線性距離空間構成賦范線性空間和內積空間的充要條件

郎開祿

(楚雄師范學院數學系,云南 楚雄 675000)

線性距離空間構成賦范線性空間和內積空間的充要條件

郎開祿

(楚雄師范學院數學系,云南 楚雄 675000)

本文給出線性距離空間構成賦范線性空間的一個充要條件和線性距離空間構成內積空間的三個充要條件。

線性距離空間;賦范線性空間;內積空間;充要條件

賦范線性空間一定可以賦予距離構成線性距離空間,但線性距離空間不一定能賦予范數構成賦范線性空間;內積空間一定可以賦予范數構成賦范線性空間,從而內積空間可以賦予距離構成線性距離空間,但賦范線性空間不一定能賦予內積構成內積空間,從而線性距離空間不一定能賦予內積構成內積空間。本文給出線性距離空間構成賦范線性空間的一個充要條件和線性距離空間構成內積空間的三個充要條件。

1 線性距離空間構成賦范線性空間的充要條件

定理 1[1][2][3]若 (x,‖·‖)是賦范線性空間,則 (X,d)是線性距離空間,其中 d(x,y) =‖x-y‖,x,y∈X,反之,則未必然。

定理 2[1]若(X,d)是線性距離空間,則(X,‖·‖)是賦范線性空間的充要條件是

(1)d(αx,0)=|α|d(x,0);(2)d(x-y,0)=d(x,y)。其中 ‖x‖ =d(x,0),x,y∈X, α∈K。

定理 3[2][3]若(X,d)是線性距離空間,則(X,‖·‖)是賦范線性空間的充要條件是

(1)d(αx,0)=|α|d(x,0);(2)d(x+z,y+z)=d(x,y)。其中 ‖x‖ =d(x,0),x,y,z∈X,α∈K。

本文給出線性距離空間構成賦范線性空間的一個充要條件:

定理 4 若(X,d)是線性距離空間,則(X,‖·‖)是賦范線性空間的充要條件是

(1)d(αx,0)=|α|d(x,0);(2)d(x+y,0)≤d(x,0)+d(y,0)。其中 ‖x‖ =d(x,0), x,y∈X,α∈K。

證明:(?)設(X,‖·‖)是賦范線性空間,則

(1)d(αx,0)=‖αx‖ =|α|‖x‖ =|α|d(x,0);

(2)d(x-y,0)=‖x-y‖ =d(x,y)。

(?)令 ‖x‖ =d(x,0),x∈X,則

(Ⅰ)‖x‖ =d(x,0)≥0,且 ‖x‖ =0?d(x,0)=0?x-0;

(Ⅱ)‖αx‖ =d(αx,0)=|a|d(x,0)=|α|‖x‖;

(Ⅲ)‖x+y‖ =d(x+y,0)≤d(x,0)+d(y,0)=‖x‖+‖y‖。

故(X,‖·‖)是賦范線性空間。

2 線性距離空間構成內積空間的充要條件

定理 5[1][2][3](Ⅰ)若 (X,〈·,·〉)是內積空間,則 (X,‖·‖)是賦范線性空間,且

‖x+y‖2+‖x-y‖2=2(‖x‖2+‖y‖2),其中

(Ⅱ)若 (X,‖·‖)是賦范線性空間,且范數 ‖x‖滿足 ‖x+y‖2+‖x-y‖2= 2(‖x‖2+‖y‖2),則在 (X,‖·‖)中可定義內積〈x,y〉:

本文給出線性距離空間構成內積空間的三個充要條件。

定理 6 (Ⅰ)若 (X,〈·,·〉)是內積空間,則 d2(x,y)+d2(x,-y)=2(d2(x,0)+d2(0, y))。其中

(Ⅱ)若 (X,d)是線性距離空間,且

(1)d(αx,0) =|a|d(x,0);(2)d(x-y,0) =d(x,y);(3)d2(x,y)+d2(x,-y) = 2(d2(x,0)+d2(0,y))。

