試論向量在幾何中的應用

□陸金菊

(山西省畜牧獸醫學校,山西 太原 030024)

試論向量在幾何中的應用

□陸金菊

(山西省畜牧獸醫學校,山西 太原 030024)

向量在解決數學問題中有著廣泛的用途。利用向量知識解決幾何問題可以將“定性”研究轉變為“定量”分析,使復雜問題簡單化。從而,使學生掌握“數形”結合的方法,提高解決問題的能力。

向量;幾何;數量積;向量垂直;應用

向量在數學領域中有著廣泛的應用。在幾何中引入向量可以使幾何問題代數化,從而降低平面幾何與立體幾何的思維難度,將原來繁難地“找、作”過程轉變為定量計算,進而體現算法數學的魅力。筆者將從下面三個方面研究向量在幾何中的應用。

我們知道三角形的三條高相交于一點,有很多方法可以證明這個結論。但用向量垂直的充分必要條件來證明該結論,則證明過程更顯得簡捷明了。下面給出具體的證明過程。

求證:△ABC三邊上的高相交于一點。

證明:如下圖在△ABC中,設M是AB和AC邊上的高CD和BE的交點,連結AM并延長,交BC邊于F。只要能證明AF是BC邊上的高即可。

一、向量在平面幾何中的應用

∴MA⊥CB 而M是AF上的一點

∴FA⊥CB 即AF是BC邊上的高

這就證明了△ABC三邊上的高相交于一點M。

由此可見,在平面幾何中要證明線線垂直時,應用向量垂直的充要條件是一種很好的方法。這種證法不僅簡單明了,而且學生還容易接受,從而大大降低了教學難度,給我們證明垂直問題提供了一條捷徑。同理,在平面幾何中要證明多線共線的問題時,我們可以應用向量平行的充要條件去解決。

二、向量在立體幾何中的應用

在立體幾何有關點、線、面位置關系的判定中以及各類角度的計算問題中,應用向量知識往往能使空間結構轉化為代數結構。進而把空間的“定性”研究轉化為代數的“定量”分析。從而,使求解目標程序化、算法化,有利于學生克服空間想象力弱的障礙,降低立體幾何的難度。

例 (如下圖)在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為矩形,SD⊥底面ABCD,AD=,DC=SD=2點M在側棱SC上,∠ABM=60°

(Ⅰ)證明M是側棱SC的中點;

(Ⅱ)求二面角S—AM—B的大小。

證明:∵SD⊥平面ABCD

∴以D為坐標原點、射線DA為x軸的正半軸建立如上圖所示的坐標系D—XYZ。

三、向量在解析幾何中的應用

例 以拋物線y2=2px(p>0)上任意點M(x0,y0)為頂點,是否存在拋物線的內接正三角形?

分析:為了尋找以M(x0,y0)為頂點的拋物線的內接正三角形是否存在,可以先假設這樣的正△MQN存在。這樣,由于△MQN為正三角形,所以利用向量M點旋可求得Q、N兩點的坐標。而M、 Q、N三點都在拋物線上,故建立以t、α為參數的參數方程。如果能證明參數t、α存在實數解,則可知滿足條件的正三角形存在。

由于方程(4)是sinα,cosα的三次齊次方程,而sinα≠0,cosα≠0。所以,方程(4)可化為同解的tanα的三次方程,并存在一實根tanα1,且sinα1≠0,cosα1≠0。從(2)得y0

2+2ty0sinα+t2sin2α=2px0+2ptcosα即t sin2α=2p cosα-2y0sinα

該例說明向量在解析幾何中也大有用武之地。一般地,用向量知識解決一些解析幾何或立體幾何問題時,往往可以根據題意建立適當的坐標系,這樣不但給數形結合之間的轉換和公式的應用創造了必要條件,而且還可以避免添加輔助線等麻煩。

由此可見,向量在解決數學問題的過程中有著廣泛的用途。因此我們在平時的數學教學中,應重視向量知識的學以致用。引導和鼓勵學生善于運用它,從而提高他們解決問題的能力。

[1]陳振宣.向量教學的探索[J].數學教學,2003,(3).

[2]任高峰.利用空間向量探索“點”位置[J].數學教學,2003, (10).

On Application of Vector in Geometry

Lu Jinju
(ShanxiAni mal Husbandry and Veteri nary School,Taiyuan,Shanxi,030024)

Vector has a universal use in the process of solving maths problems.Solving geometry problem by using vector knowledge can change qualitative research into quantification analysis,simplify the complex problems,make studentsmaster the method of combination of"figures"and"shapes",i mprove the students ability to solve the prob2 lems.

vector;geometry;dot product;vector vertical;application

G633.63

B

1008—8350(2010)01—0049—02

本文責編 安春娥

2009—10—10

陸金菊(1965—),女,山西介休人,山西省畜牧獸醫學校,講師。