平行接地大導體板間線電荷的電場分布

王福謙

（長治學院 電子信息與物理系，山西 長治 046011）

平行接地大導體板間線電荷的電場分布

王福謙

（長治學院 電子信息與物理系，山西 長治 046011）

利用復數坐標系z上的保角變換及鏡像法，計算兩平行接地大導體板間線電荷所形成電場的電勢和場強分布。

導體板；長直線電荷；保角變換；鏡像法；電勢分布；場強分布

文獻[1]運用保角變換法討論了兩平行接地大導體板間線電荷的電場分布，但因變換函數的局限性，僅計算出了線電荷到兩導體板距離相等時所形成電場的電勢和場強的分布，而沒能給出線電荷位于導體板之間任意位置時電場分布的一般規律。本文將通過線性換、指數變換及余弦變換，利用鏡像法得出線電荷在該區域的電勢分布和場強分布，并繪制出其等勢線和電場線圖。

1 電勢與電場強度

設在相距為a的兩相互平行無限大接地導體板之間，充以介電常數為ε的均勻介質，平行于兩導體板放置電荷線密度為λ的長直線帶電體，該帶電體到一導體板的距離為b（b＜a），因垂直于長直線帶電體的所有截面上的電場分布都相同，故可取任一截面為z平面來討論電勢和場強在其上的分布，如圖1所示。因為指數函數可將z平面上0＜Imz＜π水平帶域變換為w平面的上半平面，并進一步變換為單位圓，所以，為了使用保角變換法計算z平面上電勢和場強的分布，可先作如下的線性變換：

這樣，z平面上兩無限大導體板間的水平帶形域0＜Imz＜a就映射為z1平面上的水平帶形域0＜Imz＜π，如圖2所示。

圖1 變換前的水平帶形域0＜IMz＜a

圖2 變換后的水平帶形域0＜IMz＜π

圖3 變換后的上半平面一

圖4 變換后的上半平面二

再作變換z2=ez1，可將水平帶域0＜Imz＜π變為上半平面Imz2＞0，如圖3所示，線電荷位于z2=e處。最后作變換ξ=z2-cos，又將上半平面一變換為上半平面二，且電荷位于虛軸上的ξ=i sin處，如圖4所示。綜上所述，總變換為：

式（2）為長直線電荷在兩平行接地大導體板之間的電勢表達式。式中-∞＜x＜+∞，0≤y≤a。

由電勢與場強的微分關系E=-▽U，得：

式（3）為長直線電荷在兩平行接地大導體板之間場強的矢量表達式。

2 等勢線與電場線函數

令式（2）中的 U（x，y）=C′，即令

為正常數，（C1為正常數），可得等勢線方程為

對于一個二元調和函數，若把它看作某解析函數的實部（或虛部），利用柯西-黎曼方程可求出相應的虛部（或實部），而對式（2）有=0說明U為一調和函數，若將U作為解析函數的實部，通過構造一個解析函數可求得其虛部E，而在oxy 平面上，U（x，y）的等值線族與 E（x，y）的等值線族是處處正交的。注意到平面靜電場的等勢線族與電場線族也是處處正交的事實，而U（x，y）為被解釋為平面靜電場的電勢，則E（x，y）的等值線就是該靜電場的電場線族。利用柯西-黎曼方程，由得：

由上式得 C′2（x）=0，則可確定 C2（x）=C2=常數。

故得長直線電荷在兩平行接地大導體板之間的電場線函數為：

圖5為通過軟件MATLAB繪制出的長直線電荷在兩平行接地大導體板之間的電場線和等勢線圖（a=1.5，b=0.5）。圖中箭頭所示為電場線族，實線為等勢線族。

圖5 電場線和等勢面圖

3 結束語

兩平行接地無限大導體板為一物理模型，當接地板的線度比起其間距離大得多時，兩接地板可看作為無限大。本文中得到的關于長直線電荷在兩平行接地大導體板之間的電勢和場強分布的結論具有一定的參考價值，一些實際場合都可用此來做近似估算。

［1］王福謙.兩平行接地大導體板間線電荷的電場［J］.大學物理，2008，27（12）：26-28.

［2］胡嗣柱，等.數學物理方法解題指導［M］.北京：高等教育出版社，1997（2005重印）94-96.

Abstract：This paper is intended to calculate the electric potential distribution and electric field intensity distribution of line charged between parallel ground connection Conductor board by using mirror method and the conformal mapping on the coordinate systeMof the complex number.

Keywords：conductor plate；a line charged；conformalmapping；mirrormethod；electric potential distribution；electric field intensity distribution

（責任編輯 王璟琳）

Further Calculation of the Electric Field of Line Charged Between ParallelGround Connection Conductor Plate

WANG Fu-qian
（Department of Electronic Information and Physics Changzhi University，Changzhi Shanxi 046011）

TM26

A

1673-2014（2010）05-0033-03

2010—09—23

王福謙（1957— ），男，山西運城人，副教授，主要從事大學物理教學與研究工作。