含能流的三比特伊辛自旋鏈中的基態(tài)糾纏

劉 丹

(大連民族學(xué)院理學(xué)院,遼寧大連 116605)

含能流的三比特伊辛自旋鏈中的基態(tài)糾纏

劉 丹

(大連民族學(xué)院理學(xué)院,遼寧大連 116605)

研究了含能流的三比特伊辛自旋鏈中的基態(tài)糾纏。在體系中引入能流后,磁場(chǎng)的變化將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)進(jìn)入能流相。基態(tài)糾纏在相變臨界點(diǎn)處發(fā)生突變,兩粒子之間的糾纏由于能量的流動(dòng)而得到增強(qiáng)。關(guān)鍵詞:糾纏;能流;量子相變

量子糾纏在量子信息和量子計(jì)算領(lǐng)域有著非同一般的地位和作用。在最近的研究中,人們認(rèn)識(shí)到對(duì)于許多量子多體系統(tǒng)的描述和理解,量子糾纏起到十分重要的作用,如超導(dǎo)[1]和量子相變[2]。在這些系統(tǒng)中,低維量子自旋系統(tǒng),尤其是確切可解的一維量子自旋系統(tǒng)(自旋鏈)的研究已經(jīng)引起了研究者的廣泛關(guān)注。自旋鏈?zhǔn)枪虘B(tài)系統(tǒng)中的一種天然實(shí)現(xiàn)糾纏的方法,它不僅在量子傳輸中有很大的作用,而且表現(xiàn)出了非常豐富的糾纏特性。1983年,Haldane等人針對(duì)整數(shù)自旋的一維 Heisenberg鏈進(jìn)行了研究[3-4],隨后越來越多的研究者投入到自旋鏈的理論和實(shí)驗(yàn)探索中。在量子信息科學(xué)范疇內(nèi),人們研究了大量具有各種相互作用、自旋表示、各向異性的自旋鏈模型[5-7]。

由于一維量子自旋系統(tǒng)展示出許多反應(yīng)量子本質(zhì)的有趣現(xiàn)象,自旋鏈已經(jīng)成為理論和實(shí)驗(yàn)研究的熱點(diǎn)。許多與守恒定律相關(guān)的一維可積量子多體系統(tǒng)呈現(xiàn)出反常的無耗散輸運(yùn)行為[8],已經(jīng)證明在這些系統(tǒng)中能量的輸運(yùn)(能流)與第一守恒定律緊密相關(guān)[9]。Antal和 Rácz等人提出了一種研究非平衡穩(wěn)態(tài) (系統(tǒng)的基態(tài))的方法[10-11],通過在橫磁場(chǎng)伊辛自旋鏈系統(tǒng)中分別引入能流來研究非平衡穩(wěn)態(tài)的量子性質(zhì),并考察能流對(duì)系統(tǒng)量子性質(zhì)的影響,如長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)、相圖等。已有結(jié)果表明,在 XY自旋鏈中引入能流會(huì)對(duì)基態(tài)糾纏性質(zhì)產(chǎn)生影響[12]。本文主要探討橫磁場(chǎng)伊辛自旋鏈系統(tǒng)的糾纏性質(zhì),通過引入能流,考察體系非平衡穩(wěn)態(tài)的能譜和糾纏性質(zhì),同時(shí)考察能流所引起的量子糾纏和量子相變的變化。

1 含能流的伊辛模型

沿 Z方向橫磁場(chǎng)中伊辛自旋鏈的哈密頓量具有如下形式[10]:

此時(shí),容易發(fā)現(xiàn)宏觀能流和系統(tǒng)哈密頓量是對(duì)易的,即 [JM,Hx,y]=0。目的是研究當(dāng)自旋鏈含能流時(shí)的基態(tài)糾纏情況,因此需要構(gòu)建一個(gè)等效哈密頓量,使該等效哈密頓量的本征態(tài)可能攜帶能流。而由宏觀能流算符與伊辛自旋鏈哈密頓量的對(duì)易性,能夠知道系統(tǒng)哈密頓量與能流算符具有一系列的共同本征態(tài)。因此,利用 Lagrange乘子法,通過將能流算符加到系統(tǒng)哈密頓量 H上的方法在系統(tǒng)中引入能流。而此時(shí)的等效哈密頓量的具體表達(dá)式為

式中,λ是拉氏乘子,它用來表示所引入的能流的強(qiáng)度。為了不失一般性,可以假設(shè) h≥0和λ≥0。此時(shí)等效哈密頓量 H的任一本征態(tài)必定仍為哈密頓量 HI的定態(tài),該本征態(tài)將可能攜帶由 JE給出的能流。這里主要研究 HI的攜帶能流的最低能級(jí)態(tài)。則哈密頓量 H的基態(tài)也就是 HI在零溫度時(shí)攜帶能流的非平衡穩(wěn)態(tài),最低能級(jí)為磁場(chǎng) h和能流 J〈JE/N〉的函數(shù)。值得注意的是,H只是數(shù)學(xué)上構(gòu)建的用來找到 HI非平衡態(tài)的另一平衡哈密頓量,系統(tǒng)仍在 HI控制下演化。

2 哈密頓量的能譜

為了簡(jiǎn)化討論,這里只討論簡(jiǎn)單的由三個(gè)比特構(gòu)成的鏈狀系統(tǒng)。由于 JE和 HI對(duì)易,可以利用對(duì)角化 HI的方法對(duì)角化 H,得到的能流態(tài)為 HI的定態(tài)。

