毛細管中液面升降時能量轉化分析

王維青

（太原師范學院 物理系，山西 太原 030031）

毛細管中液面升降時能量轉化分析

王維青

（太原師范學院 物理系，山西 太原 030031）

應用變質量體系的運動微分方程，對毛細管中液面升降時能量轉化情況進行了分析.

毛細管；表面張力；重力勢能

毛細管插入能潤濕玻璃的液體中管內液面會上升，插入不能潤濕玻璃的液體中管內液面要降低.液面升高或降低，重力勢能就要增加或減少，增加的重力勢能從何而來，減少的勢能又到哪里去了？也即能量如何轉化，一般教科書限于篇幅，并不過多分析，但文獻[1]的課后思考題中有這樣的問題.這類問題的提出，顯然對學生綜合應用物理知識解決問題很有益處.

1 液體潤濕不潤濕固體時能量分析

液體和固體的接觸面上有一個厚度為分子作用半徑的附著層，對于液體能潤濕固體的接觸面來說，見圖1（a），由于內聚力F1小于附著力F2，附著層內分子受到的合力方向與F2同向，此時附著層中的分子要進入液體中需克服分子引力做功，說明附著層中的能量要比液體中的能量低，或者講附著層中的液體分子具有負的表面能.由玻耳茲曼能量分布律我們知道，在外界條件一定的情況下，分子總是優先地占據低能量的狀態.所以液體內部分子盡量向附著層內跑，這樣氣、液、固接觸處就形成如圖1(a)所示的彎月面向上的形狀.若F1>F2則相反，附著層中的能量比液體中的能量高，就有盡量減少附著層內分子的趨勢，最后達到穩定時，就形成如圖1（b）所示的表面形狀.

圖1 液體潤濕不潤濕固體時情況

2 毛細管中液面上升時能量分析

如圖2（b）所示，半徑為r毛細管插入可潤濕的水中，形成凹液面，由于表面張力的存在，使凹液面下B點的壓強小于大氣壓強，PB

圖2 毛細管剛插入可潤濕的液體中

圖3 可潤濕毛細管的液體在管中上升時情況

取如圖3（a）所示的坐標系，由于液體未進入毛細管前是靜止的，

∴u=0

因為要求的是能量，可把（1）式變化為：

力在x方向的投影：

把（3）、（4）式代入（2）式的左邊，可得：初始：x=0,v=0;到力的平衡位置時x=h,v=v，上式積分：

其中，方程右邊的質量為液體處于力平衡時的質量：

由積分的結果，可知，（6）式右邊第一項為重力做的負功，也為，重力勢能的增量；第二項為表面張力做的正功.顯然，表面張力做功，一半用于重力勢能增加，另一半由（6）式的左邊可知，轉化為動能了.液體在力的平衡位置時，動能不為零，也即速度不為零.顯然由于慣性，液體要繼續向上運動，到速度為零時，重力又比表面張力大了，在力的作用下液體又向下運動，這樣就形成了振蕩，定量分析如下.

為討論方便，把x軸的坐標原點選在力的平衡位置處，則（3）式變為：

把（7）式及（4）式代入由（1）式，可得其動力學方程為：

可見，另一半動能似乎可近似地看成是用于簡諧振動了，但考慮到液體的粘滯阻力，最終是耗散為熱能了.

3 毛細管中液面下降時能量分析

半徑為r毛細管插入不潤濕的水銀中，形成的是凸液面，如圖4，由于表面張力的存在，使凸液面下B點的壓強大于大氣壓強，pB>po.這樣毛細管內的液體就要向下運動，直到下降到h滿足pB=po+ρg h為止.此時，毛細管內的液面在C處，以B點所在處為上表面，以C所在處為下表面，隔離出一個底面半徑為r的液柱，顯然，隨液柱下降，其質量是減小的.但由于液柱下面的液體仍在毛細管內，隨液柱一起運動.所以（1）式中的u=v.由圖4（b）所示的坐標，可得質量的表達式：

其受到的三個力如圖所示，因pB=pC，所以實際液柱僅受到重力，即：

圖4 不潤濕毛細管的液體在管中下降時情況

將（12）式、（13）式代入（1）式，并整理可得：

初始：x=,v=0;到力的平衡位置時x=h,v=v，上式積分：

結果說明，重力做正功，使重力勢能減小，減小的能量變成動能.即在力平衡位置時速度不為零，由慣性液體繼續向下運動，直到速度為零時，B點所在處的壓強又比h深處大， 使液體又受到向上的力，結果同樣在平衡位置振蕩.因在力平衡位置時，小液柱的質量為零了，所以要得振動方程就不能以C處為液柱的下底面了.取毛細管的下端處為小液柱的下底面，還看圖4（b），這樣，又有u=0，但液柱受到的合力：

將（16）、（17）式代入（1）式，可得：

不考慮粘滯阻力時，仍可近似為簡諧振動.

總之，毛細管內液面升高時，表面張力做正功，使重力勢能增加；液面下降時，似乎表面張力應做負功，使重力勢能減小，但這里選取的研究對象正好使上下液面的壓力抵消.若小液柱的下底面沒選在力的平衡位置，如選在A處，顯然表面張力是要做功了.

〔1〕秦允豪.熱學[M].北京:高等教育出版社,1999：304.

〔2〕陳世民.理論力學簡明教程[M].北京:高等教育出版社, 2008：109.

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1673-260X（2010）07-0014-02