鏈-索-鏈型懸鏈錨泊線靜力問題的若干算式

于 洋

(浙江海洋學院,舟山 316000)

鏈-索-鏈型懸鏈錨泊線靜力問題的若干算式

于 洋

(浙江海洋學院,舟山 316000)

在無流速、忽略拉伸變形的假定條件下,對鏈-索-鏈型懸鏈錨泊線的靜力問題進行了理論研究。以隱函數方程的形式給出了海底錨鏈離底部分長度的計算式,以參數方程的形式給出了懸鏈線形狀及張力的解析解,所有結果均為無因次表達式。

懸鏈線;錨泊;靜力特性;解析解

Abstract:A theoretical study on the static performance of catenary chain-wire-chain mooring line is carried out in this paper based on the assumption condition that there is no current and deformation of the line is neglected.The length of the chain cable that is hauled up from seabed is determined by an implicit equation,the coordinates and tensions at each points of the catenary line are of analytical solutions described by parametric equations.All of the results are shown in non-dimensional type.

Key words:catenary line;mooring;static performance;analytical solution

0 前言

中等水深條件下的海洋浮體定位,常采用鏈-索-鏈錨泊系統,利用懸鏈線特性為浮體提供恢復力[1]。該錨泊線主要由錨鏈和鋼索組成,在海底錨樁一端和水面浮體一端分別采用一段錨鏈,錨鏈之間由鋼纜連接。在錨泊線上有的安裝沉子或浮子以改善錨泊性能[2]。錨或錨樁只承受水平作用力,因而要求海底錨鏈在錨(樁)處要與地面保持相切。對于這種復合錨泊線,一般采用數值方法進行靜力計算,并需考慮水流作用和錨泊線拉伸變形的影響[3～5]。然而,在無流、無浮子或沉子條件下,如忽略錨泊線拉伸變形,則可以得到其靜力問題的理論解——以隱函數方程和解析解的形式給出其計算公式。

1 懸鏈線基本公式

假定無流速,海底平坦,且忽略錨泊線拉伸變形(單一類型錨鏈線如圖1所示),將坐標系 XOZ的原點O取在錨鏈懸鏈線與海底的切點處,則懸鏈線上距原點長度L的點的坐標可寫為[6,7]

可見,該坐標滿足以L為參變量的參數方程。當懸鏈線上距原點長度L0時,Z=H,有

圖1 單一錨泊線示意圖

式(1～2)中:w為水中錨泊線單位長度重量;F為水平外力;L0為懸鏈線長度。

2 鏈-索-鏈型錨泊線海底錨鏈離底部分的長度

圖2所示的整個錨泊線由L1、L2和L3段組成,其中L1和L3段為錨鏈;L2段為鋼索。L4為海底錨鏈被拉起的長度。為求解出L4,分別將L1段和L2段按照懸鏈線形狀延長直至與水平線相切(圖中虛線部分)。L1段延長長度記為L1′;L2段延長長度記為 L2′。在三個切點處分別建立坐標系 XOZ、X′O′Z′和X"O"Z"。于是 ,利用式(2),并結合圖 2,有

圖2 組合錨泊線及其局部延長線

另外 ,對 L1′段和(L2+L2′)段、L3段與 L2′段進行受力分析 ,可得

上面各式中:w1、w2和 w3分別為L1、L2和L3段錨泊線在水中的單位長度重量。

現對上面各參數作無因次化,令

對于一個具體錨泊線來講,上式中 n1、n3、l1和l2均為已知量,所以式(9)就是關于 l4的隱函數方程。給定某一外力 f后,可利用式(9)數值求解出 l4。當 n1=n3=1時,該式則退化為普通的懸鏈線方程。

如果令 l4=0,n3=1,則式(9)變為

將式(7)代入式(3)、(4),連同式(5)一起代入式(6),并進行無因次化,化簡后可得到:

利用該方程可求出l3段錨鏈剛好完全臥底時的臨界外力 fcr。如果實際外力 f

3 懸鏈線上各點坐標計算

因為整個錨泊線由三段懸鏈線組成,所以應先在各自的坐標系中求出其懸鏈線坐標,再通過坐標平移至同一個坐標系中。

3.1 三段懸垂線在各自坐標系中的參數方程

參照式(1),可得L4段在 XOZ坐標系中的懸鏈線方程:

3.2 坐標原點O′和O"在坐標系 XOZ中的坐標

利用L4段和L2′段縱、橫長度之差,可以求出O′點在 XOZ坐標系中的坐標:

