為 h(t),輸入信號 f(t),則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) y(t)為：

式(3)表明,輸出信號可表示為輸入信號與沖激響應(yīng)的卷積。依據(jù)卷積的定義,可以看出,其計(jì)算步驟為,

① 將變量 t改為 τ,則信號的自變量為 τ,即 f1(τ)和f2(τ);

②將信號 f2(τ)反轉(zhuǎn),并作平移運(yùn)算,其平移量為 t,得信號 f2(t-τ);

③將信號 f1(τ)與 f2(t-τ)相乘;

④對乘積項(xiàng)進(jìn)行積分,積分限為 [-∞,∞],即 f(t)=

需要注意的是,步驟②信號f2(t-τ)的平移量 t決定信號 f1(τ)和信號 f2(t-τ)之間是否有重疊區(qū)域,如果有重疊區(qū)域,那么要確定步驟④中的積分上、下限,然后進(jìn)行積分;如果沒有重疊區(qū)域,則卷積為零。由于兩信號在時(shí)間軸上的關(guān)系可分為部分重疊、完全重疊和無重疊三種情況,因此計(jì)算卷積的關(guān)鍵問題是找出兩信號的重疊區(qū)域,確定積分上、下限。采用圖解法可以直觀地來說明卷積運(yùn)算的全過程。對于兩個(gè)有限長的信號 f1(τ)和 f2(-τ),如圖 1所示。

圖 1 信號 f1(τ)和 f2(-τ)

隨著平移量 t的不同,信號 f2(t-τ)在時(shí)間軸 τ的位置變化情況如圖 2所示。當(dāng) t+t2＜t1時(shí),信號 f2(t-τ)的前端還未進(jìn)入信號 f1(τ)的末端,如圖 2(a)所示。此時(shí)兩信號沒有重疊區(qū)域,卷積為零。當(dāng) t+t2＜t1且 t+t3＜t1時(shí),信號f2(t-τ)的前端已進(jìn)入信號 f1(τ)里,但信號 f2(t-τ)的末端還在信號 f1(τ)的外面,如圖 2(b)所示。此時(shí)兩信號是部分重疊,積分限為[t1,t+t2]。當(dāng) t+t3＞t1且 t+t2＜t0時(shí),信號 f2(t-τ)全部進(jìn)入信號 f1(τ)中,如圖 2(c)所示。此時(shí)信號 f2(t-τ)完全進(jìn)入信號 f1(τ)中,積分限為[t+t3,t+t2]。當(dāng) t+t3＜t0且 t+t2＞t0時(shí),信號 f2(t-τ)的前端已部分移出信號 f1(τ)中,如圖 2(d)所示。此時(shí)兩信號是部分重疊,積分限為[t+t3,t0]。當(dāng) t+t3＞t0時(shí),信號 f2(t-τ)的末端已移出信號 f1(τ),如圖 2(e)所示。此時(shí)兩信號沒有重疊區(qū)域,卷積為零。

2 頻域法求解卷積

圖 2 信號的卷積運(yùn)算

對任意兩個(gè)信號 f1(t)和 f2(t),若信號 f1(t)的Fourier變換記為 F1(jω),信號 f2(t)Fourier變換記為 F2(jω),則

從式(5)可以看出,時(shí)域的卷積運(yùn)算與頻域的乘法運(yùn)算相對應(yīng)。眾所周知,FFT是Fourier變換的一種快速算法,其運(yùn)算量為logN。若信號 f(t)和 f(t)長度均為 N,則時(shí)域的212卷積運(yùn)算量為 N2,而采用 FFT計(jì)算,其總的運(yùn)算量為 2N+3Nlog2(2N)。表 1為時(shí)域法和頻域法卷積運(yùn)算量的比較。當(dāng)N較大時(shí),頻域法的運(yùn)算效率可提高一個(gè)數(shù)量級。

在分析 LTI系統(tǒng)時(shí),結(jié)合式(4)和式(5),LTI系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為：

式(6)是LTI系統(tǒng)的頻域分析方法的理論依據(jù),在濾波器的設(shè)計(jì)、頻率響應(yīng)的分析以及無失真?zhèn)鬏數(shù)确矫鎻V泛應(yīng)用。

表 1 時(shí)域法和頻域法卷積運(yùn)算量的比較

3 結(jié)語

分析了時(shí)域法和頻域法計(jì)算卷積的特點(diǎn),并運(yùn)用圖示方法闡述時(shí)域法計(jì)算卷積積分的全過程,這有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解。但在實(shí)際工程中,由于該方法運(yùn)算效率較低而未廣泛采用,通常采用Fourier變換的方法來提高其運(yùn)算效率。對于線性時(shí)不變系統(tǒng)來講,激勵(lì)信號、沖激響應(yīng)以及輸出信號是通過卷積運(yùn)算相聯(lián)系的。而在雷達(dá)和通信領(lǐng)域中的盲源分離、系統(tǒng)辨識以及信號估計(jì)等問題常遇到的是時(shí)變系統(tǒng),因此快速解卷積算法需要進(jìn)一步的研究。

[1]吳大正,楊林耀,張永瑞,等.信號與線性系統(tǒng)分析[M].第 4版.北京：高等教育出版社,2000.

[2]鄭君里,應(yīng)啟珩,楊為理.信號與系統(tǒng) [M].第 2版.北京：高等教育出版社,2000.

[3]丁玉美,高西全.數(shù)字信號處理[M].第 2版.西安：西安電子科技大學(xué)出版社,2001.

[4]孫貴根,楊冬云,李俊生.信號與系統(tǒng)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2004.

[5]高秀英,吳長奇,王蘭芳.基于匹配傅里葉變換的高動(dòng)態(tài)載波捕獲技術(shù) [J].通信技術(shù),2010,43(03)：19-20.

[6]盛廣銘,吳中川,王甲峰.通信信號變采樣率頻域?qū)崿F(xiàn)方法[J].通信技術(shù),2010,43(02)：191-194.