將等效哈密頓量對(duì)角化,即可得到其能譜為

從三比特伊辛自旋鏈的等效哈密頓量的能譜能夠看出,本征值 E1,E2,E3和 E4與λ無關(guān),而能級(jí) E5—E8都為λ的函數(shù)。這就是說,當(dāng)自旋鏈處于 E5,E6,E7和 E8之中的任一能級(jí)時(shí),能量會(huì)流動(dòng)。另外,當(dāng)λ=0時(shí),能級(jí) E5,E7及 E6,E8是簡(jiǎn)并的,即 E5=E7,E6=E8。當(dāng)λ≠0時(shí),即在自旋鏈中引入能流后,這種能級(jí)簡(jiǎn)并現(xiàn)象將消除。對(duì)比所有能級(jí),很容易發(fā)現(xiàn)對(duì)于不同 h和λ,E1或者E5可能為最小值,即最低能級(jí)。

E1隨 h的變化曲線和不同λ時(shí) E5的變化如圖1。可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于某些 h和λ,E1和 E5存在能級(jí)交錯(cuò),這時(shí)系統(tǒng)發(fā)生量子相變,由無能流相進(jìn)入能流相。能級(jí)交錯(cuò)點(diǎn)可表示為當(dāng)λ減小時(shí),對(duì)應(yīng)于能級(jí)交錯(cuò)的 h會(huì)增大。利用

圖 1 隨磁場(chǎng) h變化,能級(jí) E1(實(shí)線)和 E5在λ(虛線)取不同值時(shí)的變化

3 基態(tài)糾纏

在研究基態(tài)糾纏時(shí),我們采用多重熵積度量方案[13](multiple entropy measures,MEMS)來度量糾纏。對(duì)于三比特體系,單比特的約化密度矩陣的 von Neumann熵積即相當(dāng)于考慮了單個(gè)比特與另外兩個(gè)比特之間的糾纏關(guān)系,因此只需計(jì)算單比特熵積即可。已經(jīng)證明[13],MEMS定義下的GHZ(Greenberger-Horne-Zeilinger)類糾纏態(tài)的單粒子熵積為1,W(Werner)類糾纏態(tài)的單粒子熵積為 0.774。

對(duì)于不同 h和λ,可得出系統(tǒng)的可能基態(tài)。對(duì)于 E1,H的本征態(tài)為而對(duì)于 E5,基態(tài)波函數(shù)為

利用MEMS度量方案,可求出 φ1,φ5的糾纏度。波函數(shù) φ1的糾纏度為

對(duì)于本征態(tài) φ5,很容易看出這是一個(gè)W態(tài),因此它的糾纏度值為 0.774。

如上所述,當(dāng)λ》1/3時(shí),系統(tǒng)基態(tài)能級(jí)可能會(huì)出現(xiàn)能級(jí)交錯(cuò),如果λ≤1/3時(shí),則不會(huì)出現(xiàn)能級(jí)交錯(cuò)。因此,本文主要討論前一種情況。當(dāng)λ≤1/3時(shí),E1是基態(tài)能級(jí),因此 φ1為基態(tài)。當(dāng)λ》1/3時(shí),基態(tài)存在兩個(gè)不同的量子相,即無能流相 (h《hc)和能流相 (h》hc)。量子相變臨界點(diǎn)的磁場(chǎng)為 hc=2(2 3λ-1)/(3λ2-1)。在無能流相,本征態(tài) φ1為基態(tài),能流 J=〈JE/N〉=0。當(dāng)磁場(chǎng) h超過它的臨界值 hc時(shí),基態(tài)從 φ1跳躍到 φ5而進(jìn)入能流相,〈JE/N〉=3h/3。這里以λ為例進(jìn)行討論,此時(shí)相變臨界點(diǎn)的磁場(chǎng)為 h

c=2?；鶓B(tài)的糾纏變化如圖2,在能流相,糾纏度恒為 0.774。也就是說,在臨界點(diǎn) hc=2,基態(tài)的糾纏會(huì)隨磁場(chǎng) h的變化而出現(xiàn)突變,這意味著能流的引入增大了兩比特的糾纏程度。

圖2 λ=時(shí)自旋鏈基態(tài)糾纏隨磁場(chǎng) h的變化曲線

4 結(jié) 論

本文在橫磁場(chǎng)三比特伊辛自旋鏈中引入能流,然后詳細(xì)研究這個(gè)模型的基態(tài)糾纏。證明了能流的引入導(dǎo)致了在λ》1/3情況下出現(xiàn)量子相變。當(dāng)磁場(chǎng)超過它的臨界點(diǎn)時(shí),系統(tǒng)基態(tài)進(jìn)入能流相,能量開始流動(dòng),從無能流相進(jìn)入能流相,糾纏基態(tài)躍變?yōu)閃態(tài)。

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(責(zé)任編輯 鄒永紅)

Ground-state Entanglement in a Three-qubit Ising Cha in with an Energy Current

L iu Dan
(College of Science,Dalian NationalitiesUniversity,Dalian Liaoning 116605,China)

The ground-state entanglement in a three-qubit Ising chain with an energy current is studied.The system will enter the energy current phase due to changes in the magnetic field, after an energy current is introduced into the system.And the ground-state entanglement varies suddenly at the critical point of phase transition.The entanglement between two particles is enhanced due to the energy current.

entanglement;energy current;quantum phase transition

book=9,ebook=230

O413.1

A

1009-315X(2010)05-0446-03

2010-06-13

遼寧省教育廳高等學(xué)校科研項(xiàng)目計(jì)劃資助項(xiàng)目 (2008130);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(DC10040119)。

劉丹 (1979-),女,湖南益陽人,講師,博士,主要從事量子光學(xué)與計(jì)算研究。