3.3 坐標系平移之后的懸鏈線坐標

首先將式(13)～式(16)平移至 XOZ坐標系中。考慮到原點O,即切點位置隨外力大小而變,故隨后再平移至以錨(樁)處為原點的坐標系中(僅橫坐標改變)。為方便,橫、縱坐標仍用 x、z表示。L1段平移后方程為

上面各式中,Δl如式(27),其中 ls2為外力小于臨界力時,懸鏈線中鋼索的長度,由式(10)確定。

4 懸鏈線各點張力

當外力 f大于臨界力fc時,懸鏈線上各點無因次張力由式(28)、式(29)求出:

當外力 f小于臨界力fc時,tx同式(28),tz由下式求出:

5 算例

設某懸鏈錨泊線的頂端錨鏈長L1=220 m;單位長度水中重量 w1=2 730 N/m;海底錨鏈長L3=400 m;單位長度水中重量 w3=2 340 N/m;中間鋼索長L2=1 200 m;單位長度水中重量w2=780 N/m。錨泊線頂端距海底高度為 H=500 m。當錨泊線頂端索受水平外力F分別為1 000 kN和1 800 kN時,求懸垂線坐標及張力。

解:

步驟1:對各物理量進行無因次化

l1=L1/H=0.44;l2=L2/H=2.4;l3=L3/H=0.8;n1=w1/w2=3.5;n3=w3/w2=3.0;f1=F1/(w2H)=1 000 000/(780×500)=2.564;f2=F2/(w2H)=1 800 000/(780×500)=4.615。

步驟2:求出海底錨鏈剛好全部臥在海底時臨界外力 fcr

此步驟作為下一步計算判斷之用。因為海底錨鏈剛好全部臥在海底時,l4=0,故將 f視為未知量,由式(10)數值求解(本文采用二分法,步驟3與4的數值求解亦采用該方法),得 fcr=3.675。

步驟3:當外力 F=1 000 kN(f1=2.564)時的懸鏈線形狀與張力

因為 f1

由于底部錨鏈全部臥底,故只需利用式(21)～式(24)計算懸垂部分鋼索和頂部錨鏈的懸鏈線坐標。并注意在這4個式子中,l4=0,l2=1.9875。

懸鏈線張力由式(28)～式(31)計算,同樣有 l4=0,l2=1.9875。

步驟4:當外力 F=1 800 kN(f2=4.615)時的懸鏈線形狀與張力

因為 f2>fcr,故需由式(9)數值解出海底錨鏈被拉起的無因次長度,得l4=0.1077,實際長度為500×0.1077=53.85 m。懸鏈線總的無因次長度為l1+l2+l4=0.44+2.4+0.1077=2.9477,實際長度為500×2.9477=1 473.85 m。

因為 l4>0,所以懸鏈線坐標由式(21)～式(26)計算,懸鏈線中各點的張力運用式(28)～式(31)計算。

根據上述計算結果,將兩種外力條件下的懸鏈線坐標繪于圖3中,懸鏈線張力繪于圖4中(均已換算成有因次物理量)。圖4給出了錨鏈線張力沿著懸鏈線的變化情況,其橫坐標表示懸鏈線長度,L=0對應的是錨鏈線與海底的切點;縱坐標為錨鏈線張力。在曲線中部,對應的是懸鏈線中鋼索部分,由于單位長度重量較小,錨泊線張力增加趨勢較緩;而在曲線右端部,對應的是頂端錨鏈,由于單位長度重量較大,錨鏈線張力快速增加。

6 結語

在無流速、錨泊線無拉伸變形的假定條件下,推導出了鏈-索-鏈懸鏈線靜力特性的理論解。懸鏈線形狀與張力以參數方程的形式給出了較為簡單的解析解。在計算懸鏈線張力時,該參數為從懸鏈線與水平線切點起算的懸鏈線長度。在計算懸鏈線形狀時,該參數亦為懸鏈線長度,但分為三部分,分別在圖2所示的三個坐標系中單獨定義,并沒有隨懸鏈線坐標平移而改變,故出現每一段懸鏈線長度l的取值范圍不同的情況,即彼此不連續。但計算出的懸鏈線形狀在連接點處是光滑、連續的。從物理意義上講,這是由式(7)的力平衡關系所決定的。海底錨鏈被拉起的部分的長度,以隱函數方程的形式給出,具體計算時還需要采用數值方法。

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Solutions of Static Performance of A Catenary Chain-Wire-Chain Mooring Line

YU Yang
(Zhejiang Ocean University,Zhoushan 316000,China)

U675.922

A

1001-4500(2010)02-0006-05

2009-09-02; 修改稿收到日期:2010-01-15

浙江省科技計劃重大項目資助(2008C03010)

于 洋(1963-),男,教授,從事船舶與海洋工程流體力學、航海技術研究。