則(X,〈·,·〉)是內積空間,其中

證明:(Ⅰ)若(X,〈·,·〉)是內積空間,由定理5(Ⅰ)知,(x,‖·‖)是賦范線性空間,且‖x+y‖2+‖x-y‖2=2(‖x‖2+‖y‖2),其中 ‖x‖

(Ⅱ)由 (1),(2)及由定理 2,(X,‖·‖)是賦范線性空間,其中 ‖x‖ =d(x,0)。

又由(3),(X,‖·‖)的范數 ‖x‖滿足 ‖x+y‖2+‖x-y‖2=2(‖x‖2+‖y‖2),故由定理 5(Ⅱ)知,在(X,‖·‖)中可定義內積〈x,y〉:

使(X,〈·,·〉)是內積空間,且 d(x,y)=‖x-y‖,‖x‖

于是

定理 7 (Ⅰ)若 (X,〈·,·〉)是內積空間,則 d2(x,y)+d2(x,-y)=2(d2(x,0)+d2(0, y))。其中 d(x,y)

(Ⅱ)若 (X,d)是線性距離空間,且

(1)d(αx,0) =|α|d(x,0);

(2)d(x+z,y+z)=d(x,y);

(3)d2(x,y)+d2(x,-y) =2(d2(x,0)+d2(0,y))。

則(X,〈·,·〉)是內積空間,其中

證明:(Ⅰ)同定理 6一樣可證

(Ⅱ)由 (1),(2)及定理 3,(X,‖·‖)是賦范線性空間,其中 ‖x‖ =d(x,0)。

又由(3),(X,‖·‖)的范數 ‖x‖滿足 ‖x+y‖2+‖x-y‖2=2(‖x‖2+‖y‖2),故由定理 5(Ⅱ)知,在(X,‖·‖)可定義內積〈x,y〉:

于是

定理 8 (Ⅰ)若 (X,〈·,·〉)是內積空間,則 d2(x,y)+d2(x,-y)=2(d2(x,0)+d2(0, y))。其中

(Ⅱ)若 (X,d)是線性距離空間,且

(1)d(αx,0)=|a|d(x,0);

(2)d(x+y,0)≤d(x,0)+d(y,0);

(3)d2(x,y)+d2(x,-y) =2(d2(x,0)+d2(0,y))。

則(X,〈·,·〉)是內積空間,其中

證明:(Ⅰ)同定理 6一樣可證。

(Ⅱ)由 (1),(2)及定理4,(X,‖·‖)是賦范線性空間,其中 ‖x‖ =d(x,0)。又由 (3), (X,‖·‖)的范數 ‖x‖滿足 ‖x+y‖2+‖x-y‖2=2(‖x‖2+‖y‖2),故由定理5(Ⅱ)知,在(x,‖·‖)可定義內積〈x,y〉:

于是

[1].程其襄等編 .實變函數與泛函分析基礎 [M],北京:高等教育出版社 (第二版)[M].2007.

[2].劉培德編著 .泛函分析基礎 [M].武漢:武漢大學出版社,2004.

[3].匡繼昌編著 .實分析與泛函分析 [M].北京:高國防工業出版社,2002.

(責任編輯 劉洪基)

Sufficient and Necessary Condition for L inear D istance SpaceMake Up Normed L inear Space and Inner Product Space

LANG Ka i-lu
(Department of M athematics,Chuxiong N or m al University,Chuxiong675000,China)

In this paper,the author gives one sufficient and necessary condition for linear distance space make up normed linear space and three sufficient and necessary conditions for linear distance space make up inner product space.

linear distance space;normed llinear space;inner product space;sufficient and necessary condition

O177

A

1671-7406(2010)03-0018-04

2009-11-23

郎開祿 (1962—),男,云南楚雄人,副教授,主要研究方向:高等數學及數學分析。